Giải câu 31, 32, 33 trang 161 sách bài tập toán 9 tập 2 - Câu trang Sách bài tập (SBT) Toán Tập
Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB >CD, chứng minh rằng MH > MK. Câu 31 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng: a) OC là tia phân giác của góc AOB. b) OC vuông góc với AB. Giải: a) Kẻ OH AM, OK BN Ta có: AM = BN (gt) Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm) Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có: \(\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \) OC chung OH = OK (chứng minh trên) Suy ra: OCH = OCK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) Xét hai tam giác OAH và OBK, ta có: \(\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ \) OA = OB OH = OK ( chứng minh trên) Suy ra: OAH = OBK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) Suy ra: \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}\) hay \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\) Vậy OC là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\) b) Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân). Suy ra: OC AB. Câu 32* trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho đường tròn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O là 3dm. a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm M. b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M. Giải: a) Dây đi qua M ngắn dây là dây AB vuông góc với OM. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAM ta có: \(O{A^2} = A{M^2} + O{M^2}\) Suy ra: \(A{M^2} = O{A^2} - O{M^2} = {5^2} - {3^2} = 16\) AM = 4 (dm) Ta có: OM AB Suy ra: AM = \({1 \over 2}AB\) Hay: AB = 2AM = 2.4 = 8 (dm) b) Dây đi qua M lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn (O). Vậy dây có độ dài bằng 2R = 2.5 = 10 (dm) Câu 33* trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB >CD, chứng minh rằng MH > MK. Giải: Ta có: HA = HB (gt) Suy ra: OH AB (đường kính dây cung) Lại có: KC = KD (gt) Suy ra: OK CD ( đường kính dây cung) Mà AB > CD (gt) Nên OK > OH ( dây lớn hơn gần tâm hơn) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHM ta có: \(O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}\) Suy ra: \(H{M^2} = O{M^2} - O{H^2}\) (1) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OKM, ta có: \(O{M^2} = O{K^2} + K{M^2}\) Suy ra: \(K{M^2} = O{M^2} - O{K^2}\) (2) Mà OH < OK (cmt) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(H{M^2} > K{M^2}\) hay HM > KM.
|