Bài - bài 5.1, 5.2, 5.3 phần bài tập bổ sung trang 56 sbt toán 9 tập 2
\(\eqalign{& \Delta ' = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \cr& = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr& = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr& = {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr& \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Bài 5.1 Giả sử \({x_1} , {x_2}\)là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\)có \( = 0\). Điều nào sau đây là đúng? A)\(\displaystyle {x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\) B)\(\displaystyle {x_1} = {x_2} = - {{b'} \over a}\) C)\(\displaystyle {x_1} = {x_2} = - {b \over a}\) D)\(\displaystyle {x_1} = {x_2} = - {{b'} \over {2a}}\) Phương pháp giải: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) + Nếu \(\Delta ' >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}\); \({x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}\) + Nếu \(\Delta ' =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}\). + Nếu \(\Delta ' <0\)thì phương trình vô nghiệm. Lời giải chi tiết: Giả sử\({x_1} , {x_2}\)là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\)có \( = 0\) thì\({x_1} = {x_2} \displaystyle= - {{b'} \over a}\) Chọn B. Bài 5.2 Tìm mối liên hệ giữa \(a, b, c\) để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\)có nghiệm. Phương pháp giải: Tìm điều kiện để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) (1) có nghiệm ta xét hai trường hợp sau: - TH1: \(a=0\) từ đó tìm nghiệm của (1). - TH2: \(a\ne 0\), phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi\(\Delta \ge 0\). Lời giải chi tiết: - TH1: \({{b^2} + {c^2}}=0\) \( \Leftrightarrow b = 0\) và \(c = 0\). Khi đó phương trình đã cho có dạng:\({a^2} = 0\) (*) Phương trình (*) có nghiệm khi \(a=0\). Vậy \(a=b=c=0\) thì phương trình đã cho có vô số nghiệm. - TH2:\({b^2} + {c^2} \ne 0\) Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\)có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\) \({b^2} + {c^2} \ne 0\)suy ra \(b\) và \(c\) không đồng thời bằng \(0.\) \(\eqalign{ Vì\({b^2} \ge 0 \) \(\Rightarrow \Delta ' \ge 0\) \(\Leftrightarrow- {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \) \(\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\) Vậy \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\)thì phương trình đã cho có nghiệm. Bài 5.3 Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) \) \(+ \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) luôn có nghiệm. Phương pháp giải: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) luôn có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\). Đối với bài này ta chứng minh phương trình đã cho có\(\Delta ' \ge 0\). Lời giải chi tiết: \( \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) \)\(\,+ \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx \)\(\,+ bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 \) \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc\)\(\, + ac = 0 \) \( \Delta ' = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right) \) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\)\(\, - 3ab - 3ac - 3bc \) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \) \(\displaystyle = {1 \over 2}( 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac\)\(\, - 2bc) \) \(\displaystyle= {1 \over 2}[ \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\)\(\, + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)] \) \(\displaystyle = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \) Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\) \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) Suy ra: \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) \(\Rightarrow \Delta ' = \displaystyle{1 \over 2}[ {{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} \)\(\,+ {{\left( {a - c} \right)}^2}] \ge 0\) Vậy phương trình luôn có nghiệm.
|