Biết một nguyên hàm của hàm số yfx là 2 fxxx 4 1 khi đó giá trị của hàm số F 3

Lời Giải:
Đây là các câu trắc nghiệm về NGUYÊN HÀM mức độ 2,3 – VẬN DỤNG

\(\text { Đặt }\left\{\begin{array} { l } { u = x } \\ { \mathrm { d } v = \operatorname { c o s } 2 x \mathrm { d } x } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{2} \sin 2 x

\end{array}\right.\right. \text { . }\)

Khi đó:

\(I=\frac{1}{2} x \sin 2 x-\frac{1}{2} \int \sin 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} x \sin 2 x+\frac{1}{4} \cos 2 x+C\)

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Nguyên hàm

Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \(y = 3{x^4}\)?

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x\) là:

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 2}}$. Hãy chọn mệnh đề sai:

Tìm nguyên hàm của hàm số  \(f(x) = {x^2} + \dfrac{2}{{{x^2}}}.\) 

Họ nguyên hàm của hàm số \(y=\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} \) là:

https://toanmath.com/ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số ( ) f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu ( ) ( ) ' F x f x = với mọi xK ∈ . Định lí: 1) Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số ( ) ( ) Gx F x C = + cũng là một nguyên hàm của ( ) f x trên K . 2) Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì mọi nguyên hàm của ( ) f x trên K đều có dạng ( ) F x C + , với C là một hằng số. Do đó ( ) , F x C C + ∈  là họ tất cả các nguyên hàm của ( ) f x trên K. Ký hiệu ( ) ( ) x f xd F x C = + ∫ . 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: ( ) ( ) ( ) x f x d f x ′ = ∫ và ( ) ( ) 'x f xd f x C = + ∫ Tính chất 2: ( ) ( ) xx kf xd k f xd = ∫∫ với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( ) x xx f x g x d f x d g x d ±= ±   ∫ ∫∫ 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số ( ) f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp ( ) ( ) u ux = x d xC = + ∫ u d uC = + ∫ ( ) 1 1 x1 1 xd x C αα α α + = + ≠− + ∫ ( ) 1 1 u1 1 ud u C αα α α + = + ≠− + ∫ 1 x ln d xC x = + ∫ 1 u ln d uC u = + ∫ x x x e d e C = + ∫ u uu e d e C = + ∫ ( ) x 0, 1 ln x x a ad C a a a = + >≠ ∫ ( ) u 0, 1 ln u u a ad C a a a = + >≠ ∫ https://toanmath.com/ sin dx cos x xC = − + ∫ sin du cos u uC = −+ ∫ cos xdx sin xC = + ∫ cos udu sin uC = + ∫ 2 1 x tan cos d xC x = + ∫ 2 1 u tan cos d uC u = + ∫ 2 1 x cot sin d xC x = − + ∫ 2 1 u cot sin d uC u = − + ∫ B - BÀI TẬP DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có đạo hàm trên [ ] ; ab . (2): Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . (4): Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ ] ; ab . A. 2 . B. 3. C. 1. D. 4 . Câu 2. Cho hai hàm số ( ) f x , ( ) gx liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ( ) ( ) ( ) ( ) d dd f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫∫ . B. ( ) ( ) ( ) ( ) . d d. d f x gx x f x x gx x =     ∫ ∫∫ . C. ( ) ( ) ( ) ( ) d dd f x gx x f x x gx x −= −   ∫ ∫∫ . D. ( ) ( ) dd kf x x k f x x = ∫ ∫ ( ) 0; kk ≠ ∈  . Câu 3. Cho ( ) f x , ( ) gx là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ( ) ( ) ( ) ( ) d d. d f x g xx f xx g xx = ∫ ∫∫ . B. ( ) ( ) 2 d2 d f x x f x x = ∫∫ . C. ( ) ( ) ( ) ( ) dd d f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫ ∫ . D. ( ) ( ) ( ) ( ) ddd f x gx x f x x gx x −= −   ∫ ∫∫ . Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. ( ) ( ) dd kf x x k f x x = ∫ ∫ với k ∈  . B. ( ) ( ) ( ) ( ) d dd f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫ ∫ với ( ) f x ; ( ) gx liên tục trên  . C. 1 1 d 1 xx x αα α + = + ∫ với 1 α ≠− . D. ( ) ( ) ( ) d f x x f x ′ = ∫ . Câu 5. Cho hai hàm số ( ) f x , ( ) gx là hàm số liên tục, có ( ) F x , ( ) Gx lần lượt là nguyên hàm của ( ) f x , ( ) gx . Xét các mệnh đề sau: ( ) I . ( ) ( ) F x Gx + là một nguyên hàm của ( ) ( ) f x gx + . ( ) II . ( ) . k F x là một nguyên hàm của ( ) . kf x với k ∈  . ( ) III . ( ) ( ) . F x Gx là một nguyên hàm của ( ) ( ) . f x gx . Các mệnh đề đúng là https://toanmath.com/ A. ( ) II và ( ) III . B. Cả 3 mệnh đề. C. ( ) I và ( ) III . D. ( ) I và ( ) II . Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx −= −   ∫ ∫ ∫ , với mọi hàm số ( ) ( ) , f x gx liên tục trên  . B. ( ) ( ) f x dx f x C ′ = + ∫ với mọi hàm số ( ) f x có đạo hàm trên  . C. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = +   ∫ ∫∫ , với mọi hàm số ( ) ( ) , f x gx liên tục trên  . D. ( ) ( ) kf x dx k f x dx = ∫∫ với mọi hằng số k và với mọi hàm số ( ) f x liên tục trên  . Câu 7. Cho hàm số ( ) f x xác định trên K và ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) f x F x ′ = , xK ∀∈ . B. ( ) ( ) F x f x ′ = , xK ∀∈ . C. ( ) ( ) F x f x = , xK ∀∈ . D. ( ) ( ) Fx f x ′′ = , xK ∀∈ . Câu 8. Cho hàm số ( ) f x xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số ( ) ( ) Gx F x C = + cũng là một nguyên hàm của ( ) f x trên K . B. Nếu ( ) f x liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số ( ) F x được gọi là một nguyên hàm của ( ) f x trên K nếu ( ) ( ) F x f x ′ = với mọi xK ∈ . D. Nếu hàm số ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì hàm số ( ) Fx − là một nguyên hàm của ( ) f x trên K . DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. Câu 9. Cho ( ) 1 2 f x x = + , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Trên ( ) 2; − +∞ , nguyên hàm của hàm số ( ) f x là ( ) ( ) 1 ln 2 F x x C = + + ; trên khoảng ( ) ; 2 −∞ − , nguyên hàm của hàm số ( ) f x là ( ) ( ) 2 ln 2 F x x C = −− + ( 12 , CC là các hằng số). B. Trên khoảng ( ) ; 2 −∞ − , một nguyên hàm của hàm số ( ) f x là ( ) ( ) ln 2 3 Gx x = −− − . C. Trên ( ) 2; − +∞ , một nguyên hàm của hàm số ( ) f x là ( ) ( ) ln 2 F x x = + . D. Nếu ( ) F x và ( ) Gx là hai nguyên hàm của của ( ) f x thì chúng sai khác nhau một hằng số. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? A. cos d sin xx x C = −+ ∫ . B. 1 d ln x xC x = + ∫ . C. 2 2d xx x C = + ∫ . D. ed e xx x C = + ∫ . Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. 4 3 d 4 xC xx + = ∫ . B. 1 d ln x xC x = + ∫ . C. sin d cos x x C x = − ∫ . D. ( ) 2e d 2 e xx x C = + ∫ . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. d2 xx C = + ∫ ( C là hằng số). B. 1 d 1 n n x x x C n + = + + ∫ (C là hằng số; n ∈  ). C. 0dx C = ∫ ( C là hằng số). D. ed e xx xC = − ∫ ( C là hằng số). https://toanmath.com/ Câu 13. Tìm nguyên hàm ( ) 2 d F x x π = ∫ . A. ( ) 2 F x x C π = + . B. ( ) 2 F x x C π = + . C. ( ) 3 3 F x C π = + . D. ( ) 22 2 x F x C π = + . Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) e cos 2018 x f x x =+ + là A. ( ) e sin 2018 x F x x x C =++ + . B. ( ) e sin 2018 x F x x x C =−+ + . C. ( ) e sin 2018 x F x x x =++ . D. ( ) e sin 2018 x F x x C =++ + . Câu 15. Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 29 f x x = − là: A. 4 1 9 2 x xC −+ . B. 4 4 9 x xC −+ . C. 4 1 4 xC + . D. 3 49 x xC −+ . Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) e e. 4 f x x = + là A. 101376. B. 2 e1 e.xC − + . C. e 1 4 e 1 x xC + ++ + . D. e 1 e. 4 e 1 x xC + ++ + . Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2 5 61 f x x x = −+ là A. 3 20 12 x xC −+ . B. 5 3 2 x x xC − ++ . C. 53 20 12 x x xC − ++ . D. 4 2 22 4 x x xC + −+ . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? A. 0dx C = ∫ . B. 5 4 d 5 x xx C = + ∫ . C. 1 d ln x xC x = + ∫ . D. ed e xx x C = + ∫ . Câu 19. Nguyên hàm của hàm số 2 1 3 yx x x = −+ là A. 32 3 ln 32 xx xC − − + . B. 32 2 3 1 32 xx C x − ++ . C. 32 3 ln 32 xx xC − ++ . D. 32 3 ln 32 xx xC − + + . Câu 20. Cho hàm số ( ) 2 2 ab f x xx = + + , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện ( ) 1 1 2 d 2 3ln 2 f x x = − ∫ . Tính T ab = + . A. 1 T = − . B. 2 T = . C. 2 T = − . D. 0 T = . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 25 f x x x = ++ là A. ( ) 32 5 F x x x = ++ . B. ( ) 3 F x x x C = ++ . C. ( ) 32 5 F x x x x C = ++ + . D. ( ) 32 F x x x C = ++ . Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số ( ) 5 () 3 1 fx x = + ? A. ( ) ( ) 6 31 8 18 x F x + = + . B. ( ) ( ) 6 31 2 18 x F x + = − . C. ( ) ( ) 6 31 18 x F x + = . D. ( ) ( ) 6 31 6 x F x + = . https://toanmath.com/ Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 2 1 1 3 f x x x = −− là A. 42 3 3 xx C x − + + + . B. 2 2 2xC x − −+ . C. 42 3 3 xx C x ++ −+ . D. 3 1 33 xx C x − −−+ . Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 6 2 11 72 f x x x x = + + − là A. 7 1 ln 2 xx x x + −− . B. 7 1 ln 2 x x xC x + + − + . C. 7 1 ln 2 x x xC x + + − + . D. 7 1 ln 2 x x xC x + −− + . Câu 25. Nguyên hàm của ( ) 32 2 f x x x x = −+ là: A. 43 3 14 43 x x xC −+ + . B. 43 3 1 14 4 33 x x xC − + + . C. 43 3 12 43 x x xC −+ + . D. 43 3 1 12 4 33 x x xC − + + . Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2018 3 f x x x = + là A. 2019 673 x x C ++ . B. 2019 3 2 2019 x xC ++ . C. 2019 1 673 x C x ++ . D. 2017 1 6054 2 xC x + + . Câu 27. Hàm số ( ) tan x Fx e x C =+ + là nguyên hàm của hàm số f(x) nào A. 2 1 () sin x fx e x = − B. 2 1 () sin x fx e x = + C. 2 () 1 cos x x e fx e x −   = +     D. ( ) 2 1 cos x f x e x = + Câu 28. Nếu ( ) 1 d ln 2 f x x x C x =++ ∫ với ( ) 0; x ∈ +∞ thì hàm số ( ) f x là A. ( ) 2 11 . f x xx = −+ B. ( ) 1 . 2 f x x x = + C. ( ) ( ) 2 1 ln 2 . f x x x = + D. ( ) 2 11 . 2 f x xx = −+ Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 1 xx f x x −+ = − . A. 1 1 xC x + + − . B. ( ) 2 1 1 1 C x ++ − . C. 2 ln 1 2 x xC + − + . D. 2 ln 1 x xC + −+ . Câu 30. Nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 1 3 sin f x x = − là A. ( ) 3 tan F x x x C =−+ . B. ( ) 3 tan F x x x C =+ + . C. ( ) 3 cot F x x x C =++ . D. ( ) 3 cot F x x x C =−+ . Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 3cos f x x x = + trên ( ) 0; +∞ . A. 1 3sin xC x − + + . B. 1 3sin xC x −+ . C. 1 3cos xC x + + . D. 3cos ln x xC ++ . https://toanmath.com/ Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 sin f x x x = + là A. 3 cos x xC + + . B. 3 sin x xC ++ . C. 3 cos x xC −+ . D. 3 3 sin x xC −+ . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 ( ) 3 8sin fx x x = + . A. ( ) d 6 8cos f x x x x C =−+ ∫ . B. ( ) d 6 8cos f x x x x C =++ ∫ . C. ( ) 3 d 8cos f x x x x C =−+ ∫ . D. ( ) 3 d 8cos f x x x x C =++ ∫ . Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 cos 2 x f x  =   A. ( ) d sin f x x x x C =++ ∫ . B. ( ) d sin f x x x x C =− + ∫ . C. ( ) 1 d sin 22 x f x x x C =++ ∫ . D. ( ) 1 d sin 22 x f x x x C =−+ ∫ . Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) cos f x x x = + . A. ( ) 2 d sin 2 x f x x x C =++ ∫ . B. ( ) d 1 sin f x x x C =−+ ∫ . C. ( ) d sin cos f x x x x x C = + + ∫ . D. ( ) 2 d sin 2 x f x x x C =−+ ∫ . Câu 36. ( ) 23 2 x x dx + ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 2 . B. 1. C. 9 . D. 32 . Câu 37. 35 1 13 35 x x dx  + +    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 1. B. 12 . C. ( ) 36 13 5 + . D. Không tồn tại. Câu 38. ( ) ( ) 32 21 a x bx dx ++ ∫ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Biết rằng ( ) ( ) 3 2 43 3 21 4 a x bx dx x x C + + = ++ ∫ . Giá trị , ab lần lượt bằng: A. 1; 3. B. 3; 1. C. 1 ;1 8 − . D. 11 sin 2 cos 2 42 xx x − Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) f x thỏa mãn điều kiện: ( )23cos, 3 2 f x x xF π  = − =   A. 2 2 ( ) 3sin 6 4 Fx x x π = − ++ B. 2 2 ( ) 3sin 4 Fx x x π =−− C. 2 2 ( ) 3sin 4 Fx x x π =−+ D. 2 2 ( ) 3sin 6 4 Fx x x π = − +− Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số 2 1 () 2 sin fx x x = + thỏa mãn F( ) 1 4 π = − là: A. 2 2 F( ) ot 16 x cx x π = − +− B. 2 2 F( ) ot 16 x cx x π = −+ C. 2 F( ) ot x cx x = −+ D. 2 2 F( ) ot 16 x cx x π = − +− https://toanmath.com/ Câu 41. Nếu 2 ( ) sin x f x dx e x C =++ ∫ thì () fx là hàm nào? A. 2 cos x ex + B. sin 2 x ex − C. cos 2 x ex + D. sin 2 x e x + Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của 3 2 1 () x fx x − = biết F(1) = 0 A. 2 11 () 22 x Fx x = −+ B. 2 13 () 22 x Fx x = + + C. 2 11 () 2 2 x Fx x = −− D. 2 13 (x) 22 x F x = + − Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số 23 () fx x x = + là : A. 4 3ln x xC ++ . B. 2 3ln x xC ++ . C. ( ) 1 4 3ln x xC − ++ . D. 16 3ln x xC −+ . Câu 44. Tính 3 2 4 () x dx x + ∫ A. 3 5 3 4ln 5 x xC − + + . B. 3 5 3 4ln 5 x xC − + . C. 3 5 5 4ln 3 x xC ++ . D. 3 5 3 4ln 5 x xC ++ . Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số 32 () 4 3 2 2 fx x x x = − +− thỏa mãn F(1) 9 = là: A. 43 2 F( ) 2 x x xx = −+ − . B. 43 2 F( ) 10 x x xx = −+ + . C. 43 2 F( ) 2 x x xx x = −+ − . D. 43 2 F( ) 2 10 x x xx x = −+ − + . Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số 5 (2 1) yx = + là: A. 6 1 (2 1) 12 xC ++ . B. 6 1 (2 1) 6 xC ++ . C. 6 1 (2 1) 2 xC ++ . D. 4 10(2 1) x C + + . Câu 47. Nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 23 24 f x x x = +− thỏa mãn điều kiện ( ) 00 F = là A. 34 24 xx − . B. 4 3 2 4 34 x xx +− . C. 34 2 xx x −+ . D. Đáp án khác. Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng ( ) 32 ’ 4 –3 2 Fx x x = + và ( ) 13 F − = A. ( ) 43 – 23 F x x x x = −− B. ( ) 43 3 + –2 F x x x x = + C. ( ) 43 – 23 F x x x x = −+ D. ( ) 43 23 F x x x x = ++ + Câu 49. Hàm số ( ) f x xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là ( ) 1 fx x ′ = − . Biết rằng ( ) 03 f = . Tính ( ) ( ) 24 f f + ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11. Câu 50. Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện ( ) sin fx x x ′ = + và ( ) 01 f = . Tìm ( ) f x . A. ( ) 2 cos 2 2 x f x x =−+ . B. ( ) 2 cos 2 2 x f x x =−− . C. ( ) 2 cos 2 x f x x = + . D. ( ) 2 1 cos 22 x f x x =+ + . https://toanmath.com/ Câu 51. Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn ( ) 3 5cos fx x ′ = − và ( ) 05 f = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) 3 5sin 2 f x x x =++ . B. ( ) 3 5sin 5 f x x x =−− . C. ( ) 3 5sin 5 f x x x =−+ . D. ( ) 3 5sin 5 f x x x =++ . Câu 52. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của của hàm số ( ) sin f x x = và đồ thị hàm số ( ) y F x = đi qua điểm ( ) 0;1 M . Tính . 2 F π    A. 2 2 F π  =   . B. 1 2 F π  = −   . C. 0 2 F π  =   . D. 1 2 F π  =   . Câu 53. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 23 f x x x = −+ thỏa mãn ( ) 02 F = , giá trị của ( ) 1 F bằng A. 4 . B. 13 3 . C. 2 . D. 11 3 . Câu 54. Tìm một nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) ( ) 2 0 b f x ax x x =+≠ , biết rằng ( ) 11 F − = , ( ) 14 F = , ( ) 10 f = . A. ( ) 2 3 37 42 4 x F x x = ++ . B. ( ) 2 3 37 42 4 x F x x = − − . C. ( ) 2 3 37 24 4 x F x x = +− . D. ( ) 2 3 31 22 2 x F x x = − − . Câu 55. Biết hàm số ( ) y f x = có ( ) 2 32 1 f x x xm ′ = + − + , ( ) 21 f = và đồ thị của hàm số ( ) y f x = cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 − . Hàm số ( ) f x là A. 32 35 xx x +− − . B. 32 2 55 x xx + − − . C. 32 2 75 xx x +− − . D. 32 45 xx x ++ − . Câu 56. Gọi ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 23 f x x = − thỏa mãn ( ) 1 0 3 F = . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) 2 log 3 1 2 2 FF −   bằng A. 10 . B. 4 − . C. 4 . D. 2 . Câu 57. Gọi ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 3 42 1 5 f x x m x m = + − ++ , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của ( ) f x biết rằng ( ) 18 F = và ( ) 01 F = là: A. ( ) 42 2 6 1 F x x x x = + ++ B. ( ) 4 6 1 F x x x = ++ . C. ( ) 42 21 F x x x =+ + . D. Đáp án A và B https://toanmath.com/ C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có đạo hàm trên [ ] ; ab . (2): Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . (4): Mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ ] ; ab . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Khẳng định (1): Sai, vì hàm số yx = liện tục trên [ ] 1;1 − nhưng không có đạo hàm tại 0 x = nên không thể có đạo hàm trên [ ] 1;1 − Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên [ ] ; ab thì đều liên tục trên [ ] ; ab nên đều có nguyên hàm trên [ ] ; ab . Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên [ ] ; ab đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ ] ; ab . Câu 2. Cho hai hàm số ( ) f x , ( ) gx liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ( ) ( ) ( ) ( ) d dd f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫ ∫ . B. ( ) ( ) ( ) ( ) . d d. d f x gx x f x x gx x =     ∫ ∫∫ . C. ( ) ( ) ( ) ( ) d dd f x gx x f x x gx x −= −   ∫ ∫∫ . D. ( ) ( ) dd kf x x k f x x = ∫ ∫ ( ) 0; kk ≠ ∈  . Hướng dẫn giải Chọn B Câu 3. Cho ( ) f x , ( ) gx là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ( ) ( ) ( ) ( ) d d. d f x g xx f xx g xx = ∫ ∫∫ . B. ( ) ( ) 2 d2 d f x x f x x = ∫∫ . C. ( ) ( ) ( ) ( ) dd d f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫∫ . D. ( ) ( ) ( ) ( ) ddd f x gx x f x x gx x −= −   ∫ ∫∫ . Hướng dẫn giải Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. ( ) ( ) dd kf x x k f x x = ∫ ∫ với k ∈  . B. ( ) ( ) ( ) ( ) d dd f x gx x f x x gx x += +   ∫ ∫∫ với ( ) f x ; ( ) gx liên tục trên  . C. 1 1 d 1 xx x αα α + = + ∫ với 1 α ≠− . D. ( ) ( ) ( ) d f x x f x ′ = ∫ . https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( ) ( ) dd kf x x k f x x = ∫ ∫ với k ∈  sai vì tính chất đúng khi { } \ 0 k ∈  . Câu 5. Cho hai hàm số ( ) f x , ( ) gx là hàm số liên tục, có ( ) F x , ( ) Gx lần lượt là nguyên hàm của ( ) f x , ( ) gx . Xét các mệnh đề sau: ( ) I . ( ) ( ) F x Gx + là một nguyên hàm của ( ) ( ) f x gx + . ( ) II . ( ) . k F x là một nguyên hàm của ( ) . kf x với k ∈  . ( ) III . ( ) ( ) . F x Gx là một nguyên hàm của ( ) ( ) . f x gx . Các mệnh đề đúng là A. ( ) II và ( ) III . B. Cả 3 mệnh đề. C. ( ) I và ( ) III . D. ( ) I và ( ) II . Hướng dẫn giải Chọn D Theo tính chất nguyên hàm thì ( ) I và ( ) II là đúng, ( ) III sai. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx −= −   ∫ ∫ ∫ , với mọi hàm số ( ) ( ) , f x gx liên tục trên  . B. ( ) ( ) f x dx f x C ′ = + ∫ với mọi hàm số ( ) f x có đạo hàm trên  . C. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = +   ∫ ∫∫ , với mọi hàm số ( ) ( ) , f x gx liên tục trên  . D. ( ) ( ) kf x dx k f x dx = ∫∫ với mọi hằng số k và với mọi hàm số ( ) f x liên tục trên  . Hướng dẫn giải Chọn D Mệnh đề: ( ) ( ) kf x dx k f x dx = ∫∫ với mọi hằng số k và với mọi hàm số ( ) f x liên tục trên  là mệnh đề sai vì khi 0 k = thì ( ) ( ) kf x dx k f x dx ≠ ∫∫ . Câu 7. Cho hàm số ( ) f x xác định trên K và ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) f x F x ′ = , xK ∀∈ . B. ( ) ( ) F x f x ′ = , xK ∀∈ . C. ( ) ( ) F x f x = , xK ∀∈ . D. ( ) ( ) Fx f x ′′ = , xK ∀∈ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) ( ) d F x f x x = ∫ , xK ∀∈ ( ) ( ) F x f x ′ ⇒=   , xK ∀∈ . Câu 8. Cho hàm số ( ) f x xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số ( ) ( ) Gx F x C = + cũng là một nguyên hàm của ( ) f x trên K . B. Nếu ( ) f x liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số ( ) F x được gọi là một nguyên hàm của ( ) f x trên K nếu ( ) ( ) F x f x ′ = với mọi xK ∈ . D. Nếu hàm số ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì hàm số ( ) Fx − là một nguyên hàm của ( ) f x trên K . Hướng dẫn giải Chọn D Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng. https://toanmath.com/ Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng. Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm. https://toanmath.com/ DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. Câu 9. Cho ( ) 1 2 f x x = + , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Trên ( ) 2; − +∞ , nguyên hàm của hàm số ( ) f x là ( ) ( ) 1 ln 2 F x x C = + + ; trên khoảng ( ) ; 2 −∞ − , nguyên hàm của hàm số ( ) f x là ( ) ( ) 2 ln 2 F x x C = −− + ( 12 , CC là các hằng số). B. Trên khoảng ( ) ; 2 −∞ − , một nguyên hàm của hàm số ( ) f x là ( ) ( ) ln 2 3 Gx x = −− − . C. Trên ( ) 2; − +∞ , một nguyên hàm của hàm số ( ) f x là ( ) ( ) ln 2 F x x = + . D. Nếu ( ) F x và ( ) Gx là hai nguyên hàm của của ( ) f x thì chúng sai khác nhau một hằng số. Hướng dẫn giải Chọn D D sai vì ( ) ( ) ln 2 F x x = + và ( ) ( ) ln 2 3 Gx x = −− − đều là các nguyên hàm của hàm số ( ) f x nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? A. cos d sin xx x C = −+ ∫ . B. 1 d ln x xC x = + ∫ . C. 2 2d xx x C = + ∫ . D. ed e xx x C = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có cos d sin xx x C = + ∫ ⇒ A sai. Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. 4 3 d 4 xC xx + = ∫ . B. 1 d ln x xC x = + ∫ . C. sin d cos x x C x = − ∫ . D. ( ) 2e d 2 e xx x C = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 1 d ln x xC x = + ∫ . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. d2 xx C = + ∫ ( C là hằng số). B. 1 d 1 n n x x x C n + = + + ∫ (C là hằng số; n ∈  ). C. 0dx C = ∫ ( C là hằng số). D. ed e xx xC = − ∫ ( C là hằng số). Hướng dẫn giải Chọn B Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện 1 n ≠− . Câu 13. Tìm nguyên hàm ( ) 2 d F x x π = ∫ . A. ( ) 2 F x x C π = + . B. ( ) 2 F x x C π = + . C. ( ) 3 3 F x C π = + . D. ( ) 22 2 x F x C π = + . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( ) 22 d F x x x C ππ = = + ∫ (vì 2 π là hằng số). Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) e cos 2018 x f x x =+ + là https://toanmath.com/ A. ( ) e sin 2018 x F x x x C =++ + . B. ( ) e sin 2018 x F x x x C =−+ + . C. ( ) e sin 2018 x F x x x =++ . D. ( ) e sin 2018 x F x x C =++ + . Hướng dẫn giải Chọn A Câu 15. Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 29 f x x = − là: A. 4 1 9 2 x xC −+ . B. 4 4 9 x xC −+ . C. 4 1 4 xC + . D. 3 49 x xC −+ . Hướng dẫn giải Chọn A ( ) 3 2 9d xx − ∫ 4 2. 9 4 x xC = −+ 4 9 2 x xC = −+ . Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) e e. 4 f x x = + là A. 101376. B. 2 e1 e.xC − + . C. e 1 4 e 1 x xC + ++ + . D. e 1 e. 4 e 1 x xC + ++ + . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ( ) ( ) e 1 e e. d e. 4 d 4 e 1 x f x x x x x C + = + = ++ + ∫∫ . Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2 5 61 f x x x = −+ là A. 3 20 12 x xC −+ . B. 5 3 2 x x xC − ++ . C. 53 20 12 x x xC − ++ . D. 4 2 22 4 x x xC + −+ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) 4 2 5 3 5 6 1 d 2 x x x x x xC − + = − ++ ∫ . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? A. 0dx C = ∫ . B. 5 4 d 5 x xx C = + ∫ . C. 1 d ln x xC x = + ∫ . D. ed e xx x C = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 1 d ln x xC x = + ∫ ⇒ C sai. Câu 19. Nguyên hàm của hàm số 2 1 3 yx x x = −+ là A. 32 3 ln 32 xx xC − − + . B. 32 2 3 1 32 xx C x − ++ . C. 32 3 ln 32 xx xC − ++ . D. 32 3 ln 32 xx xC − + + . Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng công thức nguyên hàm ta có 32 2 13 3 d ln 32 xx x x x xC x  −+ = − + +   ∫ . https://toanmath.com/ Câu 20. Cho hàm số ( ) 2 2 ab f x xx = + + , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện ( ) 1 1 2 d 2 3ln 2 f x x = − ∫ . Tính T ab = + . A. 1 T = − . B. 2 T = . C. 2 T = − . D. 0 T = . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( ) 1 1 2 d f x x = ∫ 1 2 1 2 2d ab x xx   + +     ∫ 1 1 2 ln 2 a bx x x  =−+ +   1 ln 2 ab = ++ . Theo giả thiết, ta có 2 3ln 2 1 ln 2 ab − = ++ . Từ đó suy ra 1 a = , 3 b = − . Vậy 2 T ab =+ =− . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 25 f x x x = ++ là A. ( ) 32 5 F x x x = ++ . B. ( ) 3 F x x x C = ++ . C. ( ) 32 5 F x x x x C = ++ + . D. ( ) 32 F x x x C = ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 25 f x x x = ++ là ( ) 32 5 F x x x x C = ++ + . Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số ( ) 5 () 3 1 fx x = + ? A. ( ) ( ) 6 31 8 18 x F x + = + . B. ( ) ( ) 6 31 2 18 x F x + = − . C. ( ) ( ) 6 31 18 x F x + = . D. ( ) ( ) 6 31 6 x F x + = . Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng ( ) ( ) 1 1 d 1 ax b ax b x C a α α α + + + = + + ∫ với 1 α ≠− và C là hằng số. Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề. Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 2 1 1 3 f x x x = −− là A. 42 3 3 xx C x − + + + . B. 2 2 2xC x − −+ . C. 42 3 3 xx C x ++ −+ . D. 3 1 33 xx C x − −−+ . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 2 2 1 1 d 3 xx x  −−   ∫ 22 1 d 3 xx x −  = −−   ∫ 3 1 33 xx C x = −− − + . Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 6 2 11 72 f x x x x = + + − là A. 7 1 ln 2 xx x x + −− . B. 7 1 ln 2 x x xC x + + − + . https://toanmath.com/ C. 7 1 ln 2 x x xC x + + − + . D. 7 1 ln 2 x x xC x + −− + . Hướng dẫn giải Chọn D ( ) d f x x ∫ 7 1 ln 2 x x xC x = + −− + . Câu 25. Nguyên hàm của ( ) 32 2 f x x x x = −+ là: A. 43 3 14 43 x x xC −+ + . B. 43 3 1 14 4 33 x x xC − + + . C. 43 3 12 43 x x xC −+ + . D. 43 3 1 12 4 33 x x xC − + + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 32 4 3 3 1 14 2 4 33 x x x dx x x x C −+ = − + + ∫ . Chọn A Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2018 3 f x x x = + là A. 2019 673 x x C ++ . B. 2019 3 2 2019 x xC ++ . C. 2019 1 673 x C x ++ . D. 2017 1 6054 2 xC x + + . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: ( ) 2018 3d x x x + ∫ 1 2018 2 3d xx x  = +   ∫ 3 2019 2 3. 3 2019 2 xx C = ++ 2019 3 2 2019 x xC = ++ . Câu 27. Hàm số ( ) tan x Fx e x C =+ + là nguyên hàm của hàm số f(x) nào A. 2 1 () sin x fx e x = − B. 2 1 () sin x fx e x = + C. 2 () 1 cos x x e fx e x −   = +     D. ( ) 2 1 cos x f x e x = + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 1 tan cos x x e xC e x ′ + + =+ . Chọn D Câu 28. Nếu ( ) 1 d ln 2 f x x x C x =++ ∫ với ( ) 0; x ∈ +∞ thì hàm số ( ) f x là A. ( ) 2 11 . f x xx = −+ B. ( ) 1 . 2 f x x x = + C. ( ) ( ) 2 1 ln 2 . f x x x = + D. ( ) 2 11 . 2 f x xx = −+ Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) d f x x F x C F x f x ′ = +⇒ = ∫ https://toanmath.com/ Do đó ( ) ( ) ( ) 22 2 1 1 1 11 ln 2 ln 2 2 x f x x x x x x x xx ′ ′′    ′ =+ = + = −+ = −+       với ( ) 0; x ∈ +∞ . Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 1 xx f x x −+ = − . A. 1 1 xC x + + − . B. ( ) 2 1 1 1 C x ++ − . C. 2 ln 1 2 x xC + − + . D. 2 ln 1 x xC + −+ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( ) 2 11 11 xx f x x xx −+ = = + − − ( ) 2 d ln 1 2 x f x x x C ⇒ = + −+ ∫ . Câu 30. Nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 1 3 sin f x x = − là A. ( ) 3 tan F x x x C =−+ . B. ( ) 3 tan F x x x C =+ + . C. ( ) 3 cot F x x x C =++ . D. ( ) 3 cot F x x x C =−+ . Hướng dẫn giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 3 sin f x x = − là ( ) 3 cot F x x x C =++ . Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 3cos f x x x = + trên ( ) 0; +∞ . A. 1 3sin xC x − + + . B. 1 3sin xC x −+ . C. 1 3cos xC x + + . D. 3cos ln x xC ++ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) 2 11 d 3cos d 3sin b a f x x x x x C xx  = + = −+   ∫∫ . Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 sin f x x x = + là A. 3 cos x xC + + . B. 3 sin x xC ++ . C. 3 cos x xC −+ . D. 3 3 sin x xC −+ . Hướng dẫn giải Chọn C Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 sin f x x x = + là 3 cos x xC −+ . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 ( ) 3 8sin fx x x = + . A. ( ) d 6 8cos f x x x x C =−+ ∫ . B. ( ) d 6 8cos f x x x x C =++ ∫ . C. ( ) 3 d 8cos f x x x x C =−+ ∫ . D. ( ) 3 d 8cos f x x x x C =++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: ( ) d f x x ∫ ( ) 2 3 8sin d x x x = + ∫ 3 8cos x xC =−+ . Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 cos 2 x f x  =   A. ( ) d sin f x x x x C =++ ∫ . B. ( ) d sin f x x x x C =− + ∫ . https://toanmath.com/ C. ( ) 1 d sin 22 x f x x x C =++ ∫ . D. ( ) 1 d sin 22 x f x x x C =−+ ∫ . Lời giải Chọn C Ta có ( ) 1 cos 1 d d sin 2 22 xx f x x x x C + = =++   ∫∫ . Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) cos f x x x = + . A. ( ) 2 d sin 2 x f x x x C =++ ∫ . B. ( ) d 1 sin f x x x C =−+ ∫ . C. ( ) d sin cos f x x x x x C = + + ∫ . D. ( ) 2 d sin 2 x f x x x C =−+ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A ( ) ( ) 2 d cos d sin 2 x f xx x xx x C = + =++ ∫∫ . Câu 36. ( ) 23 2 x x dx + ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 2 . B. 1. C. 9. D. 32. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm ( ) 23 2 x x dx + ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: ( ) 23 3 4 11 2 32 x x dx x x C + = ++ ∫ . Suy ra để ( ) 23 x x dx + ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ thì 1, 2. ab = = Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 3 4 34 ab x xC ++ . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm của 3 4 34 ab x xC ++ . Ví dụ: A. Thay 2 a = vào 3 4 34 ab x xC ++ ta được 3 4 2 3 4 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 3 4 2 3 4 b x xC ++ : 3 4 23 2 2 3 4 b x xC xbx ′   + += +     , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3 23 22 , x x x bx x + = + ∀∈  nên ta loại đáp án A B. Thay 1 a = vào 3 4 34 ab x xC ++ ta được 3 4 1 34 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 3 4 1 34 b x xC ++ : 3 4 23 1 34 b x xC xbx ′  + +=+   , vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3 23 22 , x x x bx x + = + ∀∈  ( cụ thể 2 b = ∈  ) nên ta nhận đáp án B https://toanmath.com/ C. Thay 9 a = vào 3 4 34 ab x xC ++ ta được 3 4 3 4 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 3 4 3 4 b x xC ++ : 3 4 23 39 4 b x xC xbx ′   + += +     , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3 23 92 2 , x x x bx x + = + ∀∈  nên ta loại đáp án C D. Thay 32 a = vào 3 4 34 ab x xC ++ ta được 3 4 32 34 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 3 4 32 34 b x xC ++ : 3 4 23 32 32 34 b x xC xbx ′  + += +   , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3 23 32 2 2 , x x x bx x + = + ∀∈  nên ta loại đáp án D Chú ý: Ta chỉ cần so sánh hệ số của 2 x ở 2 vế của đẳng thức 2 3 23 22 x x x bx + = + ; 2 3 23 92 2 x x x bx + = + ; 2 3 23 32 2 2 x x x bx + = + và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp ánA. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: ( ) 2 3 34 2 38 x x dx x x C + = ++ ∫ . Vì thế, 9 a = để ( ) 2 3 34 2 38 x x dx x x C + = ++ ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ . Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: ( ) 2 3 34 2 38 x x dx x x C + = ++ ∫ . Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị b . Để ( ) 23 2 x x dx + ∫ có dạng 3 4 34 ab x xC ++ thì 32 b = . Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm. Câu 37. 35 1 13 35 x x dx  + +    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 1. B. 12 . C. ( ) 36 13 5 + . D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm 35 1 13 35 x x dx  + +    ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: https://toanmath.com/ 35 4 6 1 13 1 13 3 5 12 30 x x dx x x C  ++ + =++    ∫ . Suy ra để 35 1 13 35 x x dx  + +    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ thì 13 1, . 5 ab + =∈ = ∉  Chọn D Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ. Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 4 6 12 6 ab x xC ++ . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm của 4 6 12 6 ab x xC ++ . Ví dụ: A. Thay 1 a = vào 4 6 12 6 ab x xC ++ ta được 4 6 1 12 6 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 4 6 1 12 6 b x xC ++ : 4 6 35 11 12 6 3 b x x C x bx ′  + += +   , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 5 35 1 13 1 , 35 3 x x x bx x + + = + ∀∈  nên ta loại đáp ánA. B. Thay 12 a = vào 4 6 12 6 ab x xC ++ ta được 4 6 6 b x xC ++ . Lấy đạo hàm của 4 6 6 b x xC ++ : 4 6 35 4 6 b x x C x bx ′  + += +   , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 5 35 1 13 4, 35 x x x bx x + + = + ∀∈  nên ta loại đáp án B C. Loại đáp án C Ta có thể loại nhanh đáp án C vì ( ) 36 13 5 +∉  và a ∈  . Vậy đáp án chính xác là đáp án D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của a ( không tìm giá trị của b ).Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của a như sau: ( ) 3 5 4 64 6 61 3 1 13 1 13 36 35 3 5 5 x x dx x xC x xC +  ++ + =⋅ +⋅ + = + +    ∫ . Vì thế, 12 a = để ( ) 3 54 6 61 3 1 13 35 5 x x dx x x C +  + + = ++    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ . Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của b do không đọc kĩ yêu cầu bài toán: https://toanmath.com/ ( ) 3 5 4 64 6 61 3 1 13 1 13 36 35 3 5 5 x x dx x xC x xC +  ++ + =⋅ +⋅ + = + +    ∫ . Vì thế, ( ) 36 13 5 b = + để ( ) 3 54 6 61 3 1 13 35 5 x x dx x x C +  + + = ++    ∫ có dạng 4 6 12 6 ab x xC ++ . Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. Câu 38. ( ) ( ) 32 21 a x bx dx ++ ∫ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Biết rằng ( ) ( ) 3 2 43 3 21 4 a x bx dx x x C + + = ++ ∫ . Giá trị , ab lần lượt bằng: A. 1; 3. B. 3; 1. C. 1 ;1 8 − . D. 11 sin 2 cos 2 42 xx x − Hướng dẫn giải Cách 1: Ta cần tìm ( ) ( ) 32 21 a x bx dx ++ ∫ . Ta có: ( ) ( ) ( ) 32 4 3 11 21 21 43 a x bx dx a x bx C ++ = + + + ∫ . Vì ta có giả thiết ( ) ( ) 3 2 43 3 21 4 a x bx dx x x C + + = ++ ∫ nên ( ) 43 11 21 43 a x bx C ++ + có dạng 43 3 4 x xC ++ . Để ( ) 43 11 21 43 a x bx C ++ + có dạng 43 3 4 x xC ++ thì ( ) 1 3 21 44 1 1 3 a b  + =     =   , nghĩa là 1 3 a b =   =  . Vậy đáp án chính xác là đáp ánA. Cách 2: Ta loại nhanh đáp án C vì giá trị a ở đáp án C không thỏa điều kiện a ∈  . Tiếp theo, ta thay giá trị , ab ở các đáp án A, B vào ( ) ( ) 32 21 a x bx dx ++ ∫ và tìm ( ) ( ) 32 21 a x bx dx ++ ∫ . Ta có: ( ) 3 2 43 3 33 4 x x dx x x C + = ++ ∫ nên đáp án chính xác là đáp ánA. Chú ý: Giả sử các giá trị , ab ở các đáp án A, B, C không thỏa yêu cầu bài toán thì đáp án chính xác là Chọn D. Sai lầm thường gặp: B. Đáp án B sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự sắp xếp nên học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ: Ta có: https://toanmath.com/ ( ) ( ) ( ) 32 43 21 21 a x bx dx a x bx C + + = + ++ ∫ . Vì ta có giả thiết ( ) ( ) 3 2 43 3 21 4 a x bx dx x x C + + = ++ ∫ nên ( ) 43 21 a x bx C + ++ có dạng 43 3 4 x xC ++ . Để ( ) 43 11 21 43 a x bx C ++ + có dạng 43 3 4 x xC ++ thì ( ) 3 21 4 1 a b  + =    =  , nghĩa là 1 8 1 a b  = −    =  . Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) f x thỏa mãn điều kiện: ( )23cos, 3 2 f x x xF π  = − =   A. 2 2 ( ) 3sin 6 4 Fx x x π = − ++ B. 2 2 ( ) 3sin 4 Fx x x π =−− C. 2 2 ( ) 3sin 4 Fx x x π =−+ D. 2 2 ( ) 3sin 6 4 Fx x x π = − +− Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 2 3cos 3sin F x x x dx x x C =− =−+ ∫ 2 2 3 3sin 3 6 2 22 4 F CC π ππ π   = ⇔ − += ⇔ = −     Vậy 2 2 ( ) 3sin 6 4 Fx x x π = − +− Chọn D Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số 2 1 () 2 sin fx x x = + thỏa mãn F( ) 1 4 π = − là: A. 2 2 F( ) ot 16 x cx x π = − +− B. 2 2 F( ) ot 16 x cx x π = −+ C. 2 F( ) ot x cx x = −+ D. 2 2 F( ) ot 16 x cx x π = − +− Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 2 1 2 cot sin F x x dx x x C x   = + =−+     ∫ 2 2 1 cot 1 4 4 4 16 F C C π ππ π   =− ⇔ − + =− ⇔ =     Vậy 2 2 F( ) ot 16 x cx x π = − +− Chọn A Câu 41. Nếu 2 ( ) sin x f x dx e x C =++ ∫ thì () fx là hàm nào? A. 2 cos x ex + B. sin 2 x ex − C. cos 2 x ex + D. sin 2 x e x + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 sin sin 2 xx e xC e x ′ + + =+ Chọn D https://toanmath.com/ Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của 3 2 1 () x fx x − = biết F(1) = 0 A. 2 11 () 22 x Fx x = −+ B. 2 13 () 22 x Fx x = + + C. 2 11 () 2 2 x Fx x = −− D. 2 13 (x) 22 x F x = + − Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 32 22 11 1 2 xx F x dx x dx C x xx −  = = − = + +   ∫∫ ( ) 2 11 3 10 0 21 2 F CC − = ⇔ + + = ⇔ = Vậy 2 13 (x) 22 x F x = + − Chọn D Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số 23 () fx x x = + là : A. 4 3ln x xC ++ . B. 2 3ln x xC ++ . C. ( ) 1 4 3ln x xC − ++ . D. 16 3ln x xC −+ . Hướng dẫn giải Ta có: 23 4 3ln dx x x C x x   + = + +     ∫ . Chọn A Câu 44. Tính 3 2 4 () x dx x + ∫ A. 3 5 3 4ln 5 x xC − + + . B. 3 5 3 4ln 5 x xC − + . C. 3 5 5 4ln 3 x xC ++ . D. 3 5 3 4ln 5 x xC ++ . Hướng dẫn giải Ta có: 3 5 3 2 43 4ln 5 x x dx x C x  + = + +   ∫ . Chọn D Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số 32 () 4 3 2 2 fx x x x = − +− thỏa mãn F(1) 9 = là: A. 43 2 F( ) 2 x x xx = −+ − . B. 43 2 F( ) 10 x x xx = −+ + . C. 43 2 F( ) 2 x x xx x = −+ − . D. 43 2 F( ) 2 10 x x xx x = −+ − + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 3 2 43 2 4 3 22 2 F x x x x dx x x x x C = − + − = −+ − + ∫ ( ) 43 2 4 3 2 1 9 1 1 1 2.1 9 10 F( ) 2 10 F C C x x xx x = ⇔ − + − + = ⇔ = ⇒ = − + − + . Chọn D Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số 5 (2 1) yx = + là: A. 6 1 (2 1) 12 xC ++ . B. 6 1 (2 1) 6 xC ++ . https://toanmath.com/ C. 6 1 (2 1) 2 xC ++ . D. 4 10(2 1) x C + + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 6 56 2 1 11 2 1 . 2 1 2 6 12 x x dx x C + + = = ++ ∫ . Chọn A Câu 47. Nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 23 24 f x x x = +− thỏa mãn điều kiện ( ) 00 F = là A. 34 24 xx − . B. 4 3 2 4 34 x xx +− . C. 34 2 xx x −+ . D. Đáp án khác. Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 34 23 2 24 4 34 x x F x x x dx x C = +− = + − + ∫ ( ) ( ) 34 4 3 2.0 0 2 00 0 0 4 34 3 4 x F C C F x x x = ⇔ + += ⇔ = ⇒ = + − . Chọn D Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng ( ) 32 ’ 4 –3 2 Fx x x = + và ( ) 13 F − = A. ( ) 43 – 23 F x x x x = −− B. ( ) 43 3 + –2 F x x x x = + C. ( ) 43 – 23 F x x x x = −+ D. ( ) 43 23 F x x x x = ++ + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 2 43 x 4x 3x 2 x 2x F x F xd d x x C ′ = = − + = −+ + ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 43 1 3 1 1 2. 1 3 3 F CC − = ⇔ − −− + − + = ⇔ = Vậy ( ) 43 3 + –2 F x x x x = + Chọn B Câu 49. 1 7 THàm số ( ) f x xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là ( ) 1 fx x ′ = − . Biết rằng ( ) 03 f = . Tính ( ) ( ) 24 f f + ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) ( ) 1 khi 1 1 khi 1 xx fx xx − ≥  ′ =  −− <  . Khi 1 x ≥ thì ( ) ( ) 2 1 1d 2 x f x x x x C = − = −+ ∫ . Khi 1 x < thì ( ) ( ) 2 2 1d 2 x f x x x x C  = − − = − −+   ∫ . Theo đề bài ta có ( ) 03 f = 1 7 T nên 2 3 C = ( ) 2 3 2 x f x x  ⇒ = − −+   1 7 T khi 1 x < . Mặt khác do hàm số ( ) f x liên tục tại 1 x = nên ( ) ( ) ( ) 11 lim lim 1 xx f x f x f −+ →→ = = 22 1 1 1 lim 3 lim 22 x x x x x xC −+ → →      ⇔ − −+ = −+           1 1 1 13 1 2 2 C   ⇔− − + = − +     1 4 C ⇔ = . Vậy khi 1 x ≥ thì ( ) 2 4 2 x f x x = −+ ( ) ( ) 2 4 12 f f ⇒+ = . https://toanmath.com/ Câu 50. Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện ( ) sin fx x x ′ = + và ( ) 01 f = . Tìm ( ) f x . A. ( ) 2 cos 2 2 x f x x =−+ . B. ( ) 2 cos 2 2 x f x x =−− . C. ( ) 2 cos 2 x f x x = + . D. ( ) 2 1 cos 22 x f x x =+ + . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( ) sin fx x x ′ = + ( ) 2 cos 2 x f x x C ⇒ =−+ ; ( ) 01 f = 11 C ⇔− + = 2 C ⇔= . Vậy ( ) 2 cos 2 2 x f x x =−+ . Câu 51. Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn ( ) 3 5cos fx x ′ = − và ( ) 05 f = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) 3 5sin 2 f x x x =++ . B. ( ) 3 5sin 5 f x x x =−− . C. ( ) 3 5sin 5 f x x x =−+ . D. ( ) 3 5sin 5 f x x x =++ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( ) ( ) 3 5cos d 3 5sin f x x x x x C =− =−+ ∫ . Lại có: ( ) 0 5 3.0 5sin 0 5 5 f CC = ⇔ − += ⇔ = . Vậy ( ) 3 5sin 5 f x x x =−+ . Câu 52. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của của hàm số ( ) sin f x x = và đồ thị hàm số ( ) y F x = đi qua điểm ( ) 0;1 M . Tính . 2 F π    A. 2 2 F π  =   . B. 1 2 F π  = −   . C. 0 2 F π  =   . D. 1 2 F π  =   . Hướng dẫn giải Chọn A * Ta có ( ) cos F x x C = − + , với C là hằng số tùy ý. * Đồ thị hàm số ( ) y F x = đi qua điểm ( ) 0;1 M nên 1 cos 0 C = −+ 2 C ⇔= ( ) cos 2 F x x ⇒ = − + . Do đó 2 2 F π  =   . Câu 53. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 23 f x x x = −+ thỏa mãn ( ) 02 F = , giá trị của ( ) 1 F bằng A. 4 . B. 13 3 . C. 2 . D. 11 3 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 3 22 2 3d 3 3 x x x x x xC − + = −+ + ∫ . ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x có ( ) 02 F = 2 C ⇒= . Vậy ( ) 3 2 32 3 x F x x x = −+ + ( ) 13 1 3 F ⇒= . https://toanmath.com/ Câu 54. Tìm một nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) ( ) 2 0 b f x ax x x =+≠ , biết rằng ( ) 11 F − = , ( ) 14 F = , ( ) 10 f = . A. ( ) 2 3 37 42 4 x F x x = ++ . B. ( ) 2 3 37 42 4 x F x x = − − . C. ( ) 2 3 37 24 4 x F x x = +− . D. ( ) 2 3 31 22 2 x F x x = − − . Hướng dẫn giải Chọn A . ( ) ( ) ( ) 21 2 2 2 dd d 21 2 b ax bx ax b F x f x x ax x ax bx x C C xx − −   = = + = + = + + = −+   −   ∫∫ ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 1 22 11 3 14 4 . 22 10 07 4 a bC a F a F bC b f ab C  ++ = =  − =     = ⇔ − + =⇔ =−     =  + =  =   Vậy ( ) 2 3 37 42 4 x F x x = ++ . Câu 55. Biết hàm số ( ) y f x = có ( ) 2 32 1 f x x xm ′ = + − + , ( ) 21 f = và đồ thị của hàm số ( ) y f x = cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 − . Hàm số ( ) f x là A. 32 35 xx x +− − . B. 32 2 55 x xx + − − . C. 32 2 75 xx x +− − . D. 32 45 xx x ++ − . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( ) ( ) ( ) 2 32 3 2 1 d 1 f x x x m x x x mx C = + − + = + +− + ∫ . Theo đề bài, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 32 21 2 1 12 1 4 35 5 05 5 f m C m f x x x x C f C =  − ++ =  =   ⇒ ⇒ ⇒ = +− −   = − = − = −      . Câu 56. Gọi ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 23 f x x = − thỏa mãn ( ) 1 0 3 F = . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) 2 log 3 1 2 2 FF −   bằng A. 10 . B. 4 − . C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: ( ) ( ) 31 2 2 FF − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31 2 2 0 0 F F FFF = − + −+     ( ) ( ) 12 2 0 1 3d d 3 f x x f x x = ++ ∫∫ 4 = . ( ) ( ) 22 log 3 1 2 2 log 4 2 FF ⇒ −= =   . Câu 57. Gọi ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 3 42 1 5 f x x m x m = + − ++ , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của ( ) f x biết rằng ( ) 18 F = và ( ) 01 F = là: A. ( ) 42 2 6 1 F x x x x = + ++ B. ( ) 4 6 1 F x x x = ++ . https://toanmath.com/ C. ( ) 42 21 F x x x =+ + . D. Đáp án A và B Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 4 2 42 1 5 1 5 x m x m dx xm xm x C   + − + + = +− ++ +   ∫ . Lại có: ( ) ( ) 01 1 1 1 1 5 8 1 18 F C C mm C m F =  = =  ⇔ ⇔   +− ++ + = = =    Vậy ( ) 4 6 1 F x x x = ++ . Chọn B Câu 58. Tìm 23 1 ... 2! 3! ! n n x T dx xx x x n = ++ + + + ∫ ? A. 2 . ! !ln 1 ... 2! ! n xx T xn n x C n  = + ++ + + +   . B. 2 . ! !ln 1 ... 2! ! n xx T xn n x C n  = − ++ + + +   . C. 2 !ln 1 ... 2! ! n xx Tn x C n  = ++ + + +   . D. 2 !ln 1 ... . ! 2! ! n n xx T n x x n C n  = ++ + + − +   . Hướng dẫn giải Đặt ( ) ( ) ( ) 234 23 1 1 ... 1 ... 2! 3! 4! ! 2! 3! 1 ! nn xx x x xx x g xx g x x nn − ′ =+ ++ ++ + ⇒ =+ ++ + + − Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! n n x gx g x x n gx g x n ′′ − = ⇒= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 !. ! 1 !. !ln ! !ln 1 ... 2! ! n n gx g gx xx T dx n dx n x n n x n x C gx gx n ′ −     ′    ⇒ = = − = − = − ++ + + +       ∫∫ Chọn B https://toanmath.com/ DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ f(x) là hàm hữu tỉ: () () () Px fx Qx = – Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). Chẳng hạn: 1 ( )( ) A B x a x b x a x b = + − − − − 2 2 2 1 , 40 ( )( ) A Bx C vôùi b ac x m ax bx c x m ax bx c + = + ∆ = − < − ++ − ++ 22 2 2 1 ( ) () ( ) () A B C D x a x b x a x a x b x b = + ++ − − − − − − BÀI TẬP Câu 59. Cho hàm số 4 2 52 () x fx x + = . Khi đó: A. 3 2 5 () 3 x f x dx C x = −+ ∫ B. 3 5 () 2 f x dx x C x = −+ ∫ C. 3 25 () 3 x f x dx C x = + + ∫ D. 3 2 2 ( ) 5ln 3 x f x dx x C = ++ ∫ Câu 60. Nguyên hàm () Fx của hàm số 2 2 1 () x fx x   + =     là hàm số nào trong các hàm số sau? A. 3 1 () 2 3 x Fx x C x = −+ + . B. 3 1 () 2 3 x Fx x C x = + + + . C. 3 2 3 () 2 x x Fx C x + = + . D. 3 3 2 3 () 2 x x Fx C x  +  = +     . Câu 61. Nguyên hàm của hàm số 4 2 23 x y x + = là: A. 3 23 3 x C x −+ . B. 3 3 3xC x − −+ . C. 3 23 3 x C x + + . D. 3 3 3 x C x −+ . Câu 62. Tính nguyên hàm 1 d 23 x x     +   ∫ A. 1 ln 2 3 2 xC ++ . B. ( ) 1 ln 2 3 2 xC ++ . C. 2ln 2 3 xC ++ . D. ln 2 3 xC ++ . Câu 63. Nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 1 2 1 f x x = + , biết e1 3 22 F −  =   là: A. ( ) 1 2ln 2 1 2 F x x = +− . B. ( ) 2ln 2 1 1 F x x = ++ . C. ( ) 1 ln 2 1 1 2 F x x = ++ . D. ( ) 1 ln 2 1 2 F x x = ++ . https://toanmath.com/ Câu 64. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 1 f x x = − và ( ) 21 F = . Tính ( ) 3 F . A. ( ) 3 ln 2 1 F = − . B. ( ) 3 ln 2 1 F = + . C. ( ) 1 3 2 F = . D. ( ) 7 3 4 F = . Câu 65. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) 1 1 f x x = + và ( ) 02 F = thì ( ) 1 F bằng. A. ln 2 . B. 2 ln 2 + . C. 3 . D. 4 . Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 () (3 2 x) fx = − là : A. ( ) 2 1 2 3 2 C x − + + . B. ( ) 1 4 3 2 C x + − . C. ( ) 2 2 32 C x + − . D. ( ) 2 1 2 3 2 C x + − . Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số 2 (2 ) () ( 1) xx fx x + = + A. 2 1 1 xx x −− + . B. 2 1 1 xx x +− + . C. 2 1 1 xx x ++ + . D. 2 1 x x + . Câu 68. Tính 1 ( 3) dx xx − ∫ . A. 1 ln 33 x C x + − . B. 13 ln 3 x C x + + . C. 1 ln 33 x C x + + . D. 13 ln 3 x C x − + . Câu 69. ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 3 2 1 f x x x = + + . Biết ( ) 00 F = , ( ) 1 ln 3 b Fa c = + trong đó a , b , c là các số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức abc ++ bằng. A. 4 . B. 9. C. 3 . D. 12. Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 2 2 1 x x f x x + = + . A. ( ) 2 1 1 1 xx Fx x −− = + . B. ( ) 2 2 1 1 xx Fx x +− = + . C. ( ) 2 3 1 1 xx F x x ++ = + . D. ( ) 2 4 1 x Fx x = + . Câu 71. Cho biết 2 13 d ln 1 ln 2 ( 1)( 2) x xa x b x C xx − = ++ − + +− ∫ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 28 ab += . B. 8 ab + =. C. 28 ab −=. D. 8 ab −=. Câu 72. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 23 x f x x + = − thỏa mãn (2) 3 F = . Tìm ( ) F x : A. ( ) 4ln 2 3 1 Fx x x = + −+ . B. ( ) 2ln(2 3) 1 Fx x x = + −+ . C. ( ) 2ln 2 3 1 Fx x x = + −+ . D. ( ) 2ln | 2 3| 1 Fx x x = + −− . Câu 73. Tích phân ( ) 2 1 2 0 1 d ln 1 x I x a bc x − = = + + ∫ , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức abc ++ ? A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 . Câu 74. Tính 2 1 43 dx xx −+ ∫ , kết quả là: https://toanmath.com/ A. 11 ln 23 x C x − + − . B. 13 ln 21 x C x − + − . C. 2 ln 4 3 xx C − + + . D. 3 ln 1 x C x − + − . Câu 75. Nguyên hàm 2 1 76 dx xx −+ ∫ là: A. 11 ln 56 x C x − + − . B. 16 ln 51 x C x − + − . C. 2 1 ln 7 6 5 xx C − + + . D. 2 1 ln 7 6 5 xx C − − + + . Câu 76. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2 1 f x x = + , biết ( ) 01 F = . Giá trị của ( ) 2 F − bằng A. 1 1 ln 3 2 + . B. 1 1 ln 5 2 + . C. 1 ln 3 + . D. ( ) 1 1 ln 3 2 + . Câu 77. Tìm nguyên hàm 2 1 d. 4 Ix x = − ∫ A. 1 2 ln . 22 x IC x + = + − B. 12 ln . 22 x IC x − = + + C. 12 ln . 42 x IC x − = + + D. 1 2 ln . 42 x IC x + = + − Câu 78. Tìm nguyên hàm 2 3 d 32 x x xx + + + ∫ . A. 2 3 d 2ln 2 ln 1 32 x x x xC xx + = + − ++ + + ∫ . B. 2 3 d 2ln 1 ln 2 32 x x x xC xx + = +− + + + + ∫ . C. 2 3 d 2ln 1 ln 2 32 x x x xC xx + = ++ + + + + ∫ . D. 2 3 d ln 1 2ln 2 32 x xx x C xx + = ++ + + + + ∫ . Câu 79. Nguyên hàm 32 2 2 6 4 1 32 xx x dx xx − ++ −+ ∫ là: A. 2 1 ln 2 x xC x − + + − . B. 2 12 ln 21 x xC x − + + − . C. 2 11 ln 22 x xC x − + + − . D. 2 2 ln 1 x xC x − + + − . Câu 80. Nguyên hàm 2 33 2 x dx xx + − −+ ∫ là: A. 2ln 1 ln 2 x xC −− + + . B. 2ln 1 ln 2 x xC − −+ + + . C. 2ln 1 ln 2 x xC −+ + + . D. 2ln 1 ln 2 x xC − −− + + . Câu 81. Nguyên hàm của hàm số 32 2 3 31 () 2 1 x x x fx x x + + − = ++ khi biết ( ) 1 1 3 F = là A. ( ) 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ − + B. ( ) 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ + + https://toanmath.com/ C. ( ) 2 2 . 21 x F x x x = ++ + D. ( ) 2 2 . 21 x F x x C x = ++ + + Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để ( ) 4 ax b F x x + = + ( ) 40 ab −≠ là nguyên hàm của hàm số ( ) f x và thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 2 21 f x F x f x ′ = −     . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. 1 a = , 4 b = . B. 1 a = , 1 b = − . C. 1 a = , { } \4 b ∈  . D. a ∈  , b ∈  . DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 () 3 fx x x x = + là : A. 2 3 29 48 x x x x C ++ . B. 3 22 5 27 38 x x x x C ++ . C. 2 3 29 3 5 x x x x C −+ . D. 3 22 29 38 x x x x C + + . Câu 84. Nguyên hàm của ( ) 3 12 3 f x xx = ++ là: A. 3 2 23 3 x x xC + + + . B. 3 2 4 23 3 x x xC + + + . C. 3 2 1 33 2 x x xC + + + . D. 3 2 14 3 23 x x xC + + + . Câu 85. Tính 1 dx x − ∫ thu được kết quả là: A. 1 C x − B. 21 xC − −+ C. 2 1 C x + − D. 1 xC −+ Câu 86. Gọi ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 1 f x x x = +− . Nguyên hàm của ( ) f x biết ( ) 36 F = là: A. ( ) ( ) 3 2 11 1 33 F x x x = + −+ . B. ( ) ( ) 3 2 11 1 33 F x x x = + + + . C. ( ) ( ) 3 2 11 1 3 3 F x x x = + −− . D. ( ) ( ) 3 2 11 1 33 F x x x = + + − . Câu 87. Cho (x 2) 2 (x 1) 1 21 dx a x b x C xx = + + + + ++ ++ + ∫ . Khi đó 3ab + bằng: A. 2 3 − . B. 1 3 . C. 4 3 . D. 2 3 . Câu 88. Tìm 1 1 x Q dx x − = + ∫ ? A. 22 1 ln 1 Q x x x C = −+ + − + . B. 22 1 ln 1 Q x x x C = −− + − + . C. 22 ln 1 1 Q x x x C = + − − −+ . D. Cả đáp án B,C đều đúng. https://toanmath.com/ Câu 89. Biết ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) 1 1 21 f x m x = +− + thỏa mãn ( ) 00 F = và ( ) 37 F = . Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 − . B. 3 . C. 3 − . D. 2 . Câu 90. Hàm số ( ) ( ) 4 1 F x ax b x =++ ( , ab là các hằng số thực) là một nguyên hàm của ( ) 12 4 1 x f x x = + . Tính ab + . A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Câu 91. Biết ( ) ( ) 2 23 F x ax bx c x = ++ − ( ) , , a bc ∈  là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 20 30 11 23 x x f x x −+ = − trên khoảng 3 ; 2  +∞   . Tính T abc = ++ . A. 8 T = . B. 5 T = . C. 6 T = . D. 7 T = . DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2cos 2 f x x = là A. 2sin 2xC −+ . B. sin 2xC + . C. 2sin 2xC + . D. sin 2xC + . Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) sin 5 2 f x x = + là A. 5cos5xC + . B. 1 cos5 2 5 x xC − ++ . C. 1 cos5 2 5 x xC ++ . D. cos5 2 x xC ++ . Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 sin 2 f x x x = + là A. 2 1 cos 2 2 x xC −+ . B. 2 1 cos 2 2 x xC ++ . C. 2 2cos 2 x xC − + . D. 2 2cos 2 x xC ++ . Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) cos 2 fx x = là: A. 1 cos 4 28 x C ++ . B. cos 4 22 xx C −+ . C. 1 cos 4 22 x C −+ . D. cos 4 28 xx C ++ . Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos 3 6 f x x π  = +   . A. ( ) d 3sin 3 6 f x x x C π  = ++   ∫ . B. ( ) 1 d sin 3 36 f x x x C π  = − ++   ∫ . C. ( ) d 6sin 3 6 f x x x C π  = ++   ∫ . D. ( ) 1 d sin 3 36 f x x x C π  = ++   ∫ . Câu 97. Cho ( ) cos 2 sin F x x x C = −+ là nguyên hàm của hàm số ( ) f x . Tính ( ) π f . A. ( ) π3 f = − . B. ( ) π1 f = . C. ( ) π1 f = − . D. ( ) π 0 f = . Câu 98. Tính: 1 cos dx x + ∫ A. 2 tan 2 x C + . B. tan 2 x C + . C. 1 tan 22 x C + . D. 1 tan 42 x C + . Câu 99. Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 6 sin 3 f x x x = + , biết ( ) 2 0 3 F = . A. ( ) 2 cos3 2 3 33 x F x x =−+ . B. ( ) 2 cos3 31 3 x F x x =−− . https://toanmath.com/ C. ( ) 2 cos3 3 1 3 x F x x =++ . D. ( ) 2 cos3 31 3 x F x x =−+ . Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số 2 ( ) tan fx x = là: A. cot x xC −+ . B. tan x xC −+ . C. cot x xC − −+ . D. tan x xC − −+ . Câu 101. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số 2 1 cos y x = − và ( ) 01 F = . Khi đó, ta có ( ) F x là: A. tan x − . B. tan 1 x −+ . C. tan 1 x + . D. tan 1 x − . Câu 102. Cho hàm số ( ) 4 sin 2 f x x = . Khi đó: A. ( ) 11 3 sin 4 sin8 88 f x dx x x x C   = + + +     ∫ . B. ( ) 11 3 cos 4 sin8 88 f x dx x x x C   = − + +     ∫ . C. ( ) 11 3 cos 4 sin8 88 f x dx x x x C  = ++ +   ∫ . D. ( ) 1 1 3 sin 4 sin8 8 8 f x dx x x x C  = −+ +   ∫ . Câu 103. Biết rằng ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) sin 1 2 f x x = − và thỏa mãn 1 1. 2 F  =   Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ( ) ( ) 13 cos 1 2 . 22 F x x = − −+ B. ( ) ( ) cos 1 2 . F x x = − C. ( ) ( ) cos 1 2 1. F x x = −+ D. ( ) ( ) 11 cos 1 2 . 22 F x x = −+ Câu 104. Nguyên hàm ( ) sin 2 cos x x dx + ∫ là: A. 1 cos 2 sin 2 x xC ++ . B. cos 2 sin x xC − ++ . C. 1 cos 2 sin 2 x xC − ++ . D. cos 2 sin x xC − −+ . Câu 105. Nguyên hàm ( ) ( ) sin 2 3 cos 3 2 x x dx ++ −   ∫ là: A. ( ) ( ) 2cos 2 3 2sin 3 2 x xC − +− − + . B. ( ) ( ) 2cos 2 3 2sin 3 2 x xC − ++ − + . C. ( ) ( ) 2cos 2 3 2sin 3 2 x xC +− − + . D. ( ) ( ) 2cos 2 3 2sin 3 2 x xC ++ − + . Câu 106. Nguyên hàm ( ) 2 sin 3 1 cos x x dx   ++   ∫ là: A. ( ) 1 3sin 6 2 sin 2 x x xC − + + + . B. ( ) 3sin 6 2 sin x x xC − + + + . C. ( ) 1 3sin 3 1 sin 2 x x xC − ++ + . D. ( ) 1 3sin 6 2 sin 2 x x xC − + − + . Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của ( ) 33 sin cos x x dx + ∫ ? A. 22 3cos .sin 3sin .cos x x x xC −+ . B. ( ) 3 sin 2 sin cos 2 x x xC −+ . C. 3 2 sin 2 sin 4 xx C π   − +     . D. 3 2 sin .cos .sin 4 xx x C π   − +     . Câu 108. Cho hàm số ( ) cos3 .cos f x x x = . Một nguyên hàm của hàm số ( ) f x bằng 0 khi 0 x = là: A. 3sin 3 sin xx + B. sin 4 sin 2 84 xx + C. sin 4 sin 2 24 xx + D. cos 4 cos 2 84 xx + https://toanmath.com/ Câu 109. Họ nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 cot f x x = là: A. cot x xC −+ B. cot x xC − −+ C. cot x xC ++ D. tan x xC ++ Câu 110. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 sin 4 1 cos x f x x = + thỏa mãn 0 2 F π  =   . Tính ( ) 0 F . A. ( ) 0 4 6ln 2 F =−+ . B. ( ) 0 4 6ln 2 F =−− . C. ( ) 0 4 6ln 2 F = − . D. ( ) 0 4 6ln 2 F = + . Câu 111. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 tan f x x = và 1 4 F π  =   . Tính 4 F π  −   . A. 1 4 4 F π π  −=−   . B. 1 4 2 F π π  −=−   . C. 1 4 F π  −= −   . D. 1 4 2 F π π  −=+   . Câu 112. Tìm một nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) ( ) 2 1 sin f x x = + biết 3 24 F ππ  =   A. ( ) 31 2cos sin 2 . 24 F x x x x =+ − B. ( ) 31 2cos sin 2 . 24 F x x x x =−− C. ( ) 31 2cos sin 2 . 24 F x x x x =−+ D. ( ) 31 2cos sin 2 . 24 F x x x x =+ + Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3sin 3 2cos3 5sin 3 cos3 x x f x xx −+ = − . A. 17 7 ln 5sin 3 cos3 . 26 78 x x xC −+ − + B. 17 7 ln 5sin 3 cos3 . 26 78 x x x C −− − + C. 17 7 ln 5sin 3 cos3 . 26 78 x x xC + − + D. 17 7 ln 5sin 3 cos3 . 26 78 x x x C − − + Câu 114. Biết ( ) 2 sin 2 cos 2 d cos 4 a x x x x xC b − = + + ∫ , với a , b là các số nguyên dương, a b là phân số tối giản và C ∈  . Giá trị của ab + bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3. Câu 115. Tính 8sin 3 cos d cos 4 cos 2 I x x x a xb xC = = + + ∫ . Khi đó, ab − bằng A. 3 . B. 1 − . C. 1. D. 2 . Câu 116. ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số 2sin cos3 y xx = và ( ) 00 F = , khi đó A. ( ) cos 4 cos 2 F x x x = − . B. ( ) cos 2 cos 4 1 4 88 xx F x= −− . C. ( ) cos 2 cos 4 1 2 44 xx F x= −− . D. ( ) cos 4 cos 2 1 4 24 xx F x= −+ . Câu 117. Cho α ∈  . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số ( ) sin f x x = . A. ( ) 1 cos Fx x = − . B. ( ) 2 2sin sin 22 xx Fx αα +− = . C. ( ) 3 2sin sin 22 x x F x αα    = −+ −       . D. ( ) 4 2cos sin 22 xx Fx αα +− = . Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 tan 2 2 f x x = + . A. 2 1 tan 2 d 2 tan 2 2 2 x x x xC  + = −+   ∫ . B. 2 1 tan 2 d tan 2 22 x x x xC  + = −+   ∫ . C. 2 1 tan 2 d tan 2 2 x x x xC  + = −+   ∫ . D. 2 1 tan 2 tan 2 d 2 22 xx xx C  + = −+   ∫ . https://toanmath.com/ Câu 119. Hàm số ( ) ln sin 3cos F x x x = − là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? A. ( ) sin 3cos cos 3sin xx f x xx − = + . B. ( ) cos 3sin sin 3cos xx f x xx − − = − . C. ( ) cos 3sin sin 3cos xx f x xx + = − . D. ( ) cos 3sin f x x x = + . Câu 120. Hàm số ( ) 7cos 4sin cos sin xx f x xx − = + có một nguyên hàm ( ) F x thỏa mãn 3 48 F ππ  =   . Giá trị 2 F π    bằng? A. 3 11ln 2 4 π − . B. 3 4 π . C. 3 8 π . D. 3 ln 2 4 π − . Câu 121. Tìm sin sin cos x I dx x x = + ∫ ? A. ( ) 1 ln sin cos 2 I x x xC =+ ++ . B. ln sin cos I x x xC =+ ++ . C. ln sin cos I x x xC =− ++ . D. ( ) 1 ln sin cos 2 I x x xC =− ++ . Câu 14. Biết sinx cos sinx cos sinx cos sinx x I dx A B dx xx −   = = +   ++   ∫∫ . Kết quả của A, B lần lượt là A. 1 . 2 AB = = B. 1 . 2 AB = = − C. 11 ,. 22 A B = −= D. 11 ,. 22 AB = = − Câu 122. Tìm 4 44 cos sin cos x I dx xx = + ∫ ? A. 1 1 2 sin 2 ln 2 2 2 2 sin 2 x Ix C x    + = − +       −    . B. 1 2 sin 2 ln 2 2 2 sin 2 x Ix C x  + = −+   −  . C. 1 1 2 sin 2 ln 2 2 2 2 sin 2 x Ix C x   + = ++     −   . D. 1 2 sin 2 ln 2 2 2 sin 2 x Ix C x  + = −+   −  . Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3sin 2 2cos e x f x x x = − + − là A. 6cos 2 2sin e x x x C − + −+ . B. 6cos 2 2sin e x x x C − −+ . C. 3 cos 2 2sin e 2 x x x C − −+ . D. 3 cos 2 2sin e 2 x x x C + −+ . Câu 124. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn [ ] 0; \ 2 π π    thỏa mãn ( ) tan fx x ′ = , 5 ;\ 44 2 x π π π     ∀∈ −        , ( ) 00 f = , ( ) 1 f π = . Tỉ số giữa 2 3 f π       và 4 f π    bằng: A. ( ) 2 2 log e 1 + . B. 2 . C. ( ) 1 1 ln 2 2 ln 2 + + . D. ( ) 2 2 1 log e − . DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 5 x f x = . https://toanmath.com/ A. 2 5d x x ∫ 2 5 2. ln 5 x C = + . B. 2 5d x x ∫ 25 2ln 5 x C = + . C. 2 5d x x ∫ 2 2.5 ln 5 x C = + . D. 2 5d x x ∫ 1 25 1 x C x + = + + . Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2018 e. x f x = A. ( ) 2018 1 d .e 2018 x f x x C = + ∫ . B. ( ) 2018 de x f x x C = + ∫ . C. ( ) 2018 d 2018e x f x x C = + ∫ . D. ( ) 2018 d e ln 2018 x f x x C = + ∫ . Câu 127. Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 e x f x = , biết ( ) 01 F = . A. ( ) 2 e x F x = . B. ( ) 2 e1 22 x F x = + . C. ( ) 2 2e 1 x F x = − . D. ( ) e x F x = . Câu 128. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) 3 e x f x = thỏa mãn ( ) 01 F = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ( ) 3 12 e 33 x F x = + . B. ( ) 3 1 e 3 x F x = . C. ( ) 3 1 e 1 3 x F x = + . D. ( ) 3 14 e 33 x F x= −+ . Câu 129. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) e 2 x f x x = + thỏa mãn ( ) 3 0 2 F = . Tìm ( ) F x . A. ( ) 2 5 e 2 x F x x = ++ . B. ( ) 2 1 2e 2 x F x x = +− . C. ( ) 2 3 e 2 x F x x = ++ . D. ( ) 2 1 e 2 x F x x = ++ . Câu 130. Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn ( ) 2018 ln 2018 cos x fx x ′ = − và ( ) 02 f = . Phát biểu nào sau đúng? A. ( ) 2018 sin 1 x f x x = ++ . B. ( ) 2018 sin 1 ln 2018 x f x x = ++ . C. ( ) 2018 sin 1 ln 2018 x f x x = −+ . D. ( ) 2018 sin 1 x f x x = −+ . Câu 131. Tính 32 (2 ) x e dx + ∫ A. 36 41 3 36 x x x e eC + + + B. 36 45 4 36 x x x e eC + + + C. 36 41 4 36 x x x e eC + −+ D. 36 41 4 36 x x x e eC + + + Câu 132. Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) (1 ) xx fx e e − = − và (0) 3 F = thì () Fx là? A. x ex − B. 2 x ex −+ C. x e xC −+ D. 1 x ex −+ Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số () xx fx e e − = − là : A. xx ee C − ++ . B. xx ee C − − + . C. xx ee C − −+ + . D. x x e eC ++ . Câu 134. Hàm số () xx Fx e e x − = ++ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? https://toanmath.com/ A. () 1 x x fx e e − = ++ B. 2 1 () 2 xx fx e e x − = − + C. () 1 xx fx e e − = − + D. 2 1 () 2 xx fx e e x − = ++ Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số 23 () xx fx e e − = − là : A. 32 32 xx e e C − ++ . B. 23 23 x x ee C − ++ . C. 33 22 x x e e C − ++ . D. 23 32 xx ee C − + + . Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số 23 () 3 2 xx fx − = − là : A. 23 32 2.ln 3 3.ln 2 x x C − ++ . B. 23 32 2.ln 3 3.ln 2 x x C − −+ . C. 23 3 2 2.ln 3 3.ln 2 x x C − ++ . D. 23 32 2.ln 3 3.ln 2 x x C − −+ . Câu 137. Hàm số () y fx = có một nguyên hàm là ( ) 2 e x F x = . Tìm nguyên hàm của hàm số () 1 e x fx + . A. () 1 d ee e xx x fx xC − + = − + ∫ . B. () 1 d 2e e e xx x fx x C − + = − + ∫ . C. () 1 d 2e e e xx x fx xC − + = ++ ∫ . D. () 1 1 d ee e2 xx x fx xC − + = − + ∫ . Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) e 1e xx f x − = + . A. ( ) de x f x x C − = + ∫ . B. ( ) de x f x x x C = ++ ∫ . C. ( ) d ee xx f x x C − = ++ ∫ . D. ( ) de x f x x C = + ∫ . Câu 139. ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số 2 . x y xe = Hàm số nào sau đây không phải là ( ) F x ? A. ( ) 2 1 2 2 x F x e = + . B. ( ) ( ) 2 1 5 2 x F x e = + . C. ( ) 2 1 2 x F x e C = −+ . D. ( ) ( ) 2 1 2 2 x F x e = −− . Câu 140. Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 23 4 xx x x f x  = −    . A. ( ) 12 2 ln12 3 x x x F x C = −+ . B. ( ) 12 x F x x x C = ++ . C. ( ) 2 23 ln 2 ln 3 4 xx x x x F x  = −    . D. ( ) 2 2 3 ln 4 ln 2 ln 3 4 xx x x x F x  = −    . Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số ( ) 5 2018e e 2017 x x f x x −  = −   . A. ( ) 4 2018 d 2017e x f x x C x = ++ ∫ . B. ( ) 4 504,5 d 2017e x f x x C x = ++ ∫ . C. ( ) 4 504,5 d 2017e x f x x C x = − + ∫ . D. ( ) 4 2018 d 2017e x f x x C x = −+ ∫ . https://toanmath.com/ Câu 142. Tính 2 2 .3 .7 xx x dx ∫ A. 84 ln84 x C + B. 2 2 .3 .7 ln 4.ln 3.ln 7 xx x C + C. 84 x C + D. 84 ln84 x C + Câu 143. Nguyên hàm 21 3 2 x x e dx e + − ∫ là: A. 5 1 33 52 33 x x e eC +− −+ . B. 5 1 33 52 33 x x e eC + ++ . C. 5 1 33 52 33 x x e eC + −+ . D. 5 1 33 52 33 x x e eC +− ++ . Câu 144. Cho ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) 1 3 x f x e = + và ( ) 1 0 ln 4 3 F = − . Tập nghiệm S của phương trình ( ) ( ) 3 ln 3 2 x F x e + += là A. { } 2 S = . B. { } 2;2 S = − . C. { } 1;2 S = . D. { } 2;1 S = − . Câu 145. Hàm số ( ) ( ) 31 2 1 e 9 24 17 27 x F x x x C + = − ++ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. A. ( ) ( ) 2 31 2 1 e x f x x x + = +− . B. ( ) ( ) 2 31 2 1 e x f x x x + = −− . C. ( ) ( ) 2 31 2 1 e x f x x x + = −+ . D. ( ) ( ) 2 31 2 1 e x f x x x − = −− . Câu 146. Cho hai hàm số ( ) ( ) 2 x F x x ax b e − = + + và ( ) ( ) 2 36 x f x x x e − =− + + . Tìm a và b để ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x . A. 1 a = , 7 b = − . B. 1 a = − , 7 b = − . C. 1 a = − , 7 b = . D. 1 a = , 7 b = . Câu 147. Tìm nx F x e dx = ∫ ? A. ( ) ( ) ( ) 1 12 1 ... ! 1 ! 1 nn xn n n n F e x nx n n x n x n x C − −−  = − + − + + − + − + +  . B. ( ) ( ) ( ) 1 12 1 ... ! 1 ! 1 nn xn n n F e x nx n n x n x n C − −−  = − + − + + − + − +  . C. ! x F ne C = + . D. ( ) ( ) ( ) 1 12 1 ... ! 1 ! 1 nn nn n x F x nx n n x n x n e C − −− = − + − + + − + − + + . Câu 148. Giả sử 23 2 3 2 2 (2 5 2 4) ( ) xx e x x x dx ax bx cx d e C + − + = + ++ + ∫ . Khi đó abc d + ++ bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số ( ) 5 2018e e 2017 x x f x x −  = −   . A. ( ) 4 2018 d 2017e x f x x C x = ++ ∫ . B. ( ) 4 504,5 d 2017e x f x x C x = ++ ∫ . C. ( ) 4 504,5 d 2017e x f x x C x = − + ∫ . D. ( ) 4 2018 d 2017e x f x x C x = −+ ∫ . Câu 150. Giả sử 23 2 3 2 2 (2 5 2 4) ( ) xx e x x x dx ax bx cx d e C + − + = + ++ + ∫ . Khi đó abc d + ++ bằng A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 Câu 151. Cho ( ) ( ) 22 e x F x ax bx c = +− là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 22 2018 3 1 e x f x x x = −+ trên khoảng ( ) ; −∞ +∞ . Tính 24 T abc =++ . A. 3035 T = − . B. 1007 T = . C. 5053 T = − . D. 1011 T = . https://toanmath.com/ Câu 152. Biết ( ) ( ) 2 x F x ax bx c e − = ++ là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 2 52 x f x x x e − = − + trên  . Tính giá trị của biểu thức ( ) 0 fF    . A. 1 e − − . B. 2 20e . C. 9e . D. 3e . Câu 153. Gọi ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x f x = , thỏa mãn ( ) 1 0 ln 2 F = . Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 ... 2017 TF F F F = + + ++ . A. 2017 21 1009. ln 2 T + = . B. 2017.2018 2 T = . C. 2017 21 ln 2 T − = . D. 2018 2 1 ln 2 T − = . https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 59. Cho hàm số 4 2 52 () x fx x + = . Khi đó: A. 3 2 5 () 3 x f x dx C x = −+ ∫ B. 3 5 () 2 f x dx x C x = −+ ∫ C. 3 25 () 3 x f x dx C x = + + ∫ D. 3 2 2 ( ) 5ln 3 x f x dx x C = ++ ∫ Hướng dẫn giải Ta có: 43 2 2 2 52 5 2 5 2 3 x x dx x dx C x x x +   = + = −+     ∫∫ . Chọn A Câu 60. Nguyên hàm () Fx của hàm số 2 2 1 () x fx x   + =     là hàm số nào trong các hàm số sau? A. 3 1 () 2 3 x Fx x C x = −+ + . B. 3 1 () 2 3 x Fx x C x = + + + . C. 3 2 3 () 2 x x Fx C x + = + . D. 3 3 2 3 () 2 x x Fx C x  +  = +     . Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 42 3 2 22 1 2x 1 1 1 x 2 2x 3 xx x dx d x C x x xx   + ++   = = ++ = + − +         ∫∫ ∫ . Chọn A Câu 61. Nguyên hàm của hàm số 4 2 23 x y x + = là: A. 3 23 3 x C x −+ . B. 3 3 3xC x − −+ . C. 3 23 3 x C x + + . D. 3 3 3 x C x −+ . Hướng dẫn giải Ta có: 43 2 2 2 23 3 2 3 2 3 xx dx x dx C x x x +   = + = −+     ∫ ∫ . Chọn A Câu 62. Tính nguyên hàm 1 d 23 x x     +   ∫ A. 1 ln 2 3 2 xC ++ . B. ( ) 1 ln 2 3 2 xC ++ . C. 2ln 2 3 xC ++ . D. ln 2 3 xC ++ . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: ( ) 1 1 1 1 d d 23 ln 23 23 2 23 2 x x xC xx     = + = ++     ++     ∫∫ Câu 63. Nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 1 2 1 f x x = + , biết e1 3 22 F −  =   là: A. ( ) 1 2ln 2 1 2 F x x = +− . B. ( ) 2ln 2 1 1 F x x = ++ . https://toanmath.com/ C. ( ) 1 ln 2 1 1 2 F x x = ++ . D. ( ) 1 ln 2 1 2 F x x = ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng ( ) 1 d 2 1 F x x x = + ∫ 1 ln 2 1 2 xC = ++ . Mà e1 3 22 F −  =   1 e1 3 ln 2 1 22 2 C −  ⇔ ++ =   1 C ⇔= . Câu 64. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 1 f x x = − và ( ) 21 F = . Tính ( ) 3 F . A. ( ) 3 ln 2 1 F = − . B. ( ) 3 ln 2 1 F = + . C. ( ) 1 3 2 F = . D. ( ) 7 3 4 F = . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 1 ( ) d ln 1 1 Fx x x C x = = −+ − ∫ . Theo đề ( ) 2 1 ln1 1 1 F CC =⇔ +=⇔ = . Vậy ( ) 3 ln 2 1 F = + . Câu 65. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) 1 1 f x x = + và ( ) 02 F = thì ( ) 1 F bằng. A. ln 2 . B. 2 ln 2 + . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B ( ) 1 d ln 1 1 F x x x C x = = ++ + ∫ mà ( ) 02 F = nên ( ) ln 1 2 F x x = ++ . Do đó ( ) 1 2 ln 2 F = + . Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 () (3 2 x) fx = − là : A. ( ) 2 1 2 3 2 C x − + + . B. ( ) 1 4 3 2 C x + − . C. ( ) 2 2 32 C x + − . D. ( ) 2 1 2 3 2 C x + − . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 32 2 1 32 2 32 dx C x x = + − − ∫ . Chọn D Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số 2 (2 ) () ( 1) xx fx x + = + A. 2 1 1 xx x −− + . B. 2 1 1 xx x +− + . C. 2 1 1 xx x ++ + . D. 2 1 x x + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 22 22 1 1 11 11 2 0 1 0 1 11 1 22 1 11 xx xx x x x xx −− ++ ′  +− + + = =  + ++  . Chọn B https://toanmath.com/ Câu 68. Tính 1 ( 3) dx xx − ∫ . A. 1 ln 33 x C x + − . B. 13 ln 3 x C x + + . C. 1 ln 33 x C x + + . D. 13 ln 3 x C x − + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 1 1 11 1 3 .ln 33 3 3 x dx dx C x x x x x −  = −= +  −−  ∫∫ . Chọn D Câu 69. ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 3 2 1 f x x x = + + . Biết ( ) 00 F = , ( ) 1 ln 3 b Fa c = + trong đó a , b , c là các số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức abc ++ bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3. D. 12 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( ) 2 1 3d 2 1 F x x x x   = +   +   ∫ 3 1 ln 2 1 2 x xC = + ++ . Do ( ) 00 F = ⇒ 0 C = ⇒ ( ) 3 1 ln 2 1 2 F x x x =+ + . Vậy ( ) 1 1 1 ln 3 2 F = + ⇒ 1; a = 1; b = 2 c = ⇒ 4 abc ++ =. Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 2 2 1 x x f x x + = + . A. ( ) 2 1 1 1 xx Fx x −− = + . B. ( ) 2 2 1 1 xx Fx x +− = + . C. ( ) 2 3 1 1 xx F x x ++ = + . D. ( ) 2 4 1 x Fx x = + . Hướng dẫn giải Chọn C ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 x x Fx x + ′ = + , đáp án A là nguyên hàm của ( ) f x . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 1 x x Fx x ++ ′ = + , đáp án B không phải là nguyên hàm của ( ) f x . ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 x x F x x + ′ = + , đáp án C là nguyên hàm của ( ) f x . ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 1 x x Fx x + ′ = + , đáp án D là nguyên hàm của ( ) f x . Câu 71. Cho biết 2 13 d ln 1 ln 2 ( 1)( 2) x xa x b x C xx − = ++ − + +− ∫ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 28 ab += . B. 8 ab + =. C. 28 ab −=. D. 8 ab −=. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có https://toanmath.com/ 2 13 d ( 1)( 2) x x xx − +− ∫ 53 d 12 x xx  = −  +−  ∫ 11 5 d 3 d 11 xx xx = − +− ∫∫ 5ln 1 3ln 2 x xC = +− − + . Vậy 5 3 a b =   = −  8 ab ⇒ −=. Câu 72. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 23 x f x x + = − thỏa mãn (2) 3 F = . Tìm ( ) F x : A. ( ) 4ln 2 3 1 Fx x x = + −+ . B. ( ) 2ln(2 3) 1 Fx x x = + −+ . C. ( ) 2ln 2 3 1 Fx x x = + −+ . D. ( ) 2ln | 2 3| 1 Fx x x = + −− . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( ) 2 1 d 23 x F x x x + = − ∫ 4 1 d 2ln 2 3 23 xx x C x  = + = + −+  −  ∫ . Lại có (2) 3 F = 2 2ln 1 3 C ⇔+ + = 1 C ⇔= . Câu 73. Tích phân ( ) 2 1 2 0 1 d ln 1 x I x a bc x − = = + + ∫ , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức abc ++ ? A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D ( ) 2 1 2 0 1 d 1 x Ix x − = + ∫ 1 2 0 2 1d 1 x x x  = −  +  ∫ ( ) 1 2 0 ln 1 1 ln 2 xx =− + =− . Khi đó 1 a = − , 2 b = , 1 c = . Vậy 2 abc ++ =. Câu 74. Tính 2 1 43 dx xx −+ ∫ , kết quả là: A. 11 ln 23 x C x − + − . B. 13 ln 21 x C x − + − . C. 2 ln 4 3 xx C − + + . D. 3 ln 1 x C x − + − . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 11 1 1 3 ln 43 1 3 2 3 1 2 1 dx dx x dx C xx x x x x x −   = = −= +   −+ − − − − −   ∫ ∫ ∫ . Chọn B Câu 75. Nguyên hàm 2 1 76 dx xx −+ ∫ là: A. 11 ln 56 x C x − + − . B. 16 ln 51 x C x − + − . C. 2 1 ln 7 6 5 xx C − + + . D. 2 1 ln 7 6 5 xx C − − + + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 11 1 1 1 6 ln 6 ln 1 ln 7 6 1 6 56 1 5 51 x dx dx dx x x C C xx x x x x x −   = = − = −− − + = +   −+ − − − − −   ∫∫ ∫ . https://toanmath.com/ Chọn B Câu 76. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2 1 f x x = + , biết ( ) 01 F = . Giá trị của ( ) 2 F − bằng A. 1 1 ln 3 2 + . B. 1 1 ln 5 2 + . C. 1 ln 3 + . D. ( ) 1 1 ln 3 2 + . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( ) ( ) d1 d ln 2 1 2 12 x F x f x x x C x = = = + + + ∫∫ . ( ) ( ) ( ) 1 11 0 1 ln1 1 1 ln 2 1 1 2 1 ln 3 2 22 F C C F x x F = ⇔ + = ⇔ = ⇒ = + + ⇒ − = + . Câu 77. Tìm nguyên hàm 2 1 d. 4 Ix x = − ∫ A. 1 2 ln . 22 x IC x + = + − B. 12 ln . 22 x IC x − = + + C. 12 ln . 42 x IC x − = + + D. 1 2 ln . 42 x IC x + = + − Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ( ) ( ) 1 11 1 1 2 d d ln . 22 4 2 2 4 2 x I x xC xx x x x +  = − = − −=+  −+ − + −  ∫∫ Câu 78. Tìm nguyên hàm 2 3 d 32 x x xx + + + ∫ . A. 2 3 d 2ln 2 ln 1 32 x x x xC xx + = + − ++ + + ∫ . B. 2 3 d 2ln 1 ln 2 32 x x x xC xx + = +− + + + + ∫ . C. 2 3 d 2ln 1 ln 2 32 x x x xC xx + = ++ + + + + ∫ . D. 2 3 d ln 1 2ln 2 32 x xx x C xx + = ++ + + + + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) ( ) 2 3 3 21 d d d 32 1 2 1 2 xx xx x xx x x x x + +   = = −   + + + + + +   ∫∫ ∫ 2ln 1 ln 2 x xC = +− + + . Câu 79. Nguyên hàm 32 2 2 6 4 1 32 xx x dx xx − ++ −+ ∫ là: A. 2 1 ln 2 x xC x − + + − . B. 2 12 ln 21 x xC x − + + − . C. 2 11 ln 22 x xC x − + + − . D. 2 2 ln 1 x xC x − + + − . Hướng dẫn giải Ta có: https://toanmath.com/ 32 2 22 2 6 4 1 1 1 1 2 2 2 ln 32 32 2 1 1 xx x x dx x dx x dx x C xx xx x x x − ++ −    = + = + − = + +    −+ −+ − − −    ∫ ∫ ∫ Chọn D Câu 80. Nguyên hàm 2 33 2 x dx xx + − −+ ∫ là: A. 2ln 1 ln 2 x xC −− + + . B. 2ln 1 ln 2 x xC − −+ + + . C. 2ln 1 ln 2 x xC −+ + + . D. 2ln 1 ln 2 x xC − −− + + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 33 33 2 1 2ln 1 ln 2 21 2 1 2 xx dx dx dx x x C x x xx x x ++  = = − =− −− + +  − −+ − + − +  ∫∫ ∫ . Chọn B Câu 81. Nguyên hàm của hàm số 32 2 3 31 () 2 1 x x x fx x x + + − = ++ khi biết ( ) 1 1 3 F = là A. ( ) 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ − + B. ( ) 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ + + C. ( ) 2 2 . 