Bài 9, 10, 11 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao - Bài trang SGK Hình học Nâng cao
\(\eqalign{& \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right),\cr&\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 2} \right) \cr& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{- 1\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr- 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right)\cr& = \left( { - 3;1; - 2} \right) \cr& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 3.1 + 1.1 - 2.1 = - 4 \ne 0 \cr} \) Bài 9 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao Xét sự đồng phẳng của ba vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \)và \(\overrightarrow {\rm{w}} \)trong mỗi trường hợp sau: a) \(\overrightarrow u \left( {4;3;4} \right)\,,\,\overrightarrow v \left( {2; - 1;2} \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left( {1;2;1} \right)\) b) \(\overrightarrow u \left( {1; - 1;1} \right)\,;\,\overrightarrow v \left( {0;1;2} \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left( {4;2;3} \right)\) c) \(\overrightarrow u \left( {4;2;5} \right)\,;\,\overrightarrow v \left( {3;1;3} \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} \left( {2;0;1} \right)\) Giải a) Ta có: \(\eqalign{ Do đó \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng. b) \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) không đồng phẳng. c) \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} = 0 \Rightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng. Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\,;\,B\left( {0;0;1} \right)\,;\,C\left( {2;1;1} \right)\) Giải a) Ta có \(\overrightarrow {BA} = \left( {1;0; - 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {2;1;0} \right)\). \(\eqalign{ Vậy chu vi tam giác ABC bằng \(\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 \). \(\cos B = {{AB} \over {BC}} = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {10} } \over 5}\,;\) \(\cos C = {{AC} \over {BC}} = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {15} } \over 5}\) Bài 11 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó. c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A. Giải a) Ta có: \(\eqalign{ Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \)không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) Ta có \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 2} \right),\) \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \)lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì \(\eqalign{ c) Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {1 \over 6}\left| { - 4} \right| = {2 \over 3}\) Gọi \({h_A}\)là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A. \(\eqalign{ Vậy \({h_A} = {{3.{2 \over 3}} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\)
|