Video hướng dẫn giải - giải bài 7 trang 39 sgk hình học lớp 12

LG a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:\({S_{xq}} = 2\pi rh,\,\,{S_{tp}} = 2\pi rh + \pi {r^2}\) với \(r;h\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao của hình trụ.

Lời giải chi tiết:

Theo công thức ta có:

\(S_{xq} = 2πrh =2\sqrt3 πr^2\)

\(S_{tp} =2πrh + 2πr^2= 2\sqrt3 πr^2+ 2 πr^2\)

\(= 2(\sqrt3 + 1)πr^2\) ( đơn vị thể tích)

LG b

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:\(V = \pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

\(V\)trụ = \(πR^2h = \sqrt3 π r^3\)

LG c

c) Cho hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ bằng \(30^0\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ.

Phương pháp giải:

+) Giả sử trục của hình trụ là \(O_1O_2\)và \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O_1\), \(B\) nằm trên đường tròn tâm \(O_2\). Kẻ \(BB_1\) // \({O_1}{O_2}\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {AB;{O_1}{O_2}} \right)} = \widehat {\left( {AB;B{B_1}} \right)} = \widehat {AB{B_1}}\).

+) Xác định khoảng cách giữa AB và\({O_1}{O_2}\) bằng cách xác định đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Giả sử trục của hình trụ là \(O_1O_2\)và \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O_1\), \(B\) nằm trên đường tròn tâm \(O_2\); \(I\) là trung điểm của\(O_1O_2\), \(J\) là trung điểm của \(AB\).

Ta chứng minh \(IJ\) là đường vuông góc chung của \(O_1O_2\)và \(AB\).

Hạ \(BB_1\)vuông góc với đáy, \(J_1\)là hình chiếu vuông góc của \(J\) xuống đáy.

Dễ thấy \(J_1\) là trung điểm của \(AB_1\) (định lí đường trung bình của tam giác).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{O_1}{J_1} \bot A{B_1}\\{O_1}{J_1} \bot B{B_1}\end{array} \right. \Rightarrow {O_1}{J_1} \bot \left( {AB{B_1}} \right)\).

Mà\(IJ//{O_1}{J_1} \Rightarrow IJ \bot \left( {AB{B_1}} \right)\)\( \Rightarrow IJ \bot AB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}IJ//{O_1}{J_1}\\{O_1}{O_2} \bot {O_1}{J_1}\end{array} \right. \Rightarrow IJ \bot {O_1}{O_2}\).

Vậy IJ là đường vuông góc chungcủa \(O_1O_2\)và \(AB\) \( \Rightarrow d\left( {AB;{O_1}{O_2}} \right) = IJ\)

Ta có:\(BB_1\) // \({O_1}{O_2}\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {AB;{O_1}{O_2}} \right)} = \widehat {\left( {AB;B{B_1}} \right)} = \widehat {AB{B_1}}\).

do vậy: \(AB_1= BB_1.tan 30^0\)=\( \frac{\sqrt{3}}{3}h = r\).

Xét tam giác vuông\(O_1J_1A\) vuông tại \(J_1\)ta có:

\( O_{1}J^{2}_{1}\)=\( O_{1}A^{2}\)-\( AJ^{2}_{1} =\)\( r^{2} - {\left( {{r \over 2}} \right)^2}=\)\( \frac{3}{4}r^{2}\)\( \Rightarrow {O_1}{J_1} = \frac{{r\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy khoảng cách giữa \(AB\) và \(O_1O_2\) là:\( \frac{\sqrt{3}}{2}r\).