Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó: - bài 4 trang 45 sgk đại số 10 nâng cao

LG a

y = x2+ 2x 2 trên mỗi khoảng \((-; -1)\) và \((-1, +)\)

Phương pháp giải:

Hàm số f đồng biến trêm K khi và chỉ khi

\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} > 0\)

Hàm số f nghịch biến trêm K khi và chỉ khi

\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Lời giải chi tiết:

+ Với mọi x1; x2 \((-; -1)\) và x1 x2ta có:

f(x2) f(x1) = x22+ 2x2 2 (x12+ 2x1 2)

= x22 x12+ 2(x2 x1) = (x2 x1)(x1+ x2+ 2)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\)

Vì x1; x2 \((-; -1)\) nên x1< -1 và x2< -1 nên x1+ x2+ 2 < 0

Nên \(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số y = x2+ 2x 2 nghịch biến trên \((-; -1)\)

+ Với mọi x1; x2 \((-1, +)\) và x1 x2ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\)

(Vìx1; x2 \((-1;+)\) nênx1> -1; x2> -1)

Vậy hàm số y = x2+ 2x 2 đồng biến trên \((-1, +)\)

Bảng biến thiên:

LG b

\(y = -2x^2 + 4x + 1 \) trên mỗi khoảng \((-; 1)\) và \((1, +)\)

Lời giải chi tiết:

+ Với mọi x1; x2 \((-; 1)\) và x1 x2ta có:

f(x2) f(x1) = (-2x22+ 4x2+ 1) (-2x12+ 4x1+ 1)

= -2(x22- x12) + 4(x2- x1)

\(= - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\)

\(= 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( { - {x_2} - {x_1} + 2} \right)\)

\( = {\rm{ }}2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \) \(=2\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)

Vì x1< 1 và x2< 1 nên \({x_1} + {x_2} < 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) > 0\)

Vậy hàm số \(y = -2x^2+ 4x + 1\) đồng biến trên khoảng \((-; 1)\)

+ Với mọi x1; x2 \((1; +)\) thì x1> 1 và x2> 1và x1 x2ta có:

\({x_1} + {x_2} > 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) < 0\)

Do đó \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \)\(=2\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)< 0

Vậy hàm số \(y = -2x^2 + 4x + 1\) nghịch biến trên khoảng \((1; +)\)

Bảng biến thiên:

LG c

\(y = {2 \over {x - 3}}\)trên mỗi khoảng \((-; 3)\) và \((3, +)\)

Lời giải chi tiết:

+ Với x1, x2 \((- ; 3)\) với x1 x2ta có:

\(\eqalign{
& f({x_2}) - f({x_1}) = {2 \over {{x_2} - 3}} - {2 \over {{x_1} - 3}} \cr
& = {{2({x_1} - 3) - 2({x_2} - 3)} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr&= {{2({x_1} - {x_2})} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr
& \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr} \)

(vì x1< 3; x2< 3 nên (x1 3)(x2 3) > 0)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}}<0\)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((- ; 3)\)

+ Với x1, x2 \((3; +)\) với x1 x2ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} < 0\)

(vì x1> 3; x2> 3 nên (x1 3)(x2 3) > 0)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\)nghịch biến trên \((3; + )\)

Bảng biến thiên: