Bài tập về tọa độ của tích vô hướng
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ BÀI TẬP ỨNG DỤNG A. Lý thuyết I. Góc giữa hai vector 1. Định nghĩa Cho hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ (khác $\overrightarrow{0}$). Từ điểm O bất kì vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ Góc $\overset{\wedge }{\mathop{AOB}}\,$ với số đo từ ${{0}^{\circ }}$ đến ${{180}^{\circ }}$ gọi là góc giữa hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ Kí hiệu: ($\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$) hay ($\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}$) Đặc biệt: Nếu ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$)=90$^{0}$ thì ta nói $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$ hay$\overrightarrow{b}\bot \overrightarrow{a}$ Nếu ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$)=0$^{0}$ thì $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$ Nếu ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$)=180$^{0}$ thì $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$ II. Định nghĩa tích vô hướng Cho hai vector $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$là một số kí hiệu: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$và được xác ddiinhj bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.Cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ Chú ý: * $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$ * $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{\overrightarrow{a}}^{2}}$ * ${{\overrightarrow{a}}^{2}}$gọi là bình phương vô hướng của vector $\overrightarrow{a}$ * $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$âm hay dương phụ thuộc vào $Cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ II. Các tính chất của tích vô hướng: Cho ba vector $\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c}$bất kì, với mọi số k ta có:
Nhận xét
III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 vector \[\overrightarrow{a\,}\,=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}} \right)\,\,\,;\,\overrightarrow{b\,}=\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}} \right)\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{a\,}.\overrightarrow{b\,}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}\] Một số công thức cần nhớ : B. Bài tập minh họa Dạng 1: Tính tích vô hướng cảu hai vector Phương pháp:
Giải: \[AB\bot AC=>\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\,\,\,\,\,\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA.CB\cos {{45}^{0}}\,\,-{{a}^{2}}\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}=-{{a}^{2}}\] Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vô hướng hay đẳng thức các độ dài Phương pháp:
Giải: Dạng 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định hình dạng của tam giác ABC. Phương pháp:
Giải: \[=>\Delta OAB\,\]đều Trực tâm H của tam giác OAB cũng là trọng tâm của tam giác\[\text{ OAB }=>\text{ H}\left( \text{2;}\frac{\text{2}\sqrt{\text{3}}}{3} \right)\] Dạng 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định trọng tâm G , trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Phương pháp:
Do H là trực tâm . Giải hệ tìm x, y
Giải: a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \[=>\text{G}\left( \frac{\text{5}+\text{2-2}}{\text{3}};\frac{4+7-1}{3} \right)=G\left( \frac{5}{3};\frac{10}{3} \right)\] Gọi \[H(x;y\,)\]là trực tâm tam giác ABC H là trực tâm tâm tam giác Gọi $I(x;y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b. \[\overrightarrow{IG}=\left( 1;\frac{2}{3} \right)\,\,\,\,\overrightarrow{IH}=\left( 3;2 \right)=3\left( 1;\frac{2}{3} \right)=3\overrightarrow{IG}=>I;G;H\]thẳng hàng Dạng 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Phương pháp:
Giải: \[AB=\frac{15}{4};AC=5=>k=-\frac{AB}{AC}=-\frac{3}{4}\] Gọi D là giao điểm phân giác trong của góc A và BC \[=>\overrightarrow{\text{DB}}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{DC}\] \[BA=\frac{15}{4};BD=\frac{3}{4}=>k'=-5\] Gọi J là giao điểm phân giác trong của góc B và AD $\Rightarrow JA=-5JD$ Dạng 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3).Gọi A’ là chân đường vuông góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’ Phương pháp: Gọi A’(x;y)
Giải hệ:
Giải: Dạng 7: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3),Tính cosA Phương pháp:
Giải: C. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC = aÖ3 .Gọi M là trung điểm của BC biết \[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\,\,\,.\]Tính AB và AC Câu 2: Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) và C(0;3).Xác định hình dạng của tam giác ABC .Tìm Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) và C(m+3; 1) .Định m để tam giác ABC vuông tại A. Câu 4: Cho 2 điểm A (2 ; –1) và B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ là 2 và tam giác ABM vuông tại C . Câu 5: Trong mpOxy cho 2 điểm A(2;4) và B(1 ; 1) . Tìm điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B. Câu 6: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) và C(4;0).Xác định trực tâm H của tam giác ABC. Câu 7: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) . Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 8: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) và C(1;5) .Tìm trực tâm H của tam giác ABC . Câu 9: Trong mpOxy cho tam giác ABC với\[A\left( \frac{-15}{2};2 \right)\,\,\,B(12;15)\,\,\,C(0;-3)\]Tìm tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC . Câu 10: Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) và C(1;3) .Tìm chân đường cao A’ của đường cao kẻ từ A lên BC. Đáp số: Câu 1: \[\text{AB}=\text{a}\sqrt{\text{2}}\,\,\,\,\,AC=a\] Câu 2: Vuông tại A , Tâm I (–1;1) Câu 3: m = –1 hay m =-2 Câu 4: M(1;2) và M(–1;2) Câu 5: C(4;0) và C(–2;2) Câu 6:\[H\left( \frac{164}{31};-\frac{15}{31} \right)\] Câu 7: \[I\left( \frac{-1}{2};\frac{1}{2} \right)\] Câu 8: \[H\left( \frac{21}{11};\frac{25}{11} \right)\] Câu 9: J(-1;2) Câu 10: A’\[\left( -\frac{37}{53};-\frac{156}{53} \right)\] Bài viết gợi ý: |