- LG câu a
- LG câu b
Cho biểu thức:
\[Q = \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt a - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt a }}} \right]:\left[ {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 2}} - \dfrac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a - 1}}} \right]\]
LG câu a
Rút gọn \[Q\] với \[a > 0,a \ne 4\] và \[a \ne 1\].
Phương pháp giải:
Các bước rút gọn biểu thức:
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa [căn thức xác định, mẫu khác không nếu bài toán chưa cho]
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử [áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức]
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Với \[a > 0,a \ne 4\] và \[a \ne 1\], ta có:
\[Q = \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt a - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt a }}} \right]:\left[ {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 2}} - \dfrac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a - 1}}} \right]\]
\[ = \dfrac{{\sqrt a - \left[ {\sqrt a - 1} \right]}}{{\sqrt a \left[ {\sqrt a - 1} \right]}}\]\[:\dfrac{{\left[ {\sqrt a + 1} \right]\left[ {\sqrt a - 1} \right] - \left[ {\sqrt a + 2} \right]\left[ {\sqrt a - 2} \right]}}{{\left[ {\sqrt a - 2} \right]\left[ {\sqrt a - 1} \right]}}\]
\[ = \dfrac{\sqrt a - {\sqrt a +1}}{{\sqrt a \left[ {\sqrt a - 1} \right]}}:\dfrac{{a-1-[a-4]}}{\left[ {\sqrt a - 2} \right]\left[ {\sqrt a - 1} \right]}\]
\[ = \dfrac{1}{{\sqrt a \left[ {\sqrt a - 1} \right]}}:\dfrac{{3}}{\left[ {\sqrt a - 2} \right]\left[ {\sqrt a - 1} \right]}\]
\[ = \dfrac{1}{{\sqrt a \left[ {\sqrt a - 1} \right]}}.\dfrac{{\left[ {\sqrt a - 2} \right]\left[ {\sqrt a - 1} \right]}}{3}\]
\[ = \dfrac{{\sqrt a - 2}}{{3\sqrt a }}\]
LG câu b
Tìm giá trị của \[a\] để \[Q\] dương.
Phương pháp giải:
Cho \[Q>0\] để tìm \[a.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[a > 0\] nên \[\sqrt a > 0\Leftrightarrow 3\sqrt a > 0\]
Khi đó:\[Q = \dfrac{{\sqrt a - 2}}{{3\sqrt a }}\]dương khi \[\sqrt a - 2 > 0\]
Ta có: \[\sqrt a - 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a > 2 \Leftrightarrow a > 4\]
Vậy khi \[a>4\] thì \[Q>0.\]