Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho elip \[\displaystyle [E]\] có phương trình: \[\displaystyle {{{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1\]
LG a
Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip \[[E]\] và vẽ elip đó
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[a^2= 100 a = 10\]
\[b^2= 36 b = 6\]
\[c^2= a^2 b^2= 64 c = 8\]
Từ đó ta được:
+] Tọa độ các đỉnh: \[A_1[-10; 0], A_2[10; 0], B_1[0; -3], \] \[B_2[0;3]\]
+] Tọa độ các tiêu điểm: \[ F_1[-8; 0], F_2[8; 0]\]
LG b
Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với \[Oy\] và cắt elip tại hai điểm \[M\] và \[N\]. Tính độ dài đoạn thẳng \[MN\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua \[F_2[8;0]\] và song song \[Oy\].
Khi đó \[d:x=8\]
\[\begin{array}{l}
M = d \cap \left[ E \right]\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{64}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
\dfrac{{{y^2}}}{{36}} = \dfrac{9}{{25}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
{y^2} = \dfrac{{324}}{{25}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 8\\
y = \pm \dfrac{{18}}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Do đó có hai giao điểm của \[d\] với \[[E]\] là\[M\left[ {8;\dfrac{{18}}{5}} \right],N\left[ {8; - \dfrac{{18}}{5}} \right]\]
\[MN = \sqrt {{{\left[ {8 - 8} \right]}^2} + {{\left[ { - \dfrac{{18}}{5} - \dfrac{{18}}{5}} \right]}^2}} \] \[ = \dfrac{{36}}{5}\]
Cách khác:
Ta có: \[M \in \left[ E \right]\] \[ \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 20\,\left[ 1 \right]\]
\[MN//Oy \Rightarrow MN \bot {F_1}{F_2}\] \[ \Rightarrow \Delta M{F_2}{F_2}\] vuông tại \[{F_2}\]
Theo định lý Pitago ta có:
\[\begin{array}{l}MF_1^2 - MF_2^2 = {F_1}F_2^2 = {\left[ {2c} \right]^2} = {16^2}\\ \Rightarrow \left[ {M{F_1} - M{F_2}} \right]\left[ {M{F_1} + M{F_2}} \right] = {16^2}\end{array}\]
Mà \[M{F_1} + M{F_2} = 20\] nên
\[\begin{array}{l}\left[ {M{F_1} - M{F_2}} \right].20 = {16^2}\\ \Leftrightarrow M{F_1} - M{F_2} = \dfrac{{{{16}^2}}}{{20}} = \dfrac{{64}}{5}\,\left[ 2 \right]\end{array}\]
Từ [1] và [2] ta có hệ: \[\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 20\\M{F_1} - M{F_2} = \dfrac{{64}}{5}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \dfrac{{82}}{5}\\M{F_2} = \dfrac{{18}}{5}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow MN = 2M{F_2} = 2.\dfrac{{18}}{5} = \dfrac{{36}}{5}\]