21 x F x x x = ++ + D. ( ) 2 2 . 21 x F x x C x = ++ + + Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 32 2 22 3 31 2 2 d 1 d () 2 1 ( 1) 2 1 x x x x x x x x C Fx x x x x   + + − = +− = + + + =   ++ + +   ∫ ∫ . Mà ( ) 1 1 1 13 1 11 32 3 6 F C C = ⇔ +++ = ⇔ = − nên ( ) 2 2 13 . 2 16 x F x x x = ++ − + Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để ( ) 4 ax b F x x + = + ( ) 40 ab −≠ là nguyên hàm của hàm số ( ) f x và thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 2 21 f x F x f x ′ = −     . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. 1 a = , 4 b = . B. 1 a = , 1 b = − . C. 1 a = , { } \4 b ∈  . D. a ∈  , b ∈  . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( ) 4 ax b F x x + = + là nguyên hàm của ( ) f x nên ( ) ( ) ( ) 2 4 4 ab f x F x x − ′ = = + và ( ) ( ) 3 28 4 ba fx x − ′ = + . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 f x F x f x ′ = − ( ) ( ) ( ) 2 43 24 28 1 4 44 ab ax b b a x xx − + −   ⇔=−   +   ++ ( ) 44 a b ax b x ⇔ − =− +− − ( ) ( ) 41 0 1 x aa ⇔ + − = ⇔= (do 40 x+≠ ) Với 1 a = mà 40 ab −≠ nên 4 b ≠ . Vậy 1 a = , { } \4 b ∈  . Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: https://toanmath.com/ + Vì 40 ab −≠ nên loại được ngay phương án A: 1 a = , 4 b = và phương án D: a ∈  , b ∈  . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy 0 b = , 1 a = . Khi đó, ta có ( ) 4 x F x x = + , ( ) ( ) 2 4 4 f x x = + , ( ) ( ) 3 8 4 fx x ′ = − + . Thay vào ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 f x F x f x ′ = − thấy đúng nên Chọn C https://toanmath.com/ DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 () 3 fx x x x = + là : A. 2 3 29 48 x x x x C ++ . B. 3 22 5 27 38 x x x x C ++ . C. 2 3 29 3 5 x x x x C −+ . D. 3 22 29 38 x x x x C + + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 33 3 8 22 3 2 2 3 29 3 3. 3 8 38 x x x x x x x x x dx C C + = + += + + ∫ . Chọn D Câu 84. Nguyên hàm của ( ) 3 12 3 f x xx = ++ là: A. 3 2 23 3 x x xC + + + . B. 3 2 4 23 3 x x xC + + + . C. 3 2 1 33 2 x x xC + + + . D. 3 2 14 3 23 x x xC + + + . Hướng dẫn giải Ta có: 12 11 3 2 33 22 3 12 3 2 3 2 33 2 3 3 dx x x dx x x x C x x x C xx − −  + + = + + = + + + = + + +     ∫∫ . Chọn A Câu 85. Tính 1 dx x − ∫ thu được kết quả là: A. 1 C x − B. 21 xC − −+ C. 2 1 C x + − D. 1 xC −+ Hướng dẫn giải Ta có: 21 1 dx xC x =− −+ − ∫ . Chọn B Câu 86. Gọi ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 1 f x x x = +− . Nguyên hàm của ( ) f x biết ( ) 36 F = là: A. ( ) ( ) 3 2 11 1 33 F x x x = + −+ . B. ( ) ( ) 3 2 11 1 33 F x x x = + + + . C. ( ) ( ) 3 2 11 1 3 3 F x x x = + −− . D. ( ) ( ) 3 2 11 1 33 F x x x = + + − . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 3 2 12 1 11 3 x dx x C xx  +− = + + +   ∫ . Theo đề bài, ta lại có: ( ) ( ) 3 2 1 1 3 6 31 6 33 3 F CC = ⇔ + + + = ⇔ = . ( ) ( ) 3 2 11 1 33 F x x x = + + + . Chọn B https://toanmath.com/ . Câu 87. Cho (x 2) 2 (x 1) 1 21 dx a x b x C xx = + + + + ++ ++ + ∫ . Khi đó 3ab + bằng: A. 2 3 − . B. 1 3 . C. 4 3 . D. 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 ( 2 1)dx (x 2) 2 (x 1) 1 3 3 21 dx x x x x C xx = +− + = + +− + + + ++ + ∫∫ 22 ; 33 ab ⇒= = − 4 3 3 ab ⇒ + = Câu 88. Tìm 1 1 x Q dx x − = + ∫ ? A. 22 1 ln 1 Q x x x C = −+ + − + . B. 22 1 ln 1 Q x x x C = −− + − + . C. 22 ln 1 1 Q x x x C = + − − −+ . D. Cả đáp án B,C đều đúng. Hướng dẫn giải Điều kiện: 1 1 0 1 1 x x x x ≥  − ≥ ⇔  <−> ∫ bằng A. 2 1 ln ln 2 x xC ++ . B. 2 ln x xC ++ . C. 2 ln ln x xC ++ . D. 2 1 ln 2 x xC ++ . Câu 25. Tính () 2ln 1 dx Fx xx = + ∫ A. ( ) 2 2ln 1 Fx x C = ++ B. ( ) 2ln 1 Fx x C = ++ https://toanmath.com/ C. 1 ( ) 2ln 1 4 Fx x C = ++ D. 1 ( ) 2ln 1 2 Fx x C = ++ Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số ln () x fx x = là: A. 2 ln xC + B. ln xC + C. 2 ln 2 x C + D. ln 2 x C + Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 2 ( ) ln( 1) 1 x fx x x = + + là: A. 22 1 ln ( 1) C 2 x ++ B. 2 ln( 1) C x ++ C. 22 1 ln ( 1) C 2 x ++ D. 22 1 ln ( 1) C 2 x ++ Câu 28. Tính .ln dx xx ∫ A. ln xC + B. ln | | xC + C. ln(lnx) C + D. ln | lnx | C + Câu 29. Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 21 f x x = − thỏa mãn ( ) 57 F = . A. ( ) 22 1 F x x = − . B. ( ) 22 1 1 F x x = −+ . C. ( ) 2 14 F x x = −+ . D. ( ) 2 1 10 F x x = −− . Câu 30. Họ nguyên hàm 3 2 . 1d xx x + ∫ bằng A. 2 3 1 . ( 1) . 8 xC ++ B. 2 3 3 . ( 1) . 8 xC ++ C. 24 3 3 . ( 1) . 8 xC + + D. 24 3 1 . ( 1) . 8 xC + + Câu 31. Biết ( ) ( ) d 2 ln 3 1 f x x x x C = − + ∫ với 1 ; 3 x   ∈ +∞     Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. ( ) ( ) 3 d 2 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . B. ( ) ( ) 3 d 6 ln 3 1 f xx x x C = − + ∫ . C. ( ) ( ) 3 d 6 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . D. ( ) ( ) 3 d 3 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho () () . f x dx F x C = + ∫ Khi đó với a ≠ 0, ta có (a ) f x b dx + ∫ bằng: A. 1 (a ) C 2 F xb a ++ B. . (a ) C aF x b ++ C. 1 (a ) C F xb a ++ D. (a ) C F xb ++ Câu 33. Hàm số 10 ( ) (1 ) fx x x = − có nguyên hàm là: A. 12 11 ( 1) ( 1) () 12 11 xx Fx C −− = −+ . B. 12 11 ( 1) ( 1) () 12 11 x x Fx C −− = ++ . C. 11 10 ( 1) ( 1) 11 10 xx C −− ++ . D. 11 10 ( 1) ( 1) () 11 10 xx Fx C −− = −+ . https://toanmath.com/ Câu 34. Tính 2 x (1 ) d x x + ∫ thu được kết quả là: A. ( ) 2 ln 1 xx C + + . B. 2 ln 1 x xC ++ . C. 2 ln 1 x C x + + . D. 2 2 1 .ln 21 x C x + + . Câu 35. Tính ( ) 3 1 x x dx + ∫ là : A. ( ) ( ) 54 11 5 4 xx C ++ ++ B. ( ) ( ) 54 11 54 xx C ++ −+ C. 54 2 3 3 54 2 xx x x C + +− + D. 54 2 3 3 54 2 xx x xC + −+ + Câu 36. Tìm nguyên hàm 2 15 ( 7) d xx x + ∫ A. ( ) 16 2 1 7 2 x C ++ . B. ( ) 16 2 1 7 32 x C − ++ . C. ( ) 16 2 1 7 16 x C ++ . D. ( ) 16 2 1 7 32 x C ++ . Câu 37. Xét ( ) 5 34 4 3d I x x x = − ∫ . Bằng cách đặt: 4 4 3 ux = − , khẳng định nào sau đây đúng? A. 5 1 d 16 I uu = ∫ . B. 5 1 d 12 I uu = ∫ . C. 5 d I uu = ∫ . D. 5 1 d 4 I uu = ∫ . Câu 38. Cho ( ) ( ) ( ) 6 8 7 2 32 d 32 32 x x x A x B x C − = − + − + ∫ với A , B ∈  và C ∈  . Giá trị của biểu thức 12 7 AB + bằng A. 23 252 . B. 241 252 . C. 52 9 . D. 7 9 . Câu 39. Giả sử ( ) ( ) ( ) 2017 11 1d ab xx xx x C ab −− − = −+ ∫ với , ab là các số nguyên dương. Tính 2ab − bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . Câu 40. Nguyên hàm của 2 1 x dx x + ∫ là: A. ln tC + , với 2 1 tx = + . B. ln tC −+ , với 2 1 tx = + . C. 1 ln 2 tC + , với 2 1 tx = + . D. 1 ln 2 tC − + , với 2 1 tx = + . Câu 41. Tính ( ) 2 4 2 d 9 x x x + ∫ là: A. ( ) 5 2 1 59 C x − + + B. ( ) 3 2 1 39 C x − + + C. ( ) 5 2 4 9 C x − + + D. ( ) 3 2 1 9 C x −+ + Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của ( ) ( ) 2017 2019 7 1 2 1 x K dx x − = + ∫ ? A. 2018 1 7 1 . 18162 2 1 x x −     +   . B. ( ) ( ) ( ) 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 x x x + +− + . https://toanmath.com/ C. ( ) ( ) ( ) 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 x x x − + +− + . D. ( ) ( ) ( ) 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 xx x + −− + . Câu 43. Với phương pháp đổi biến số ( ) xt → , nguyên hàm 2 1 1 dx x + ∫ bằng: A. 2 1 2 tC + . B. 1 2 tC + . C. 2 tC + . D. tC + . Câu 44. Giả sử ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3d 1 1 2 31 xx C x x x x g x + = −+ + + ++ ∫ (C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình ( ) 0 gx = . A. 1 − . B. 1. C. 3 . D. 3 − . HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 23 f x x = + A. ( ) 2 d 23 3 f x x x x C = ++ ∫ . B. ( ) ( ) 1 d 23 23 3 f x x x x C = + ++ ∫ . C. ( ) ( ) 2 d 23 23 3 f x x x x C = + ++ ∫ . D. ( ) d 23 f x x x C = ++ ∫ . Câu 46. Hàm số ( ) F x nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số 3 1 y x = + ? A. ( ) ( ) 4 3 3 1 8 F x x C = ++ . B. ( ) ( ) 4 3 4 1 3 F x x C = + + . C. ( ) ( ) 3 3 11 4 F x x x C = + ++ . D. ( ) ( ) 3 4 3 1 4 F x x C = ++ . Câu 47. Tìm hàm số ( ) F x biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x x = và ( ) 11 F = . A. ( ) 2 3 F x x x = . B. ( ) 21 33 F x x x = + . C. ( ) 11 2 22 F x x = + . D. ( ) 25 33 F x x x = − . Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1 22 1 f x x = + . A. ( ) 1 d 2 1 2 f x x x C = ++ ∫ . B. ( )d 2 1 f x x x C = ++ ∫ . C. ( )d 22 1 f x x x C = ++ ∫ . D. ( ) ( ) 1 d 2 1 2 1 f x x C xx = + ++ ∫ . Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: 2 () 1 fx x x = + là: A. ( ) 3 2 1 () 1 3 Fx x = + B. ( ) 2 2 1 () 1 3 Fx x = + C. ( ) 2 2 2 () 1 2 x Fx x = + D. ( ) 2 2 1 () 1 2 Fx x = + Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số 2 () 2 1 fx x x = + là: A. ( ) 3 2 2 1 3 xC + + B. ( ) 3 2 21 xC − + + https://toanmath.com/ C. ( ) 3 2 1 xC + + D. ( ) 3 2 1 1 3 xC − + + Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số 2 () 2 1 fx x x = − là: A. ( ) 3 2 1 1 3 xC − + B. ( ) 3 2 1 xC −− + C. ( ) 3 2 2 1 xC − + D. ( ) 3 2 2 1 3 xC − − + Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số 3 () 3 1 fx x x = − là: A. ( ) ( ) 75 33 1 1 31 31 21 15 x xC − + −+ . B. ( ) ( ) 64 33 11 31 31 18 12 x xC −+ − + . C. ( ) ( ) 3 3 3 1 31 31 9 x xC − + − + . D. ( ) ( ) 4 3 3 1 1 31 31 12 3 x xC − + − + . Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số 3 () 2 1 2 fx x x = − là: A. ( ) ( ) 36 33 3 12 3 12 6 12 xx C −− −+ + B. ( ) ( ) 47 33 3 12 3 12 8 14 xx C −− −+ + C. ( ) ( ) 36 33 3 12 3 12 6 12 xx C −− −+ D. ( ) ( ) 47 33 3 12 3 12 8 14 x x C − − −+ Câu 54. Cho 32 5d I x x x = + ∫ , đặt 2 5 ux = + khi đó viết I theo u và du ta được A. 4 2 ( 5 )d . I u uu = − ∫ B. 2 d. I uu = ∫ C. 43 ( 5 )d . I u uu = − ∫ D. 43 ( 5 )d . I u uu = + ∫ Câu 55. Cho 4 0 1 2d I x xx = + ∫ và 2 1 u x = + . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. ( ) 3 22 1 1 1 d 2 I x x x = − ∫ . B. ( ) 3 22 1 1 d I uu u = − ∫ . C. 3 53 1 1 25 3 uu I  = −   . D. ( ) 3 22 1 1 1 d 2 I uu u = − ∫ . Câu 56. Khi tính nguyên hàm 3 d 1 x x x − + ∫ , bằng cách đặt 1 ux = + ta được nguyên hàm nào? A. ( ) 2 2 4d uu u − ∫ . B. ( ) 2 4d uu − ∫ . C. ( ) 2 2 4d uu − ∫ . D. ( ) 2 3d uu − ∫ . Câu 57. Cho ( ) 2 2 () 2 1 5 1 x fx x x = ++ + , biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x thỏa ( ) 06 F = . Tính 3 4 F    . A. 125 16 . B. 126 16 . C. 123 16 . D. 127 16 . Câu 58. Tính tích phân: 5 1 d 31 x I x x = + ∫ được kết quả ln 3 ln 5 Ia b = + . Tổng ab + là A. 2 . B. 3 . C. 1 − . D. 1. Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2 1 x f x x = − là: https://toanmath.com/ A. ( ) 22 1 21 3 x xC + −+ B. ( ) 22 1 11 3 x xC − + −+ C. ( ) 22 1 11 3 x xC + −+ D. ( ) 22 1 21 3 x xC − + −+ Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 () 1 x fx x = + là: A. 2 1 xC ++ B. 2 1 21 C x + + C. 2 21 xC ++ D. 2 41 xC ++ Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số 2 4 () 4 x fx x = − là: A. 2 24 xC − −+ . B. 2 44 xC −+ . C. 2 4 2 x C − − + . D. 2 44 xC − −+ . Câu 62. Với phương pháp đổi biến số ( ) xt → , nguyên hàm 2 1 23 I dx x x = − + + ∫ bằng: A. sin tC + . B. tC −+ . C. costC − + . D. tC + . Câu 63. Biết rằng trên khoảng 3 ; 2  +∞   , hàm số ( ) 2 20 30 7 23 x x f x x −+ = − có một nguyên hàm ( ) ( ) 2 23 F x ax bx c x = ++ − ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S abc = ++ bằng A. 4 . B. 3. C. 5 . D. 6 . Câu 64. 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ có dạng ( ) 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị , b a lần lượt bằng: A. 2; 1. B. 1; 1. C. , ab ∈ ∅ D. 1; 2 . Câu 65. Tìm ( ) 1 1 n n n dx T x + = + ∫ ? A. 1 1 1 n n TC x −  = ++   B. 1 1 1 n n TC x  = ++   C. ( ) 1 1 n n T x C − = + + D. ( ) 1 1 n n T x C = ++ . Câu 66. Tìm 2 12 2 x R dx xx − = + ∫ ? A. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + = − + + − với 1 arctan 22 x t  =   . B. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + = − − + − với 1 arctan 22 x t  =   . C. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt R C t + =++ − với 1 arctan 22 x t  =   . D. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + =−+ − với 1 arctan 22 x t  =   . https://toanmath.com/ HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với cos , sin t xu x = = , nguyên hàm của ( ) tan cot I x x dx = + ∫ là: A. ln ln t uC −+ + . B. ln ln t uC − + . C. ln ln t uC ++ . D. ln ln t uC −− + . Câu 68. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 sin .cos f x x x = và ( ) 0 F π = . Tính 2 F π    . A. 2 F π π  = −   . B. 2 F π π  =   . C. 1 24 F π π  = −+   . D. 1 24 F π π  = +   . Câu 69. Tìm nguyên hàm 2 sin 2 d 1 sin x x x + ∫ . Kết quả là A. 2 1 sin 2 x C + + . B. 2 1 sin xC + + . C. 2 1 sin xC −+ + . D. 2 2 1 sin xC + + . Câu 70. Nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 3 sin 2 .cos 2 f x x x = thỏa 0 4 F π  =   là A. ( ) 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −+ . B. ( ) 35 11 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = +− . C. ( ) 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −− . D. ( ) 35 11 4 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = +− . Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 5 tan f x x = . A. ( ) 42 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = − ++ ∫ . B. ( ) 4 2 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = + −+ ∫ . C. ( ) 4 2 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = + ++ ∫ . D. ( ) 42 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = − −+ ∫ . Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số ( ) xt → , nguyên hàm của 3 2sin 2cos 1 sin 2 x x I dx x + = − ∫ là: A. 3 2 tC + . B. 3 6 tC + . C. 3 3 tC + . D. 3 12 tC + . HÀM MŨ –LÔGARIT Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 21 x f x xe + = A. 5 3 42 1 1 2 d ln 4 t t t t t tC t − − − −  −+ − = − − +   ∫ . B. ( ) 3 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . C. ( ) 3 1 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . D. ( ) 3 3 1 d 3 x x f x x e C + = + ∫ . Câu 74. Tìm nguyên hàm d 1 x x I e = + ∫ . https://toanmath.com/ A. ln 1 x Ix e C =− −+ . B. ln 1 x Ix e C =+ ++ . C. ln 1 x I x eC =−− + + . D. ln 1 x Ix e C =− ++ . Câu 75. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2e 3 x f x = + thỏa mãn ( ) 0 10 F = . Tìm ( ) F x . A. ( ) ( ) ( ) 1 ln 5 ln 2e 3 10 33 x F x x = − + ++ . B. ( ) ( ) ( ) 1 10 ln 2e 3 3 x F x x = +− + . C. ( ) 13 ln e 10 ln 5 ln 2 3 2 x F x x    = − + ++ −       . D. ( ) 1 3 ln 5 ln 2 ln e 10 3 2 3 x F x x   −  = − + +−       . Câu 76. Với phương pháp đổi biến số ( ) xt → , nguyên hàm ln 2x dx x ∫ bằng: A. 2 1 2 tC + . B. 2 tC + . C. 2 2tC + . D. 2 4tC + . Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số ( ) sin cos 2 .2 cos sin xx y xx = − ? A. sin cos 2 xx yC + = + . B. sin cos 2 .2 ln 2 xx y = . C. sin cos ln 2.2 xx y + = . D. sin cos 2 ln 2 xx yC + = −+ . Câu 78. Cho hàm số ln 2 () 2 x fx x = . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số () fx ? A. () 2 x Fx C = + . B. ( ) ( ) 22 1 x Fx C = −+ . C. ( ) ( ) 22 1 x Fx C = + + . D. 1 () 2 x Fx C + = + . Câu 79. Nguyên hàm của ( ) 1 ln .ln x f x xx + = là A. 1 ln d ln ln .ln x x xC xx + = + ∫ . B. 2 1 ln d ln .ln .ln x x x xC xx + = + ∫ . C. 1 ln d ln ln .ln x x x xC xx + = ++ ∫ . D. 1 ln d ln .ln .ln x x x xC xx + = + ∫ . Câu 80. ( ) ( ) 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng ( ) 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị , ab lần lượt bằng: A. 3; 1. B. 1; 3. C. 3; 2 . D. 6; 1. Câu 81. Tìm ( ) ( ) 32 1 1 . 11 x x ex x I dx x ex −+ − = − −+ ∫ ? A. ( ) ln . 1 1 x Ix e x C = + −+ + . B. ( ) ln . 1 1 x Ix e x C = − −+ + . C. ( ) ln . 1 1 x I ex C = −+ + . D. ( ) ln . 1 1 x I ex C = −− + . Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 ln 1 2017 ln . x x xx f x ex e + ++ =  +   ? https://toanmath.com/ A. ( ) ( ) 2 2 ln 1 1008ln ln 1 1 xx  + + + +  . B. ( ) ( ) 22 ln 1 2016ln ln 1 1 xx  + + + +  . C. ( ) ( ) 22 1 ln 1 2016ln ln 1 1 2 xx  + + + +  . D. ( ) ( ) 2 2 1 ln 1 1008ln ln 1 1 2 xx  + + + +  . Câu 83. Tìm ( ) ( ) 22 2 2 2 1 2ln . ln ln x xx x G dx x x x ++ + = + ∫ ? A. 11 ln GC x x x − =−+ + . B. 11 ln GC xx x =−+ + . C. 11 ln GC xx x =−+ + . D. 11 ln GC x x x =++ + . Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của ( ) ( ) 1 1 ln .ln . ln n nn x hx x xx x − − = + ? A. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − + + . B. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn + + + . C. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − + + + . D. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − − + − . https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN Câu 1. Cho hàm số ( ) 2 2 1 x f x x = + . Khi đó: A. ( ) ( ) 2 2ln 1 f x dx x C = ++ ∫ . B. ( ) ( ) 2 3ln 1 f x dx x C = ++ ∫ . C. ( ) ( ) 2 4ln 1 f x dx x C = ++ ∫ . D. ( ) ( ) 2 ln 1 f x dx x C = ++ ∫ . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 2 22 1 2x. ln 1 11 d x dx xC xx + = = ++ ++ ∫∫ . Chọn D Câu 2. Cho hàm số ( ) ( ) 4 2 1 f x xx = + . Biết F(x) là một nguyên hàm của () fx đồ thị hàm số ( ) y F x = đi qua điểm ( ) 1;6 M . Khi đó F(x) là: A. ( ) ( ) 4 2 1 2 4 5 x F x + = − . B. ( ) ( ) 5 2 1 15 10 8 x F x + = − . C. ( ) ( ) 5 2 1 15 10 8 x F x + = + . D. ( ) ( ) 5 2 1 14 1 10 5 F x x = ++ . Hướng dẫn giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44 5 2 22 2 11 1 1 1 1 2 10 F x x xdx xd x x C = + = + += + + ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 2 1 14 1 14 1;6 ( ) : ( ) 6 1 1 1 10 5 10 5 M C y Fx C C F x x ∈ = ⇔= + + ⇔ = ⇒ = + + Chọn D Câu 3. Tính 2 2 1 x dx x − − ∫ thu được kết quả là: A. 1 1 x C x + + − . B. 1 x C x + − . C. 1 1 C x + − . D. 2 ln 1 xC −+ . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 2 2 2 1 2. ln 1 1 1 dx x dx xC x x − − = = −+ − − ∫∫ . Chọn D Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 1 () 4 x fx xx + = ++ là: A. 2 2ln 4 xx C ++ + . B. 2 ln 4 xx C ++ + . C. 2 ln 4 2 xx C ++ + . D. 2 4ln 4 xx C ++ + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 2 22 4 2 1 ln 4 44 d x x x dx x x C xx xx ++ + = = ++ + ++ ++ ∫∫ . Chọn B https://toanmath.com/ Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 () 44 x fx x x + = +− là : A. 2 1 .ln 4 4 2 x x C + − + . B. 2 ln 4 4 x x C + − + . C. 2 2ln 4 4 x x C + − + . D. 2 4ln 4 4 x x C + − + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 2 22 44 21 1 . .ln 4 4 44 2 4 4 2 d x x x dx x x C x x x x ++ + = = + − + +− ++ ∫∫ . Chọn A Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 () 4 x fx x = + là: A. 2 2ln 4 xC ++ B. 2 ln 4 2 x C + + C. 2 ln 4 xC ++ D. 2 4ln 4 xC ++ Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 2 22 4 2 ln 4 44 d x x xC x x + = = ++ + + ∫∫ Chọn C Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số 2 3 3 () 4 x fx x = + là: A. 3 3ln 4 xC ++ B. 3 3ln 4 xC − ++ C. 3 ln 4 xC ++ D. 3 ln 4 xC − ++ Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 3 2 3 33 4 3. ln 4 44 d x x dx xC xx + = = ++ ++ ∫∫ Chọn C Câu 8. Một nguyên hàm của 2 () 1 x fx x = + là: A. 1 ln 1 2 x + B. ( ) 2 2ln 1 x + C. 2 1 ln( 1) 2 x + D. 2 ln( 1) x + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 2 22 1 .1 1 ln 1 12 1 2 d x x dx x xx + = = + ++ ∫∫ Chọn C Câu 9. Tính 3 4 () 1 x F x dx x = − ∫ A. 4 ( ) ln 1 Fx x C = −+ B. 4 1 ( ) ln 1 4 Fx x C = −+ C. 4 1 ( ) ln 1 2 Fx x C = −+ D. 4 1 ( ) ln 1 3 Fx x C = −+ Ta có: 34 4 44 1 ( 1) 1 ln 1 1 4 14 x dx dx x C xx − = = −+ −− ∫∫ Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Ta có: 34 4 44 1 ( 1) 1 ln 1 1 4 14 x dx dx x C xx − = = −+ −− ∫∫ Chọn B Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số sin () cos 3 x fx x = − là: A. ln cos 3 xC − −+ B. 2ln cos 3 xC −+ C. ln cos 3 2 x C − −+ D. 4ln cos 3 xC −+ Hướng dẫn giải Ta có: ( ) cos 3 sin ln cos 3 cos 3 cos 3 dx x dx x C xx − − = =− −+ −− ∫∫ Chọn A Câu 11. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) sin 1 3cos x f x x = + và 2 2 F π  =   . Tính ( ) 0. F A. ( ) 1 0 ln 2 2 3 F = − + . B. ( ) 2 0 ln 2 2 3 F = −+ . C. ( ) 2 0 ln 2 2 3 F = −− . D. ( ) 1 0 ln 2 2 3 F = − − . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: ( ) d 1 3cos sin 1 1 d ln 1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3 x x x xC xx + = − = − + + ++ ∫∫ . Do ( ) 2 2 2 0 ln 2 2 23 F CF π  =⇔=⇒ = − +   . Câu 12. Nguyên hàm của hàm số: 23 . y sin x cos x = là: A. 35 11 sin sin 35 x xC −+ . B. 35 11 sin sin 3 5 x xC −+ + . C. 35 sin sin x xC ++ . D. 35 sin sin x xC −+ . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 23 2 4 sin .cos . sin .cos . x dx sin x x x dx = − ∫∫ ( ) ( ) 35 24 sin sin sin . sin 35 xx sin x x d x C = − = −+ ∫ . Chọn A Câu 13. Nguyên hàm của hàm số: 3 . y sin x cosx = là: A. 4 1 cos 4 xC + . B. 4 1 sin 4 xC + . C. 3 1 sin 3 xC + . D. 2 cos xC −+ . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 4 33 sin sin .cos . sin . sin 4 x x xdx xd x C = = + ∫∫ . Chọn B Câu 14. Tính 2 cos .sin . x x dx ∫ A. 3sin sin 3 12 xx C − + B. 3cos cos3 12 xx C − + C. 3 sin 3 x C + D. 2 sinx.cos xC + https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 3 22 sin cos .sin . sin . sin 3 x x xdx xd x C = = + ∫ ∫ Chọn C Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1 sin f x x = là: A. ln cot 2 x C + B. ln tan 2 x C + C. ln tan 2 x C −+ D. ln sin xC + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 22 2 cos sin . sin . 1 cos 1 ln sin 1 cos cos 1 cos 1 2 cos 1 dx dx x dx x dx x C x x x x x −− = = = = + − − − + ∫∫ ∫ ∫ Chọn B Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) tan f x x = là: A. ln cos xC + B. ln cos xC − + C. 2 tan 2 x C + D. ( ) ln cos xC + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) sin . tan . ln cos cos cos d cosx x dx x dx x C x x == − = − + ∫∫ ∫ Chọn B Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 2 1 2sin 2sin 4 x fx x π − =  +   . A. ( ) d ln sin cos f x x x x C = ++ ∫ . B. ( ) 1 d ln sin cos 2 f x x x x C = ++ ∫ . C. ( ) d ln 1 sin 2 f x x x C =++ ∫ . D. ( ) 1 d ln 1 sin 2 2 f x x x C = ++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng công thức 2 22 1 2sin cos 2 cos sin x x xx −= = − và ( ) 2 2 2sin sin cos 4 x x x π  += +   Hàm số được rút gọn thành ( ) cos sin sin cos xx f x x x − = + Nguyên hàm ( ) ( ) d sin cos d sin cos x x f x x x x + = + ∫∫ = ln sin cos x xC ++ Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số () 3 x x e fx e = + là: A. 3 x eC − − + B. 39 x eC + + C. 2ln 3 x eC − + + D. ln 3 x eC ++ Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 3 ln 3 33 x x x x x de e dx e C ee + = = ++ ++ ∫∫ Chọn D https://toanmath.com/ Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số 2 () 2 2 x fx x = là: A. 2 1 ln 2.2 x C + B. 2 1 .2 ln 2 x C + C. 2 ln 2 2 x C + D. 2 ln 2.2 x C + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 2 22 1 11 2 .2 2 .2 .ln 2 2 .2 ln 2 ln 2 ln 2 x x xx x dx x d C = = = + ∫∫ ∫ Chọn B Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số 2 () 2 x f x xe = là: A. 2 x e C − + . B. 2 2 x e C + . C. x eC −+ . D. 2 x eC + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 22 2. x x x x e dx d e e C = = + ∫ ∫ . Chọn D Câu 21. Tính 2 1 . x x e dx + ∫ A. 2 1 x eC + + . B. 2 1 2 x eC + . C. 2 1 1 2 x eC + + . D. 2 1 1 2 x eC − + . Hướng dẫn giải Ta có: 2 22 1 11 11 () 22 x xx I xe dx d e e C + ++ = = = + ∫∫ . Chọn C Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln x f x x = . A. ( ) 2 d ln f x x x C = + ∫ . B. ( ) 2 1 d ln 2 f x x x C = + ∫ . C. ( ) d ln f x x x C = + ∫ D. ( ) d x f x x e C = + ∫ Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) ( ) d ln d ln f x x x x = ∫∫ 2 1 ln 2 xC = + . Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số ln 2 () x fx x = là : A. ln 2xC + . B. 2 ln xC + . C. 2 ln 2 2 x C + . D. ln 2 x C + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 ln 2 ln 2 ln 2 . ln 2 2 xx dx x d x C x = = + ∫∫ . Chọn C Câu 24. Nguyên hàm ( ) 1 ln d0 x x x x + > ∫ bằng A. 2 1 ln ln 2 x xC ++ . B. 2 ln x xC ++ . C. 2 ln ln x xC ++ . D. 2 1 ln 2 x xC ++ . https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 1 ln 1 ln dd d x x xx x x xx + = + ∫ ∫∫ ( ) 2 1 1 d ln d ln ln ln 2 x x x x xC x = + =++ ∫∫ . Câu 25. Tính () 2ln 1 dx Fx xx = + ∫ A. ( ) 2 2ln 1 Fx x C = ++ B. ( ) 2ln 1 Fx x C = ++ C. 1 ( ) 2ln 1 4 Fx x C = ++ D. 1 ( ) 2ln 1 2 Fx x C = ++ Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( 2ln 1) 2ln 1 Fx d x x C = + = ++ ∫ . Chọn B Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số ln () x fx x = là: A. 2 ln xC + B. ln xC + C. 2 ln 2 x C + D. ln 2 x C + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 ln ln ln . lnx 2 xx dx x d C x = = + ∫∫ Chọn C Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 2 ( ) ln( 1) 1 x fx x x = + + là: A. 22 1 ln ( 1) C 2 x ++ B. 2 ln( 1) C x ++ C. 22 1 ln ( 1) C 2 x ++ D. 22 1 ln ( 1) C 2 x ++ Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 2 22 2 21 ln( 1) ln( 1)d(ln( 1)) ln ( 1) C 12 x x dx x x x x + = + + = ++ + ∫∫ Chọn D Câu 28. Tính .ln dx xx ∫ A. ln xC + B. ln | | xC + C. ln(lnx) C + D. ln | lnx | C + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ln ln ln .ln ln dx dx xC xx x = = + ∫∫ Chọn D Câu 29. Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 21 f x x = − thỏa mãn ( ) 57 F = . A. ( ) 22 1 F x x = − . B. ( ) 22 1 1 F x x = −+ . C. ( ) 2 14 F x x = −+ . D. ( ) 2 1 10 F x x = −− . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) d2 1 2 d2 21 2 21 x x xx − = −− ∫∫ 22 1 xC = −+ ; https://toanmath.com/ Do ( ) 57 F = nên 67 C += 1 C ⇒= . Câu 30. Họ nguyên hàm 3 2 . 1d xx x + ∫ bằng A. 2 3 1 . ( 1) . 8 xC ++ B. 2 3 3 . ( 1) . 8 xC ++ C. 24 3 3 . ( 1) . 8 xC + + D. 24 3 1 . ( 1) . 8 xC + + Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 3 2 . 1d xx x + ∫ ( ) ( ) 1 22 3 1 1d 1 2 xx = ++ ∫ ( ) 4 2 3 3 1 8 xC = + + ( ) 4 2 3 3 1 8 x C = ++ . Câu 31. Biết ( ) ( ) d 2 ln 3 1 f x x x x C = − + ∫ với 1 ; 3 x   ∈ +∞   Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. ( ) ( ) 3 d 2 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . B. ( ) ( ) 3 d 6 ln 3 1 f xx x x C = − + ∫ . C. ( ) ( ) 3 d 6 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . D. ( ) ( ) 3 d 3 ln 9 1 f xx x x C = − + ∫ . Lởi giải Chọn A Cách 1: ( ) ( ) d 2 ln 3 1 f x x x x C = − + ∫ ⇒ ( ) 3d f xx ∫ ( ) ( ) 1 3 d3 3 f x x = ∫ ( ) ( ) 1 2. 3 ln 3.3 1 3 x x C = − + ( ) 2 ln 9 1 xx C = − + Cách 2: Ta có ( ) ( ) d 2 ln 3 1 f x x x x C = − + ∫ ( ) ( ) ( ) 2 ln 3 1 f x x x C ′ ⇒ = − + ( ) 6 2ln 3 1 31 x x x = − + − . Khi đó ( ) ( ) 18 3 2ln 9 1 91 x f x x x = − + − . ( ) 3d f xx ∫ ( ) 18 2ln 9 1 d 91 x xx x  = − +  −  ∫ ( ) 2 2 ln 9 1 d 2 d 91 x x x x  = − ++  −  ∫∫ ( ) ( ) ( ) 22 91 ln 91 9 2 ln 91 99 x x xx x C = − − − + + − +   ( ) 2ln 9 1 x C = − + . https://toanmath.com/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ Nếu ( ) ( ) d f x x F x C = + ∫ thì ( ) ( ) ( ) .' d f u x u x x F ux C = +         ∫ . Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm ( ) d I f x x = ∫ , trong đó ta có thể phân tích ( ) ( ) ( ) ( ) ' f x gu x u x = thì ta thực hiện phép đổi biến số ( ) t ux = , suy ra ( ) d 'd t ux x = . Khi đó ta được nguyên hàm: ( ) ( ) ( ) d. g t t Gt C G u x C = += +     ∫ Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay ( ) t ux = . HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho () () . f x dx F x C = + ∫ Khi đó với a ≠ 0, ta có (a ) f x b dx + ∫ bằng: A. 1 (a ) C 2 F xb a ++ B. . (a ) C aF x b ++ C. 1 (a ) C F xb a ++ D. (a ) C F xb ++ Hướng dẫn giải Ta có: ( ) I f ax b dx = + ∫ Đặt: 1 t ax b dt adx dt dx a = +⇒ = ⇒ = . Khi đó: ( ) ( ) 11 I f t dt F t C aa = = + ∫ Suy ra: ( ) 1 I F ax b C a = ++ Chọn C Câu 33. Hàm số 10 ( ) (1 ) fx x x = − có nguyên hàm là: A. 12 11 ( 1) ( 1) () 12 11 xx Fx C −− = −+ . B. 12 11 ( 1) ( 1) () 12 11 x x Fx C −− = ++ . C. 11 10 ( 1) ( 1) 11 10 xx C −− ++ . D. 11 10 ( 1) ( 1) () 11 10 xx Fx C −− = −+ . Hướng dẫn giải Ta có: I ( ) 10 . 1 . x x dx = − ∫ . Đăt: 1 ,1 t x dt dx x t = − ⇒− = = − . Khi đó ( ) 10 11 10 12 11 11 1 . . ( ). 12 11 I t t dt t t dt t t c =− = − = −+ ∫∫ Suy ra ( ) ( ) 12 11 11 1 1 12 11 I x xC = − − −+ . Chọn A Câu 34. Tính 2 x (1 ) d x x + ∫ thu được kết quả là: A. ( ) 2 ln 1 xx C + + . B. 2 ln 1 x xC ++ . C. 2 ln 1 x C x + + . D. 2 2 1 .ln 21 x C x + + . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Ta có: 2 22 xx (1 ) (1 ) d xd x x x x = ++ ∫∫ . Đặt: 22 1 1 ., 1 2 t x dt x dx x t =+⇒ = =− . Khi đó: ( ) 2 2 11 1 1 1 . .ln ln . 2 . 1 2 2 1 t x I dt C I C t t t x − = = + ⇒= + −+ ∫ Chọn D Câu 35. Tính ( ) 3 1 x x dx + ∫ là : A. ( ) ( ) 54 11 5 4 xx C ++ ++ B. ( ) ( ) 54 11 54 xx C ++ −+ C. 54 2 3 3 54 2 xx x x C + +− + D. 54 2 3 3 54 2 xx x xC + −+ + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 3 1 I x x dx = + ∫ Đặt: 1 ,1 t x dt dx x t = + ⇒ = = − Khi đó: ( ) ( ) 54 3 43 1. . 54 tt I t t dt t t dt C  = − = − = −+   ∫∫ Suy ra: ( ) ( ) 54 11 54 xx IC ++ = −+ Chọn B Câu 36. Tìm nguyên hàm 2 15 ( 7) d xx x + ∫ A. ( ) 16 2 1 7 2 x C ++ . B. ( ) 16 2 1 7 32 x C − ++ . C. ( ) 16 2 1 7 16 x C ++ . D. ( ) 16 2 1 7 32 x C ++ . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt 2 1 7 d 2d d d 2 t x t x x x x t = +⇒ = ⇒ = Ta có ( ) 16 16 2 15 15 2 11 1 ( 7) d d . 7 2 2 16 32 t xx x t t C x C + = = += + + ∫ ∫ . Câu 37. Xét ( ) 5 34 4 3d I x x x = − ∫ . Bằng cách đặt: 4 4 3 ux = − , khẳng định nào sau đây đúng? A. 5 1 d 16 I uu = ∫ . B. 5 1 d 12 I uu = ∫ . C. 5 d I uu = ∫ . D. 5 1 d 4 I uu = ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A 4 33 1 4 3 d 16 d d d 16 u x u xx u xx = −⇒ = ⇒ = . 5 1 d 16 I uu ⇒= ∫ . Câu 38. Cho ( ) ( ) ( ) 6 8 7 2 32 d 32 32 x x x A x B x C − = − + − + ∫ với A , B ∈  và C ∈  . Giá trị của biểu thức 12 7 AB + bằng A. 23 252 . B. 241 252 . C. 52 9 . D. 7 9 . Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ Đặt 32 tx = − 2 3 t x + ⇒= 1 dd 3 tx ⇒ = . Ta có: 6 22 .d 33 t t t + ∫ ( ) 76 2 +2 d 9 t tt = ∫ 87 24 .. 98 9 7 tt C = + + ( ) ( ) 87 14 .3 2 .3 2 36 63 x xC = − + − + . Suy ra 1 36 A = , 4 63 B = , 1 47 12. 7. 36 63 9 += . Câu 39. Giả sử ( ) ( ) ( ) 2017 11 1d ab xx xx x C ab −− − = −+ ∫ với , ab là các số nguyên dương. Tính 2ab − bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . Hướng dẫn giải Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2018 2019 2017 2017 2017 2018 1 1 1 d 111 d 1 1 d 2018 2019 x x x xx x xx x x x C − − −=−+ −=− −− = − + + ∫∫ ∫ Vậy 2019, 2018 2 2020 a b ab = = ⇒ −= . Chọn D Câu 40. Nguyên hàm của 2 1 x dx x + ∫ là: A. ln tC + , với 2 1 tx = + . B. ln tC −+ , với 2 1 tx = + . C. 1 ln 2 tC + , với 2 1 tx = + . D. 1 ln 2 tC − + , với 2 1 tx = + . Hướng dẫn giải Đặt 2 12 t x dt xdx = + ⇒ = . 2 11 1 ... ln 1 22 x dx dt t C xt ⇒= ==+ + ∫∫ . Chọn C Câu 41. Tính ( ) 2 4 2 d 9 x x x + ∫ là: A. ( ) 5 2 1 59 C x − + + B. ( ) 3 2 1 39 C x − + + C. ( ) 5 2 4 9 C x − + + D. ( ) 3 2 1 9 C x −+ + Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 2 4 2 d 9 x Ix x = + ∫ Đặt: 2 9 2. t x dt x dx = +⇒ = Khi đó: I 4 43 1 . 3 dt t dt C t t − == = −+ ∫∫ Suy ra: ( ) 2 1 39 IC x = − + + Chọn B Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của ( ) ( ) 2017 2019 7 1 2 1 x K dx x − = + ∫ ? https://toanmath.com/ A. 2018 1 7 1 . 18162 2 1 x x −     +   . B. ( ) ( ) ( ) 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 x x x + +− + . C. ( ) ( ) ( ) 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 x x x − + +− + . D. ( ) ( ) ( ) 2018 2018 2018 18162 2 1 7 1 18162 2 1 xx x + −− + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 2017 2017 2019 2 7 1 7 1 1 . 2 1 2 1 2 1 x x K dx dx x xx − −   = =   +   ++ ∫∫ Đặt ( ) ( ) 2 2 7 1 9 1 2 1 9 2 1 98 1 x dt t dt dx dx x xx − = ⇒= ⇔ = + ++ 2018 2018 2017 1 1 7 1 . 9 18162 18162 2 1 tx K t dt C C x −   ⇒ = = += +   +   ∫ Chọn D Câu 43. Với phương pháp đổi biến số ( ) xt → , nguyên hàm 2 1 1 dx x + ∫ bằng: A. 2 1 2 tC + . B. 1 2 tC + . C. 2 tC + . D. tC + . Hướng dẫn giải Ta đặt: 2 1 tan , ; 2 2 cos x t t dx dt t ππ  = ∈− ⇒ =   . 2 1 ... 1 dx dt t C x ⇒= == + + ∫∫ . Chọn D Câu 44. Giả sử ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3d 1 1 2 31 xx C x x x x g x + = −+ + + ++ ∫ (C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình ( ) 0 gx = . A. 1 − . B. 1. C. 3 . D. 3 − . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 31 x x x x + + + += ( ) ( ) 22 3 3 2 1 xx xx + + ++ ( ) 2 2 3 1 xx  = ++  . Đặt 2 3 tx x = + , khi đó ( ) d 2 3d tx x = + . Tích phân ban đầu trở thành ( ) 2 d1 1 1 t C t t = −+ + + ∫ . Trở lại biến x , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3d 1 1 2 31 3 1 xx C x x x x x x + = −+ + + ++ + + ∫ . Vậy ( ) 2 31 gx x x = + + . ( ) 2 35 0 3 10 2 gx x x x −+ = ⇔ + += ⇔ = hoặc 35 2 x −− = . Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 − . https://toanmath.com/ HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 23 f x x = + A. ( ) 2 d 23 3 f x x x x C = ++ ∫ . B. ( ) ( ) 1 d 23 23 3 f x x x x C = + ++ ∫ . C. ( ) ( ) 2 d 23 23 3 f x x x x C = + ++ ∫ . D. ( ) d 23 f x x x C = ++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B Xét ( ) 2 3 d I xx = + ∫ . Đặt 23 xt += 2 23 tx ⇔= + 2 d 2d tt x ⇔= . 2 .d t d I t t t t = = ∫∫ 3 1 3 tC = + ( ) 3 1 23 3 xC = + + ( ) ( ) 1 d 23 23 3 f x x x x C ⇔ = + ++ ∫ . Câu 46. Hàm số ( ) F x nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số 3 1 y x = + ? A. ( ) ( ) 4 3 3 1 8 F x x C = ++ . B. ( ) ( ) 4 3 4 1 3 F x x C = + + . C. ( ) ( ) 3 3 11 4 F x x x C = + ++ . D. ( ) ( ) 3 4 3 1 4 F x x C = ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 3 1d I xx = + ∫ . Đặt: 3 1 tx = + 3 1 tx ⇒= + 2 3d d tt x ⇒= . 2 .3 d I tt t ⇒= ∫ 3 3d tt = ∫ 4 3 4 tC = + ( ) 4 3 3 1 4 xC = + + ( ) 3 3 11 4 x x C = + ++ . Vậy ( ) ( ) 3 3 11 4 F x x x C = + ++ 1 8 T. Câu 47. Tìm hàm số ( ) F x biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x x = và ( ) 11 F = . A. ( ) 2 3 F x x x = . B. ( ) 21 33 F x x x = + . C. ( ) 11 2 22 F x x = + . D. ( ) 25 33 F x x x = − . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: ( ) d F x x x = ∫ Đặt tx = suy ra 2 tx = và d 2d xt = . Khi đó 3 2 .2 d 3 I t tt t C = = + ∫ 2 3 I x x C ⇒= + . Vì ( ) 11 F = nên 1 3 C = .Vậy ( ) 21 33 F x x x = + . Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1 22 1 f x x = + . A. ( ) 1 d 2 1 2 f x x x C = ++ ∫ . B. ( )d 2 1 f x x x C = ++ ∫ . https://toanmath.com/ C. ( )d 22 1 f x x x C = ++ ∫ . D. ( ) ( ) 1 d 2 1 2 1 f x x C xx = + ++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 1 xt += 2 2 1 xt ⇒ += d dt x t ⇒=. Khi đó ta có 1 2 1d 2 xx + ∫ 1 dt 2 t t = ∫ = 1 dt 2 = ∫ 1 2 tC = + 1 2 1 2 x C = ++ . Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: 2 () 1 fx x x = + là: A. ( ) 3 2 1 () 1 3 Fx x = + B. ( ) 2 2 1 () 1 3 Fx x = + C. ( ) 2 2 2 () 1 2 x Fx x = + D. ( ) 2 2 1 () 1 2 Fx x = + Hướng dẫn giải Ta có: 2 1 I x x dx = + ∫ Đặt: 22 2 1 1 .. t x t x t dt x dx = + ⇒ =+ ⇒ = Khi đó: I 3 2 .. 3 t t t dt t dt C = = = + ∫∫ Suy ra: I ( ) 3 2 1 1 3 xC = ++ Chọn A Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số 2 () 2 1 fx x x = + là: A. ( ) 3 2 2 1 3 xC + + B. ( ) 3 2 21 xC − + + C. ( ) 3 2 1 xC + + D. ( ) 3 2 1 1 3 xC − + + Hướng dẫn giải Ta có: 2 21 I x x dx = + ∫ Đặt: 2 22 1 12 2 t x t x tdt xdx = + ⇒ = + ⇒ = . Khi đó: I 3 2 2 .2 . 2 . 3 t t t dt t dt C = = = + ∫∫ Suy ra: I ( ) 3 2 2 1 3 xC = + + . Chọn A Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số 2 () 2 1 fx x x = − là: A. ( ) 3 2 1 1 3 xC − + B. ( ) 3 2 1 xC −− + C. ( ) 3 2 2 1 xC − + D. ( ) 3 2 2 1 3 xC − − + Hướng dẫn giải Ta có: 2 21 I x x dx = − ∫ Đặt: 22 2 1 1 22 t x t x tdt xdx = − ⇒ = − ⇒− = . Khi đó: I ( ) 3 2 2 . 2 . 2. 3 t t t dt t dt K =− =− = −+ ∫∫ https://toanmath.com/ Suy ra: I ( ) 3 2 2 1 3 xC = − − + . Chọn D Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số 3 () 3 1 fx x x = − là: A. ( ) ( ) 75 33 1 1 31 31 21 15 x xC − + −+ . B. ( ) ( ) 64 33 11 31 31 18 12 x xC −+ − + . C. ( ) ( ) 3 3 3 1 31 31 9 x xC − + − + . D. ( ) ( ) 4 3 3 1 1 31 31 12 3 x xC − + − + . Hướng dẫn giải Ta có: 3 31 I x x dx = − ∫ . Đặt: 32 3 31 31 . t x t x t dt dx = − ⇒ = −⇒ = Khi đó: ( ) 3 75 2 64 1 1 1 .. . 3 3 37 5 t t t I t t dt t t dt C   + = = + = + +     ∫ ∫ Suy ra ( ) ( ) 75 33 11 1 31 31 37 5 I x x C  = −+ − +   . Chọn A Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số 3 () 2 1 2 fx x x = − là: A. ( ) ( ) 36 33 3 12 3 12 6 12 xx C −− −+ + B. ( ) ( ) 47 33 3 12 3 12 8 14 xx C −− −+ + C. ( ) ( ) 36 33 3 12 3 12 6 12 xx C −− −+ D. ( ) ( ) 47 33 3 12 3 12 8 14 x x C − − −+ Hướng dẫn giải Ta có: 3 2 12 I x xdx = − ∫ Đặt: 32 3 3 12 12 . 2 t x t x t dt dx = − ⇒ = − ⇒− = . Mặt khác: 3 21 xt = − Khi đó: I 47 3 2 36 33 3 (1 ) . (t ) 2 2 24 7 tt t t t dt t dt C  = − − = − − = − − +   ∫∫ Suy ra: I ( ) ( ) 47 3 3 12 12 3 24 7 x x C  − −  = − − +   . Chọn B Câu 54. Cho 32 5d I x x x = + ∫ , đặt 2 5 ux = + khi đó viết I theo u và du ta được A. 4 2 ( 5 )d . I u uu = − ∫ B. 2 d. I uu = ∫ C. 43 ( 5 )d . I u uu = − ∫ D. 43 ( 5 )d . I u uu = + ∫ Hướng dẫn giải. Chọn A Đặt 2 5 ux = + 22 5d d u x u u x x ⇒ = +⇒ = Khi đó: 32 5d I x x x = + ∫ ( ) 22 2 . . 5d 5 . . d x x x x u u u u = += − ∫∫ ( ) 4 2 5d u uu = − ∫ Câu 55. Cho 4 0 1 2d I x xx = + ∫ và 2 1 u x = + . Mệnh đề nào dưới đây sai? https://toanmath.com/ A. ( ) 3 22 1 1 1 d 2 I x x x = − ∫ . B. ( ) 3 22 1 1 d I uu u = − ∫ . C. 3 53 1 1 25 3 uu I  = −   . D. ( ) 3 22 1 1 1 d 2 I uu u = − ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B 4 0 1 2d I x xx = + ∫ Đặt 2 1 u x = + ( ) 2 1 1 2 xu ⇒= − dd x uu ⇒= , đổi cận: 0 1 xu = ⇒= , 43 xu = ⇒= . Khi đó ( ) 3 22 1 1 1d 2 I u uu = − ∫ . Câu 56. Khi tính nguyên hàm 3 d 1 x x x − + ∫ , bằng cách đặt 1 ux = + ta được nguyên hàm nào? A. ( ) 2 2 4d uu u − ∫ . B. ( ) 2 4d uu − ∫ . C. ( ) 2 2 4d uu − ∫ . D. ( ) 2 3d uu − ∫ . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 1 ux = + , 0 u ≥ nên 2 1 ux = + 2 d 2 d 1 x uu x u =  ⇒  = −  . Khi đó 3 d 1 x x x − + ∫ 2 13 .2 d u uu u − − = ∫ ( ) 2 2 4d uu = − ∫ . Câu 57. Cho ( ) 2 2 () 2 1 5 1 x fx x x = ++ + , biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x thỏa ( ) 06 F = . Tính 3 4 F    . A. 125 16 . B. 126 16 . C. 123 16 . D. 127 16 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 1d d t x t t x x = + ⇒ = . ( ) 2 2 ( )d 2 1 5 d 1 x fx x x x x = ++ + ∫ ∫ ( ) 2 2 5d 5 t t t tC = + = ++ ∫ ( ) 22 1 5 1 x xC = + + ++ . (0) 6 0 FC = ⇒= . Vậy 3 125 4 16 F  =   . Câu 58. Tính tích phân: 5 1 d 31 x I x x = + ∫ được kết quả ln 3 ln 5 Ia b = + . Tổng ab + là A. 2 . B. 3. C. 1 − . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D 5 1 31 dx I x x = + ∫ https://toanmath.com/ Đặt 31 ux = + 2 1 3 u x − → = 1 2 3 dx udu →= Đổi cận: 12 xu = → = 54 xu = → = Vậy ( ) ( ) ( ) 4 44 2 2 22 11 2 1 31 ln ln ln 2ln 3 ln 5 1 1 1 1 53 uu u I du du u uu u +− − − = = = = −= − − + − + ∫∫ Do đó 2; 1 ab = = − 1 ab → + = . Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2 1 x f x x = − là: A. ( ) 22 1 21 3 x xC + −+ B. ( ) 22 1 11 3 x xC − + −+ C. ( ) 22 1 11 3 x xC + −+ D. ( ) 22 1 21 3 x xC − + −+ Hướng dẫn giải Ta có : 3 2 1 x I dx x = − ∫ Đặt 22 2 11 t x t x tdt xdx = − ⇒ = − ⇒− = Khi đó: 23 2 (1 ) ( 1) 3 t t I tdt t dt t C t − =− = − = − + ∫∫ . Thay 2 1 tx = − ta được ( ) 23 2 22 (1 ) 1 1 21 33 x I xC x xC − = − −+ = − + −+ . Chọn D Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 () 1 x fx x = + là: A. 2 1 xC ++ B. 2 1 21 C x + + C. 2 21 xC ++ D. 2 41 xC ++ Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 1 x I dx x = + ∫ Đặt: 2 22 1 1 2. 2 . t x t x t dt x dx = + ⇒ = + ⇒ = . Khi đó: I 2. 2 t dt tC t = = + ∫ Suy ra: I 2 21 xC = ++ . Chọn C Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số 2 4 () 4 x fx x = − là: A. 2 24 xC − −+ . B. 2 44 xC −+ . C. 2 4 2 x C − − + . D. 2 44 xC − −+ . Hướng dẫn giải Ta có: 2 4 4 x I dx x = − ∫ . Đặt: 22 2 4 4 44 t x t x tdt xdx = − ⇒ = − ⇒− = . https://toanmath.com/ Khi đó: 2 4 4 44 tdt I tC I x C t − = = − + ⇒= = − − + ∫ . Chọn D Câu 62. Với phương pháp đổi biến số ( ) xt → , nguyên hàm 2 1 23 I dx x x = − + + ∫ bằng: A. sin tC + . B. tC −+ . C. costC − + . D. tC + . Hướng dẫn giải Ta biến đổi: ( ) 2 1 41 I dx x = − − ∫ . Đặt 1 2sin , , 2cos 22 x t t dx tdt ππ   − = ∈ − ⇒ =     . I dt t C ⇒= =+ ∫ . Chọn D Câu 63. Biết 1 7 Trằng1 7 T trên khoảng 3 ; 2  +∞   , hàm số ( ) 2 20 30 7 23 x x f x x −+ = − có một nguyên hàm ( ) ( ) 2 23 F x ax bx c x = ++ − ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S abc = ++ bằng A. 4 . B. 3. C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt 2 23 23 d d t x t x x tt = − ⇒ = −⇒ = Khi đó 2 20 30 7 d 23 x x x x −+ − ∫ 2 22 33 20 30 7 22 d tt tt t   ++ −+     = ∫ ( ) 42 5 15 7 d tt t = ++ ∫ 53 5 7 t t tC = + ++ ( ) ( ) 53 23 5 23 7 23 x x xC = − + − + −+ ( ) ( ) 2 23 23 5 23 23 7 23 x x x x xC = − −+ − −+ −+ ( ) 2 4 2 12 3 xx x C = − + −+ Vậy ( ) ( ) 2 4 2 12 3 F x x x x = −+ − . Suy ra 3 S abc = ++ = . Câu 64. 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ có dạng ( ) 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị , b a lần lượt bằng: A. 2; 1. B. 1; 1. C. , ab ∈ ∅ D. 1; 2 . Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: 33 22 1 1 3 1 1 3 11 22 x x dx x dx x dx xx    ++ + + ++ = ++ + +          ∫ ∫∫ . Để tìm ( ) 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ ta đặt 3 1 2 1 1 3 2 I x dx x  + = ++    ∫ và 2 1 I x dx = + ∫ và tìm 1 2 , I I . https://toanmath.com/ *Tìm 3 1 2 1 1 3 2 I x dx x  + = ++    ∫ . 34 11 2 1 13 1 1 13 2 4 2 I x dx x x C xx  ++ = + + = −+ +    ∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. *Tìm 2 1 I x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 1, 0 t xt = +≥ ta được 2 1, 2 t x tdt dx =+= . Suy ra ( ) 3 23 2 22 22 12 1 33 I x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ . ( ) 3 3 4 4 12 1 2 2 1 13 1 1 13 2 1 1 13 11 2 42 3 42 x x dx I I xx C x C xx x x x  ++ + + + + + = + = −+ + + + + = −+ +    ∫ Suy ra để 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ có dạng ( ) 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + thì 1, 2 . ab =∈ =∈  Vậy đáp án chính xác là đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. Ta thay giá trị của , ab ở các đáp án vào ( ) 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + . Sau đó, với mỗi , ab ở các đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của ( ) 3 2 22 1 1 ln 3 24 ab x x x xC + + − + . Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự , b a nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm 2 1 I x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 1, 0 t xt = +≥ ta được 2 1, t x tdt dx =+=. Suy ra ( ) 3 23 2 22 11 11 33 I x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ . ( ) 3 3 4 4 12 1 2 2 1 13 1 1 13 1 1 1 13 11 2 42 3 42 x x dx I I xx C x C xx x x x  ++ + + + + + = + = −+ + + + + = −+ +    ∫ Suy ra để 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ có dạng ( ) 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + thì 1 , 1. ab =∈ =∈   Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm 2 1 I x dx = + ∫ . 22 1 1 21 I x dx C x = + = + + ∫ . https://toanmath.com/ Suy ra 3 2 1 1 3 1 2 x x dx x  + + ++ +    ∫ không thể có dạng ( ) 3 4 11 3 1 4 23 ab x xx C x + −+ + + + , với , ab ∈  . Nên không tồn tại , ab thỏa yêu cầu bài toán. Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. Câu 65. Tìm ( ) 1 1 n n n dx T x + = + ∫ ? A. 1 1 1 n n TC x −  = ++   B. 1 1 1 n n TC x  = ++   C. ( ) 1 1 n n T x C − = + + D. ( ) 1 1 n n T x C = ++ . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 .1 1 n n n n nn n n n n n n n dx dx x T dx x dx x x x x x − − −− −− ++ + +  = = = = +    +  + +     ∫∫ ∫ ∫ Đặt: 1 1 1 1 n nn n t dt nx x x −− + = + ⇒ =− =− 1 11 1 11 1 n nn n T t dt t C C nx − − − −  ⇒ = − = + = + +   ∫ Chọn A Câu 66. Tìm 2 12 2 x R dx xx − = + ∫ ? A. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + = − + + − với 1 arctan 22 x t  =   . B. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + = − − + − với 1 arctan 22 x t  =   . C. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt R C t + =++ − với 1 arctan 22 x t  =   . D. tan 2 1 1 sin 2 ln 2 4 1 sin 2 tt RC t + =−+ − với 1 arctan 22 x t  =   . Hướng dẫn giải Đặt 2cos 2 xt = với 0; 2 t π   ∈     Ta có: 2 2 4sin 2 . 2 2 2sin 2 4sin sin 2 2 2cos 2 4cos cos dx t dt x t tt x t tt = −    −− = = =  ++  2 2 2 2 2 1 sin 2sin 1 cos 2 . .4sin 2 . 4cos 2 cos cos 2 cos 2 1 1 tan 2 1 1 sin 2 ln cos 2 cos 2 2 4 1 sin 2 t t t R t dt dt dt t t t t tt R dt dt C tt t − ⇒ = − = − = − + ⇔ = − + = − + + − ∫ ∫ ∫ ∫∫ https://toanmath.com/ Chọn A HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với cos , sin t xu x = = , nguyên hàm của ( ) tan cot I x x dx = + ∫ là: A. ln ln t uC −+ + . B. ln ln t uC − + . C. ln ln t uC ++ . D. ln ln t uC −− + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) sin cos tan cot cos sin xx x x dx dx dx xx + = + ∫ ∫∫ . Xét 1 sin cos x I dx x = ∫ . Đặt 11 1 cos sin ln t x dt xdx I dt t C t = ⇒ = − ⇒= − = − + ∫ . Xét 2 cos sin x I dx x = ∫ . Đặt 2 2 1 sin cos ln u x du xdx I du u C u = ⇒ = ⇒ = = + ∫ . 12 ln ln I I I t uC ⇒=+ = − + + Chọn A Câu 68. Biết4 6 T ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 sin .cos f x x x = và ( ) 0 F π = . Tính 2 F π    . A. 2 F π π  = −   . B. 2 F π π  =   . C. 1 24 F π π  = −+   . D. 1 24 F π π  = +   . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt sin tx = d cos d t x x ⇒= . ( ) ( ) d F x f x x = ∫ 3 sin cos d x x x = ∫ 3 d tt = ∫ 4 4 t C = + 4 sin 4 x C = + . ( ) 0 F π = 4 sin 4 C π π ⇒ += C π ⇔= ( ) 4 sin 4 x F x π ⇒= + . 4 sin 2 24 F π π  =   1 4 π = + . Câu 69. Tìm nguyên hàm 2 sin 2 d 1 sin x x x + ∫ . Kết quả là A. 2 1 sin 2 x C + + . B. 2 1 sin xC + + . C. 2 1 sin xC −+ + . D. 2 2 1 sin xC + + . Hướng dẫn giải. Chọn D Đặt 2 1 sin tx = + 22 1 sin 2 d sin 2 d t x t t x x ⇒ =+ ⇒ = ⇒ 2 sin 2 2 dd 1 sin xt x t t x = + ∫ ∫ 2 2d 2 2 1 sin t tC x C = = += + + ∫ Câu 70. Nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 3 sin 2 .cos 2 f x x x = thỏa 0 4 F π  =   là https://toanmath.com/ A. ( ) 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −+ . B. ( ) 35 11 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = +− . C. ( ) 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −− . D. ( ) 35 11 4 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = +− . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt sin 2 tx = d 2.cos 2 d t x x ⇒= 1 d cos 2 d 2 t x x ⇒= . Ta có: ( ) 2 3 sin 2 .cos 2 d F x x x x = ∫ ( ) 22 1 .1 d 2 t tt = − ∫ ( ) 24 1 d 2 tt t = − ∫ 35 11 6 10 t tC = −+ 35 1 1 sin 2 sin 2 6 10 x xC = −+ . 0 4 F π  =   35 11 sin sin 0 6 2 10 2 C ππ ⇔ − += 1 15 C ⇔= − . Vậy ( ) 35 1 1 1 sin 2 sin 2 6 10 15 F x x x = −− . Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 5 tan f x x = . A. ( ) 42 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = − ++ ∫ . B. ( ) 4 2 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = + −+ ∫ . C. ( ) 4 2 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = + ++ ∫ . D. ( ) 42 11 d tan tan ln cos 42 f x x x x x C = − −+ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn D ( ) 5 5 5 sin d tan d d cos x I f x x x x x x = = = ∫ ∫∫ ( ) ( ) 22 22 55 1 os . 1 os .sinx sin .sin .sinx dd cos cos cx cx x xx xx −− = = ∫∫ Đặt cos d sin d t x t x x = ⇒= − ( ) ( ) ( ) ( ) 22 24 5 5 1 .1 12 dd t t tt I tt tt − − −+ = −= − ∫∫ 5 3 1 21 dt t tt  = −+ − =   ∫ 5 3 42 1 1 2 d ln 4 t t t t t tC t − − − −  −+ − = − − +   ∫ 42 42 1 11 1 cos cos ln cos . ln cos 4 4 cos cos x x xC xC x x −− = − −+= − − + ( ) ( ) 2 22 1 . tan 1 tan 1 ln cos 4 x x xC = + − + − + ( ) ( ) 42 2 1 tan 2 tan 1 tan 1 ln cos 4 x x x x C = + + − + − + 42 11 1 tan tan ln cos 42 4 x x x C = − − ++ 42 11 tan tan ln cos 42 x x x C = −− + . https://toanmath.com/ Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số ( ) xt → , nguyên hàm của 3 2sin 2cos 1 sin 2 x x I dx x + = − ∫ là: A. 3 2 tC + . B. 3 6 tC + . C. 3 3 tC + . D. 3 12 tC + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 3 2 3 2 sin cos 2sin 2cos 1 sin 2 sin cos x x x x I dx dx x xx + + = = − − ∫∫ . Đặt ( ) sin cos sin cos t x x dt x x dx = − ⇒= + . 1 3 3 3 2 21 2. 6 2 1 3 I dt t C t C t ⇒= = + = +   +−     ∫ . Chọn B HÀM MŨ –LÔGARIT Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 21 x f x xe + = A. 5 3 42 1 1 2 d ln 4 t t t t t tC t − − − −  −+ − = − − +   ∫ . B. ( ) 3 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . C. ( ) 3 1 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . D. ( ) 3 3 1 d 3 x x f x x e C + = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 32 1 d 3 d t x t xx = + ⇒ = Do đó, ta có ( ) 33 21 1 11 1 d d .d 33 3 x t t x f x x xe x e t e C e C ++ = = = += + ∫∫ ∫ . Vậy ( ) 3 1 1 d 3 x f x x e C + = + ∫ . Câu 74. Tìm nguyên hàm d 1 x x I e = + ∫ . A. ln 1 x Ix e C =− −+ . B. ln 1 x Ix e C =+ ++ . C. ln 1 x I x eC =−− + + . D. ln 1 x Ix e C =− ++ . Hướng dẫn giải Chọn D ( ) dd 1 1 x x xx x ex I e e e = = + + ∫∫ . Đặt xx t e dt e dx = ⇒= ( ) d 11 ln ln 1 ln ln 1 ln 1 (1 ) 1 1 x xx x xx e x dt I t t C e eC x eC t t tt e e   = = = − = − ++ = − ++ = − ++   ++ +   ∫ ∫∫ Câu 75. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2e 3 x f x = + thỏa mãn ( ) 0 10 F = . Tìm ( ) F x . A. ( ) ( ) ( ) 1 ln 5 ln 2e 3 10 33 x F x x = − + ++ . B. ( ) ( ) ( ) 1 10 ln 2e 3 3 x F x x = +− + . https://toanmath.com/ C. ( ) 13 ln e 10 ln 5 ln 2 3 2 x F x x    = − + ++ −       . D. ( ) 1 3 ln 5 ln 2 ln e 10 3 2 3 x F x x   −  = − + +−       . Hướng dẫn giải Chọn A ( ) ( ) ( ) 1e dd d 2e 3 2e 3 e x x xx F x f x x x x = = = + + ∫∫ ∫ . Đặt e d ed xx t tx = ⇒= . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1e 1 d ln ln ln 2e 3 2 3 3 2 3 3 2e 3 3 x x x t F x t C C x C t t t  = = += += − + +  ++ +  ∫ . Vì ( ) 0 10 F = nên ( ) 1 ln 5 10 0 ln 5 10 33 CC = − +⇔ = + . Vậy ( ) ( ) ( ) 1 ln 5 ln 2e 3 10 33 x F x x = − + ++ . Câu 76. Với phương pháp đổi biến số ( ) xt → , nguyên hàm ln 2x dx x ∫ bằng: A. 2 1 2 tC + . B. 2 tC + . C. 2 2tC + . D. 2 4tC + . Hướng dẫn giải Đặt 11 ln 2 2. 2 t x dt dx dt dx xx = ⇒= ⇒= . 2 ln 2 1 ... 2 x dx tdt t C x ⇒===+ ∫∫ . Chọn A Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số ( ) sin cos 2 .2 cos sin xx y xx = − ? A. sin cos 2 xx yC + = + . B. sin cos 2 .2 ln 2 xx y = . C. sin cos ln 2.2 xx y + = . D. sin cos 2 ln 2 xx yC + = −+ . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: ( ) sin cos 2 .2 cos sin d xx I x xx = − ∫ ( ) sin cos 2 cos sin d xx x xx + = − ∫ . Đặt: sin cos t x x = + ( ) d cos sin d t x xx ⇒= − . 2 2d ln 2 t t It C ⇒= = + ∫ sin cos 2 ln 2 xx C + = + sin cos 2 .2 ln 2 xx C = + . Vậy hàm số đã cho có 1 nguyên hàm là hàm số: sin cos 2 .2 ln 2 xx y = . Câu 78. Cho hàm số ln 2 () 2 x fx x = . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số () fx ? A. () 2 x Fx C = + . B. ( ) ( ) 22 1 x Fx C = −+ . C. ( ) ( ) 22 1 x Fx C = + + . D. 1 () 2 x Fx C + = + . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Chọn A Cách 1: Đặt 1 2 t x dt dx x = ⇒= . 2 ln 2 ( ) ( ) 2 2.ln 2 2.2 2.2 x t t x F x f x dx dx dt C C x = = = = += + ∫∫ ∫ nên A sai. Ngoài ra: + D đúng vì ( ) 2.2 x Fx C = + . + B đúng vì ( ) 2.2 2 2.2 x x Fx C C ′ = −+ = + . + C đúng vì ( ) 2.2 2 2.2 x x Fx C C ′ = ++ = + . Cách 2: Ta thấy B, C, D chỉ khác nhau một hằng số nên theo định nghĩa nguyên hàm thì chúng phải là nguyên hàm của cùng một hàm số. Chỉ còn mình A “ lẻ loi” nên chắc chắn sai thì A sai thôi. Cách 3: Lấy các phương án A, B, C, D đạo hàm cũng tìm được A sai. Câu 79. Nguyên hàm của ( ) 1 ln .ln x f x xx + = là A. 1 ln d ln ln .ln x x xC xx + = + ∫ . B. 2 1 ln d ln .ln .ln x x x xC xx + = + ∫ . C. 1 ln d ln ln .ln x x x xC xx + = ++ ∫ . D. 1 ln d ln .ln .ln x x x xC xx + = + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ( ) 1 ln dd .ln x I f x x x xx + = = ∫∫ . Đặt ln x x t = ( ) ln 1 d d x xt ⇒ += . Khi đó ta có 1 ln d .ln x Ix xx + = ∫ 1 dt t = ∫ ln tC = + ln .ln x xC = + Câu 80. ( ) ( ) 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng ( ) 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị , ab lần lượt bằng: A. 3; 1. B. 1; 3. C. 3; 2 . D. 6; 1. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm ( ) ( ) ( ) 21 1 cos 2 x x e x dx + ++ ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 4 73 1 5 4 73 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 xx x x xx x x e e x dx x e x dx x e dx x dx − + + − + −+ −   + ⋅+ = + + = + +     ∫ ∫ ∫∫ . Để tìm ( ) ( ) 2 54 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ −   + ⋅+     ∫ ta đặt ( ) ( ) 2 1 1 1 x I x e dx + = + ∫ và 2 cos 2 I x dx = ∫ và tìm 1 2 , I I . *Tìm ( ) ( ) 2 1 1 1 x I x e dx + = + ∫ . Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ; 21 1 21 t x dt x x dx x dx ′ = + = + + = + . ( ) ( ) ( ) 22 1 1 1 11 11 1 1 22 2 x x tt I x e dx e dt e C e C + + = + = = += + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. https://toanmath.com/ *Tìm 2 cos 2 I x dx = ∫ . 22 1 cos 2 sin 2 2 I x dx x C = = + ∫ . ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 11 5 4 73 12 1 2 1 1 11 1 cos 2 sin 2 sin 2 . 2 2 22 xx xx x x e e x dx I I e C xC e xC ++ −+ − + ⋅ + =+= +++= ++ ∫ Suy ra để ( ) ( ) 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng ( ) 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ thì 3 , 1. ab =∈ =∈   Chọn A Cách 2: Sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách thay lần lượt các giá trị , ab ở các đáp án vào ( ) 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ và lấy đạo hàm của chúng. Sai lầm thường gặp B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ không để ý đến thứ tự sắp xếp , b a nên khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: Tìm 2 cos 2 I x dx = ∫ . 