Soạn bài đường thẳng và mặt phẳng song song
|
§5. ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THANG và mặt phang
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (tí). Tuỳ theo số điểm chung của d và (tí), ta có ba trường hợp sau (h.2.39).
d n («) - {m)
d c (à)
d// (à)
Hình 2.39
d và (tí) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (tí) hay (tí) song song với d và kí hiệu là d // (tí) hay (tí) // d.
d và (tí) có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (tí) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu là d n (tí) = {M} hay d n (tí) = M.
d và (tí có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, theo tính chất 3 §1, d nằm trong (tí) hay (tí) chứa d và kí hiệu d c (tí) hay (tí) Z) d.
Â1 Trong phòng học hãy quan sát hình ảnh của đường thẳng song song với mặt phẳng.
TÍNH CHẤT
Để nhận biết đường thẳng d song song với mặt phẳng (cộ ta có thể căn cứ vào số giao điểm của chúng. Ngoài ra ta có thể dựa vào các dấu hiệu sau đây.
Định lí ì
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (cộ và d song song với đường thẳng d' nằm trong (cộ thì d song song với (cộ.
Chứng minh
Gọi (/ổ) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song d, d'. Ta có (cộ n (yổ) = d' (h.2.40).
Nếu d n (cộ = {m} thì M thuộc
giao tuyến của (cr) và (/?) là d' hay d n d' - {AỈỊ. Điều này mâu thuẫn với giả thiết d // d'.
Vậy d // (cộ.
^.2 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, p lần lượt là trung, điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không ?
Định lí 2
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (cộ. Nếu mặt phẳng chứa a và cắt ( Bài tập 1: Trang 53 - sgk hình học 11 Cho điểm A không nằm trong mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E,F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC) b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF)
Bài tập 2: Trang 53 - sgk hình học 11 Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α). Chứng minh M là điểm chung của (α) với một mặt phẳng bất kì chứa d.
Bài tập 3: Trang 53 - sgk hình học 11 Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Bài tập 4: Trang 53 - sgk hình học 11 Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng qui.
Bài tập 5: Trang 53 - sgk hình học 11 Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm đoạn SC. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB) b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.
Bài tập 6: Trang 53 - sgk hình học 11 Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).
Bài tập 7: Trang 54 - sgk hình học 11 Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN)
Bài tập 8: Trang 54 - sgk hình học 11 Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của hia mặt phẳng (PMN) và BC.
Bài tập 9: Trang 54 - sgk hình học 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C' là một điểm nằm trên cạnh SC a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C'AE) b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C'AE)
Bài tập 10: Trang 54 - sgk hình học 11 Cho hình chóp S. ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM) b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC) c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC) d) Tìm giao điểm P của SC và mặt pẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM)
Bài tập 1: Trang 71 - SGK hình học 11 Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý. a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’). b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
Bài tập 2: Trang 71 - SGK hình học 11 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’. b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M. c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’). d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
Bài tập 3: Trang 71 - SGK hình học 11 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau. b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và ∆A’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
Bài tập 4: Trang 71 - SGK hình học 11 Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm của đoạn AA1. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B1, C1, D1 . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B2, C2, D2. Chứng minh: a) B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. b) B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D. c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD. |
