Bài tập toán 11 giải tích chương 3

Phần hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản-Nâng cao.

• Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11 Chứng minh rằng với \(n \in N*\), ta có đẳng thức:
• \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}\);
• \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\);
• \(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\).
• Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11 Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
• \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3;
• \(4n + 15n - 1\) chia hết cho 9;
• \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6.
• Bài tập 3 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \geq 2\), ta có các bất đẳng thức:
• \(3^n > 3^n + 1\)
• \(2^{n + 1} > 2n + 3\)
• Bài tập 4 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11 Cho tổng \(S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)với n ε N* .
• Tính \(S_1, S_2, S_3\).
• Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
• Bài tập 5 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11 Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là \(\frac{n(n-3)}{2}\)
• Bài tập 3.1 trang 107 SBT Toán 11 Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N∗)
• \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\)
• \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \frac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\)
• Bài tập 3.2 trang 107 SBT Toán 11 Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N∗)
• Chứng minh \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \frac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\)
• \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)
• Bài tập 3.3 trang 107 SBT Toán 11 Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗ ta có:
• 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6.
• 11n + 1 + 122n−1 chia hết cho 133.
• Bài tập 3.4 trang 107 SBT Toán 11 Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N∗)
• 2n + 2 > 2n + 5;
• sin2nα + cos2nα ≤ 1.
• Bài tập 3.5 trang 107 SBT Toán 11 Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có
• 2n > 2n + 1 ;
• 2n > n2 + 4n + 5 ;
• 3n > 2n + 7n ?
• Bài tập 3.6 trang 107 SBT Toán 11 Cho tổng: \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\)
• Tính S1, S2, S3, S4;
• Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
• Bài tập 3.7 trang 107 SBT Toán 11 Xét mệnh đề chứa biến P(n): "10n - 1 < n + 2017 với n ∈ N∗" Bằng phép thử ta có P(1), P(2), P(3), P(4) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?
• P(n) đúng với mọi số chẵn n ≤ 4
• P(n) đúng với mọi số lẻ n < 4
• P(n) đúng với mọi số n
• P(n) đúng với mọi số n ≤ 4
• Bài tập 3.8 trang 108 SBT Toán 11 Đặt \({S_n} = \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \). Giả sử hệ thức \({S_n} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\) là đúng với n = k ≥ 1. Để chứng minh hệ thức trên cũng đúng với n = k + 1, ta phải chứng minh Sk + 1 bằng:
• \(\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{k + 1}\)
• \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)
• \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\)
• \(\sqrt {2 + {S_k}} \)
• Bài tập 1 trang 100 SGK Toán 11 NC Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau : \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) (1)
• Bài tập 2 trang 100 SGK Toán 11 NC Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức : \({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)
• Bài tập 3 trang 100 SGK Toán 11 NC Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau : \(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n \)
• Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau: \(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)
• Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau: \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)
• Bài tập 6 trang 100 SGK Toán 11 NC Với mỗi số nguyên dương n, đặt un = 7.22n−2+32n−1 (1) . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5.
• Bài tập 7 trang 100 SGK Toán 11 NC Cho số thực x > −1. Chứng minh rằng: (1+x)n ≥ 1+nx (1) Với mọi số nguyên dương n.

Bài tập 8 trang 100 SGK Toán 11 NC

Một học sinh chứng minh mệnh đề "Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu 8k+1 chia hết cho 7 thì 8k+1+1 cũng chia hết cho 7" như sau:

Ta có: 8k+1+1 = 8(8k+1)−7. Từ đây và giả thiết "8k+1 chia hết cho 7", hiển nhiên suy ra 8k+1+1 chia hết cho 7.

Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được "8n+1 chia hết cho 7 với mọi n ∈ N∗" hay không ? Vì sao ?