2 2 cos 2 sin 2 I x dx x C = = + ∫ . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 5 4 73 12 1 2 11 1 cos 2 sin 2 sin 2 . 22 xx xx x x e e x dx I I e C xC e xC ++ −+ − + ⋅ + = += ++ + = + + ∫ Suy ra để ( ) ( ) 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng ( ) 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ thì 3, 2. ab =∈ =∈  D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: Tìm ( ) ( ) 2 1 1 1 x I x e dx + = + ∫ . Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1; 1 1 1 t x dt x x dx x dx ′ =+ =+ + =+ . ( ) ( ) ( ) 22 11 1 11 1 x x tt I x e dx e dt e C e C + + = + = = += + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. Học sinh tìm đúng 2 2 1 sin 2 2 I xC = + nên ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 5 4 73 12 1 2 11 1 cos 2 sin 2 sin 2 . 22 xx xx x x e e x dx I I e C xC e xC ++ −+ − + ⋅ + =+=+++=++ ∫ Suy ra để ( ) ( ) 2 5 4 73 1 cos 2 xx x x e e x dx −+ − + ⋅+ ∫ có dạng ( ) 2 1 sin 2 62 x a b e xC + ++ thì 6 , 1. ab =∈ =∈   Câu 81. Tìm ( ) ( ) 32 1 1 . 11 x x ex x I dx x ex −+ − = − −+ ∫ ? A. ( ) ln . 1 1 x Ix e x C = + −+ + . B. ( ) ln . 1 1 x Ix e x C = − −+ + . C. ( ) ln . 1 1 x I ex C = −+ + . D. ( ) ln . 1 1 x I ex C = −− + . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 11 2 1 3 2 1 21 1 . 11 1 . 11 1 . 11 xx xx x x x x ex e x ex x e x I dx dx dx dx x ex x ex x ex − −+ + − −+ − − = = = + − −+ − −+ − −+ ∫ ∫ ∫∫ Đặt: ( ) 21 . 11 1 21 21 x x xx ex e t e x dt e x dx dx x x −  = − + ⇒ = + − =  − −  Vậy ( ) ( ) ( ) 21 1 ln ln . 1 1 1 11 x x x ex I dx dx x dt x t C x e x C t x e x − ⇒ = + = + = + + = + −+ + − −+ ∫∫ ∫ Chọn A Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 ln 1 2017 ln . x x xx f x ex e + ++ =  +   ? A. ( ) ( ) 2 2 ln 1 1008ln ln 1 1 xx  + + + +  . B. ( ) ( ) 22 ln 1 2016ln ln 1 1 xx  + + + +  . C. ( ) ( ) 22 1 ln 1 2016ln ln 1 1 2 xx  + + + +  . D. ( ) ( ) 2 2 1 ln 1 1008ln ln 1 1 2 xx  + + + +  . Hướng dẫn giải Đặt ( ) ( ) 2 2 1 2 ln 1 2017 ln . x x xx I dx ex e + ++ =  +   ∫ +Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 22 1 2 ln 1 2017 ln 1 2017 ln 1 2017 1 ln 1 lne 1 ln 1 1 ln . x x x x x x xx x I dx dx dx x x x x ex e +   ++ + + ++   = = =      + ++ + ++ +      ∫∫ ∫ + Đặt: ( ) 2 2 2 ln 1 1 1 x t x dt dx x = + + ⇒ = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2016 1 2016 1 1 1008ln C 22 2 11 1 ln 1 1008ln ln 1 1 ln 1 1008ln ln 1 1 22 2 t I dt dt t t tt I x x C x x C +  ⇒= = + = + +     ⇔ = + + + + + + = + + + + +   ∫ ∫ Chọn D Câu 83. Tìm ( ) ( ) 22 2 2 2 1 2ln . ln ln x xx x G dx x x x ++ + = + ∫ ? A. 11 ln GC x x x − =−+ + . B. 11 ln GC xx x =−+ + . C. 11 ln GC xx x =−+ + . D. 11 ln GC x x x =++ + . Hướng dẫn giải Ta có: https://toanmath.com/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 22 2 22 22 2 22 2 2 2 ln ln 2 1 2ln . ln ln 1 ln ln ln 11 1 1 1 1 ln ln ln x x x x xx x x x x x x x x G dx dx dx xx x xx x x x x xx x G dx dx J J dx x x x x x x x x x x x x  + + ++ ++ + + + +  = = = ++ +     + +− + ⇔ = + = −+ = + =         ++ +     ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Xét nguyên hàm: ( ) 2 1 ln x J dx x x x + = + ∫ + Đặt: 11 ln 1 x t x x dt x x + =+ ⇒ =+= 2 11 1 ln J dt C C t t xx −− ⇒ = = + = + + ∫ Do đó: 1 11 ln GJ C x x x x −− = += − + + Chọn A Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của ( ) ( ) 1 1 ln .ln . ln n nn x hx x xx x − − = + ? A. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − + + . B. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn + + + . C. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − + + + . D. 11 ln ln ln 2016 nn x xx nn − − + − . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 22 11 1 ln 1 ln 1 1 ln 1 .. ln ln .ln . ln .ln . ln 1 n n nn n nn n xx x L dx dx dx x x x x x xx x x xx x x x − −− −− − = = =  + + +   ∫ ∫ ∫ Đặt: 2 ln 1 ln xx t dt dx xx − = ⇒= ( ) ( ) 1 1 1 n n nn dt t dt L tt t t − ⇒= = + + ∫ ∫ + Đặt 1 1. nn u t du n t dt − = + ⇒ = ( ) 1 1 11 1 1 1 . ln 1 ln .ln 11 ln 1 1 1 ln .ln .ln .ln ln 1 ln 1 n nn n n n nn n du u L du u u C C n uu n u u n n u x tx x L C C C x n t n n xx x −  ⇒ = = − =  − − + = +   −−  ⇔ = += += + ++ + ∫∫ Chọn A https://toanmath.com/ PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ ] ; ab và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] ; ab . Khi đó: d d. u v uv v u = − ∫∫ ( ) * Để tính nguyên hàm ( ) d f x x ∫ bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn , uv sao cho ( ) d d f x x uv = (chú ý ( ) d 'd v vx x = ). Sau đó tính d vv = ∫ và d '.d uu x = . Bước 2. Thay vào công thức ( ) * và tính d v u ∫ . Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân d v u ∫ dễ tính hơn d uv ∫ . Ta thường gặp các dạng sau ● Dạng 1. ( ) sin d cos x I P x x x   =     ∫ , trong đó ( ) P x là đa thức. u Với dạng này, ta đặt ( ) sin dd cos u P x x vx x =      =       . ● Dạng 2. ( ) d ax b I P xe x + = ∫ , trong đó ( ) P x là đa thức. Với dạng này, ta đặt ( ) dd ax b u P x ve x + =   =   . ● Dạng 3. ( ) ( ) ln d I P x mx n x = + ∫ , trong đó ( ) P x là đa thức. Với dạng này, ta đặt ( ) ( ) ln dd u mx n v P x x = +    =   . ● Dạng 4. sin d cos x x I ex x   =     ∫ . Với dạng này, ta đặt sin cos dd x x u x v ex    =        =  . BÀI TẬP DẠNG 1. Câu 1. Tìm sin 2 x xdx ∫ ta thu được kết quả nào sau đây? A. sin cos x x xC + + B. 11 sin 2 cos 2 42 x x xC −+ C. sin cos xx x + D. 11 sin 2 cos 2 42 xx x − Câu 2. Nguyên hàm của hàm số ( ) sin f x x x = là: A. ( ) cos sin F x x x x C = − −+ . B. ( ) cos sin F x x x x C = −+ . https://toanmath.com/ C. ( ) cos sin F x x x x C = − ++ . D. ( ) cos sin F x x x x C = ++ . Câu 3. Biết cos 2 d sin 2 cos 2 x x x ax xb xC = + + ∫ với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 8 ab = . B. 1 4 ab = . C. 1 8 ab = − . D. 1 4 ab = − . Câu 4. Cho biết ( ) 3 11 2 3 F x x x x = +− là một nguyên hàm của ( ) ( ) 2 2 2 xa f x x + = . Tìm nguyên hàm của ( ) cos g x x ax = . A. sin cos x x xC −+ . B. 11 sin 2 cos 2 24 x x xC −+ . C. sin cos x x xC + + . D. 11 sin 2 cos 2 24 x x xC ++ . Câu 5. Nguyên hàm của 2 sin I x xdx = ∫ là: A. ( ) 2 1 2 sin 2 cos 2 8 x x x x C − −+ . B. ( ) 2 11 cos 2 sin 2 84 x x x x C ++ + . C. 2 11 cos 2 sin 2 42 x xx x C  −− +   . D. Đáp án A và C đúng. Câu 6. Tìm nguyên hàm ( ) 1 sin 2 d I x x x = − ∫ A. ( ) 1 2 cos 2 sin 2 2 xx x IC − + = + . B. ( ) 2 2 cos 2 sin 2 2 xx x IC − + = + . C. ( ) 1 2 cos 2 sin 2 4 xx x IC − + = + . D. ( ) 2 2 cos 2 sin 2 4 xx x IC − + = + . Câu 7. Tìm nguyên hàm sin d xx ∫ A. 1 sin d cos 2 xx x C x = + ∫ . B. sin d cos xx x C = −+ ∫ . C. sin d cos xx x C = + ∫ . D. sin d 2 cos 2sin xx x x x C = − ++ ∫ . Câu 8. Nguyên hàm của 2 sin cos I x x xdx = ∫ là: A. 33 1 1 cos , sin 3 I x x t t C t x =− +− + = . B. 33 1 2 cos , sin 3 I x x t t C t x =− +− + = . C. 33 1 1 cos , sin 3 I x x t t C t x = +− + = . D. 33 1 2 cos , sin 3 I x x t t C t x = +− + = . Câu 9. Một nguyên hàm của ( ) 2 cos x f x x = là : A. tan ln cos x xx − B. ( ) tan ln cos x xx + C. tan ln cos x xx + D. tan ln sin xx x − Câu 10. Một nguyên hàm của ( ) 2 sin x f x x = là : A. cot ln sinx xx − B. ( ) cot ln sin xx x −+ C. tan ln cos x xx −+ D. tan ln sin xx x − https://toanmath.com/ Câu 11. Cho ( ) 2 cos x f x x = trên ; 22 ππ  −   và ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) xf x ′ thỏa mãn ( ) 00 F = . Biết ; 22 a ππ  ∈−   thỏa mãn tan 3 a = . Tính ( ) 2 10 3 Fa a a −+ . A. 1 ln10 2 − . B. 1 ln10 4 − . C. 1 ln10 2 . D. ln10. DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của ( ) 1 x e x dx + ∫ là: A. x x I e xe C =++ . B. 1 2 xx I e xe C =++ . C. 1 2 x x I e xe C = ++ . D. 2 x x I e xe C = ++ . Câu 13. Biết ( ) 2 2 2 d , . x x x xe x axe be C a b = ++ ∈ ∫  Tính tích ab . A. 1 4 ab = − . B. 1 4 ab = . C. 1 8 ab = − . D. 1 8 ab = . Câu 14. Cho biết 2 e d x xx ∫ ( ) 2 1 e 4 x ax b C = ++ , trong đó , ab ∈  và C là hằng số bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là đúng. A. 20 ab += . B. ba > . C. ab . D. 20 ab + =. Câu 15. Biết ( ) ( ) x F x ax b e = + là nguyên hàm của hàm số ( ) 23 x y xe = + .Khi đó ab + là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Câu 16. Biết ( ) ( ) 22 1 3. d 2 x x x e x e x n C m − − + = − ++ ∫ , với , mn ∈  . Tính 22 Sm n = + . A. 10 S = . B. 5 S = . C. 65 S = . D. 41 S = . Câu 17. Tìm nguyên hàm ( ) 21 d x I x ex − = − ∫ . A. ( ) 2 1 x I x e C − = −+ + . B. ( ) 21 x I x e C − = −− + . C. ( ) 23 x I x e C − = −+ + . D. ( ) 23 x I x e C − = −− + . Câu 18. Cho () Fx là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 5 1e x f x x = + và ( ) 03 F = . Tính ( ) 1 F . A. ( ) 1 11e 3 F = − . B. ( ) 1 e 3 F = + . C. ( ) 1 e7 F = + . D. ( ) 1 e2 F = + . Câu 19. Cho hàm số ( ) ( ) 23 x f x x e = − . Nếu ( ) ( ) x F x mx n e = + ( ) , mn ∈  là một nguyên hàm của ( ) f x thì hiệu mn − bằng A. 7. B. 3. C. 1. D. 5. Câu 20. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 e x f x = và ( ) 02 F = . Hãy tính ( ) 1 F − . A. 15 6 e − . B. 10 4 e − . C. 15 4 e − . D. 10 e . DẠNG 3. Câu 21. Kết quả của ln xdx ∫ là: A. ln x x xC ++ B. Đáp án khác C. ln x xC + D. ln x x xC −+ Câu 22. Nguyên hàm của ln I x xdx = ∫ bằng với: https://toanmath.com/ A. 2 ln 2 x x xdx C −+ ∫ . B. 2 1 ln 22 x x xdx C − + ∫ . C. 2 1 ln 2 x x xdx C − + ∫ . D. 2 ln x x xdx C −+ ∫ . Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) ln 2 f x x x = + . A. ( ) ( ) 22 4 d ln 2 24 x x x f x x x C + = + − + ∫ . B. ( ) ( ) 22 44 d ln 2 24 x xx f x x x C −− = + − + ∫ . C. ( ) ( ) 22 4 d ln 2 22 x x x f x x x C + = + − + ∫ . D. ( ) ( ) 22 44 d ln 2 2 2 x x x f x x x C −+ = + − + ∫ . Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của ( ) ( ) 2 ln 1 x gx x = + ? A. ln 2 ln 2 ln 1999 11 xx x xx −− + + ++ . B. ln ln 1998 1 1 xx x x − −+ + + . C. ln ln 2016 11 x x x x −+ + + . D. ln ln 2017 11 xx xx + + ++ . Câu 25. Họ nguyên hàm của ( ) 2 ln cos sin x I dx x = ∫ là: A. ( ) cot .ln cos x x xC ++ . B. ( ) cot .ln cos x x xC − −+ . C. ( ) cot .ln cos x x xC −+ . D. ( ) cot .ln cos x x xC − ++ . Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln f x x x = . A. ( ) ( ) 3 2 1 d 3ln 2 9 f x x x x C = −+ ∫ . B. ( ) ( ) 3 2 2 d 3ln 2 3 f x x x x C = −+ ∫ . C. ( ) ( ) 3 2 2 d 3ln 1 9 f x x x x C = − + ∫ . D. ( ) ( ) 3 2 2 d 3ln 2 9 f x x x x C = −+ ∫ . Câu 27. Giả sử ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) ( ) 2 ln 3 x f x x + = sao cho ( ) ( ) 2 10 FF −+ = . Giá trị của ( ) ( ) 12 FF −+ bằng A. 10 5 ln 2 ln 5 36 − . B. 0 . C. 7 ln 2 3 . D. 23 ln 2 ln 5 36 + . Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 2 4 ln 4 x f x x x  − =  +  ? A. 2 42 2 4 ln 2 4 x xx x  − −  +  . B. 42 2 2 16 4 ln 2 4 4 xx x x     −− −     +     . C. 2 42 2 4 ln 2 4 x x x x  − +  +  . D. 42 2 2 16 4 ln 2 4 4 xx x x     −− +     +     . Câu 29. Tìm ( ) 2 2 sin cos x dx H xx x = + ∫ ? https://toanmath.com/ A. ( ) tan cos sin cos x H xC x x x x = + + + . B. ( ) tan cos sin cos x H xC x x x x = −+ + . C. ( ) tan cos sin cos x H xC x x x x − = + + + . D. ( ) tan cos sin cos x H xC x x x x − = −+ + . Câu 30. ( ) 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng ( ) 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Câu 31. Cho 2 1 () 2 Fx x = là một nguyên hàm của hàm số () fx x . Tính e 1 ( )ln d f x xx ′ ∫ bằng: A. 2 2 e 3 2e I − = . B. 2 2 2e e I − = . C. 2 2 e2 e I − = . D. 2 2 3e 2e I − = . Câu 32. Cho ( ) ( ) ln a F x x b x = + là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 ln x f x x + = , trong đó a , b ∈  . Tính S ab = + . A. 2 S = − . B. 1 S = . C. 2 S = . D. 0 S = . Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số ( ) ( ) 3 e 1 x a f x bx x = + + với mọi x khác 1 − . Biết ( ) 0 22 f ′ = − và ( ) 1 0 d 5 f x x = ∫ . Tính ab + ? A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10. Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 1 e ln x f x ax x   = +     thỏa mãn 1 0 F a   =     và ( ) 2018 2018 e F = . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 ;1 2018 a  ∈   . B. 1 0; 2018 a  ∈    . C. [ ) 1;2018 a ∈ . D. [ ) 2018; a ∈ +∞ . DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − ∫∫ . B. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − + ∫∫ . C. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = + ∫∫ . D. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − − ∫∫ Câu 36. Tìm .sinx x J e dx = ∫ ? A. ( ) cos sin 2 x e J x xC = −+ . B. ( ) sin cos 2 x e J x xC = ++ . C. ( ) sin cos 2 x e J x xC = −+ . D. ( ) sin cos 1 2 x e J x x C = + ++ . https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1. Câu 1. Tìm sin 2 x xdx ∫ ta thu được kết quả nào sau đây? A. sin cos x x xC + + B. 11 sin 2 cos 2 42 x x xC −+ C. sin cos xx x + D. 11 sin 2 cos 2 42 xx x − Hướng dẫn giải Ta có: sin 2 I x xdx = ∫ Đặt: 1 sin 2 cos 2 2 du dx ux dv xdx vx =  =   ⇒  = = −    Khi đó: 11 11 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 22 24 I uv vdu x x xdx x x x C = − = −+ = −+ + ∫∫ Chọn B Câu 2. Nguyên hàm của hàm số ( ) sin f x x x = là: A. ( ) cos sin F x x x x C = − −+ . B. ( ) cos sin F x x x x C = −+ . C. ( ) cos sin F x x x x C = − ++ . D. ( ) cos sin F x x x x C = ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: ( ) d sin d I f x x x xx = = ∫∫ . Đặt d sin d ux v xx =   =  Ta có dd cos ux vx =   = −  . ( ) d sin d cos cos d cos sin I f x x x x xxx x xxx x C = = = −+ = −+ + ∫∫ ∫ . Câu 3. Biết cos 2 d sin 2 cos 2 x x x ax xb xC = + + ∫ với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 8 ab = . B. 1 4 ab = . C. 1 8 ab = − . D. 1 4 ab = − . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt dd 1 d cos 2 d sin 2 2 ux ux v x x vx =  =   ⇒  = =    Khi đó 11 cos 2 d sin 2 sin 2 d 22 x x x x x x x = − ∫∫ 11 sin 2 cos 2 24 x x xC = ++ 1 2 a ⇒=, 1 4 b = . Vậy 1 8 ab = . Câu 4. Cho biết ( ) 3 11 2 3 F x x x x = +− là một nguyên hàm của ( ) ( ) 2 2 2 xa f x x + = . Tìm nguyên hàm của ( ) cos g x x ax = . https://toanmath.com/ A. sin cos x x xC −+ . B. 11 sin 2 cos 2 24 x x xC −+ . C. sin cos x x xC + + . D. 11 sin 2 cos 2 24 x x xC ++ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( ) ( ) 2 2 2 22 1 2 xa Fx x xx + ′ = ++ = . Suy ra 1 a = . Khi đó ( ) d cos d dsin .sin sin d .sin cos g x x x x x x x x x x x x x x C = = = − = + + ∫∫ ∫ ∫ . Câu 5. Nguyên hàm của 2 sin I x xdx = ∫ là: A. ( ) 2 1 2 sin 2 cos 2 8 x x x x C − −+ . B. ( ) 2 11 cos 2 sin 2 84 x x x x C ++ + . C. 2 11 cos 2 sin 2 42 x xx x C  −− +   . D. Đáp án A và C đúng. Hướng dẫn giải Ta biến đổi: 1 22 1 1 cos 2 1 1 1 1 sin cos 2 cos 2 2 2 2 42 I x I x xdx x dx xdx x xdx x x xdx C − == =− =−+   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫   1 cos 2 I x xdx = ∫ . Đặt 1 cos 2 sin 2 2 du dx ux dv x vx =  =   ⇒  = =    . 1 11 1 1 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 22 2 4 I x xdx x x xdx x x x C ⇒= = − = + + ∫∫ . ( ) ( ) 22 2 11 1 cos 2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 42 8 11 cos 2 sin 2 84 I x x xx C x xx x C x x x x C  ⇒= − − + = − − +   = − ++ + . Chọn C Câu 6. Tìm nguyên hàm ( ) 1 sin 2 d I x x x = − ∫ A. ( ) 1 2 cos 2 sin 2 2 xx x IC − + = + . B. ( ) 2 2 cos 2 sin 2 2 xx x IC − + = + . C. ( ) 1 2 cos 2 sin 2 4 xx x IC − + = + . D. ( ) 2 2 cos 2 sin 2 4 xx x IC − + = + . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt dd 1 1 d sin 2 d cos 2 2 ux ux v x x vx =  = −   ⇒  = = −    Khi đó ( ) ( ) ( ) 11 11 1 sin 2 d 1 cos 2 cos 2 d 1 cos 2 sin 2 22 24 I x x x x x x x x x x C =− = − − + = − − + + ∫∫ Câu 7. Tìm nguyên hàm sin d xx ∫ https://toanmath.com/ A. 1 sin d cos 2 xx x C x = + ∫ . B. sin d cos xx x C = −+ ∫ . C. sin d cos xx x C = + ∫ . D. sin d 2 cos 2sin xx x x x C = − ++ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt tx = , ta có sin d 2 sin d x x t tt = ∫∫ Đặt 2 d sin d ut v tt =   =  ta có d 2d cos ut vt =   = −  2 sin d 2 cos 2cos d 2 cos 2sin 2 cos 2sin t tt t t tt t t t C x x x C = − + = − + += − + + ∫∫ Câu 8. Nguyên hàm của 2 sin cos I x x xdx = ∫ là: A. 33 1 1 cos , sin 3 I x x t t C t x =− +− + = . B. 33 1 2 cos , sin 3 I x x t t C t x =− +− + = . C. 33 1 1 cos , sin 3 I x x t t C t x = +− + = . D. 33 1 2 cos , sin 3 I x x t t C t x = +− + = . Hướng dẫn giải Ta đặt: 23 sin cos cos u x du dx du x x u xdx = = ⇒  = = −  . 1 2 33 1 sin cos cos cos I I x x xdx x x xdx C ⇒= = − + + ∫ ∫   . Xét ( ) 32 1 cos cos 1 sin I xdx x x dx = = − ∫∫ . Đặt sin cos t x dt xdx = ⇒= . ( ) 23 12 1 1 3 I t dt t t C ⇒= − =− + ∫ . 3 33 1 1 cos cos 3 I xx I xx t t C ⇒= −+= −+− + . Chọn A Câu 9. Một nguyên hàm của ( ) 2 cos x f x x = là : A. tan ln cos x xx − B. ( ) tan ln cos x xx + C. tan ln cos x xx + D. tan ln sin xx x − Hướng dẫn giải Ta có: 2 cos x I dx x = ∫ Đặt: 2 1 tan cos ux du dx vx dv dx x =  =   ⇒  = =    Khi đó: tan tan tan ln cos I uv vdu x x xdx x x x C = −= − = + + ∫∫ Chọn C Câu 10. Một nguyên hàm của ( ) 2 sin x f x x = là : A. cot ln sinx xx − B. ( ) cot ln sin xx x −+ https://toanmath.com/ C. tan ln cos x xx −+ D. tan ln sin xx x − Hướng dẫn giải Ta có: 2 sin x I dx x = ∫ Đặt: 2 1 cot sin ux du dx vx dv dx x =  =   ⇒  = − =    Khi đó: cot cot cot ln sin I uv vdu x x xdx x x x C =− = −+ = −+ + ∫∫ Chọn B Câu 11. Cho ( ) 2 cos x f x x = trên ; 22 ππ  −   và ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) xf x ′ thỏa mãn ( ) 00 F = . Biết ; 22 a ππ  ∈−   thỏa mãn tan 3 a = . Tính ( ) 2 10 3 Fa a a −+ . A. 1 ln10 2 − . B. 1 ln10 4 − . C. 1 ln10 2 . D. ln10. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: ( ) ( ) d F x xf x x ′ = ∫ ( ) d xf x = ∫ ( ) ( ) d xf x f x x = − ∫ Ta lại có: ( ) 2 dd cos x f x x x x = ∫∫ ( ) = d tan xx ∫ tan tan d x x xx = − ∫ sin tan d cos x xx x x = − ∫ ( ) 1 tan d cos cos xx x x = + ∫ tan ln cos x x xC = ++ ( ) ( ) tan ln cos F x xf x x x x C ⇒= − − + Lại có: ( ) 00 F = 0 C ