Bài tập hình học trang 122 bài 7 11
|
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^0\) và \(SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí Pitago tính \(SH\) và \(SC\).
Lời giải chi tiết
Do \(SA = SB = SD\) suy ra \(HA = HB = HC\) \(⇒ H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\). Ta có: \(AB = AD = a\) và \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên \(\Delta ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Trong tam giác vuông \(SAH\), ta có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\) \( \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\) \(CH = AC - AH = 2AO - AH \) \(= 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) Trong tam giác vuông \(SHC\): \(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\Rightarrow SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)
\(S{C^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{4};\,\,B{C^2} = {a^2};\,\,S{B^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\) \( \Rightarrow S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\) \(\Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow SB \bot BC.\) Cách khác: Ta có: \(SH \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow SH \bot AD\). \(H\) là tâm tam giác \(ABD\) nên \(BH\bot AD\) \(\left\{ \begin{array}{l} BH \bot AD\\ SH \bot AD \end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SBH} \right)\) Mà \(BC//AD\) nên \(BC \bot \left( {SBH} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SB\)
\(\eqalign{ & \left. \matrix{ DB \bot AC \hfill \cr SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \cr &\Rightarrow DB \bot (SAC) \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr {\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \) \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\ SO \bot BD,AC \bot BD\\ SO \subset \left( {SBD} \right)\\ AC \subset \left( {ABCD} \right) \end{array} \right.\) Nên góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa SO và AC hay \(\widehat{ SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\) Ta có: \( SH = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\) và \(OH = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) \(\Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{{SH}}{{OH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}} = \sqrt 5 \) \(\Rightarrow SH^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{9}= \frac{5a^2}{12} \Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{6}\) Gọi O là giao điểm của AC và BD \(\Rightarrow OC=OA=\frac{3}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) Và \(OH=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow HC=HO+OC\) \(=\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\) Trong tam giác vuông HSC có: \(SC^2=SH^2+HC^2=\frac{15a^2}{36}+\frac{12a^2}{9}=\frac{7a^2}{4}\) Vậy \(SC=\frac{a\sqrt{7}}{2}.\) Câu b: Theo chứng minh ở câu a) \(SH\perp (ABCD)\) mà \(SH\subset (SAC)\) Vậy \((SAC)\perp (ABCD)\) (đpcm) Câu c: Trong tam giác SBC có: \(SB^2=\frac{3a^2}{4}; BC^2=a^2; SC^2=\frac{7a^2}{4}\) \(\Rightarrow SC^2=SB^2+BC^2\Rightarrow\) tam giác SBC vuông tại B hay \(SB\perp BC\) (đpcm) Câu d: Vì ABCD là hình thoi \(\Rightarrow AC\perp BD \ (1)\) Mặt khác \(\Delta SBD\) cân đỉnh S có O là trung điểm \(BD \Rightarrow SO \perp BD \ (2)\) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BD \perp (SAO)\) BD là giao tuyến của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) Suy ra \(\varphi =SOA=SOH\) Trong tam giác vuông SOH ta có: \(tan\varphi =\frac{SH}{OH}=\frac{\frac{a\sqrt{15}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}= \sqrt{5}\). Đáp án bài 7 trang 122 SGK hình học lớp 11 Bài tập ôn tập chương 3 : Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian 1. Đề bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có góc BAD = 60∘ và SA=SB=SD= (a√3)/2
2. Đáp án - hướng dẫn giải bài 7 trang 122Bạn còn vấn đề gì băn khoăn? Vui lòng cung cấp thêm thông tin để chúng tôi giúp bạn |
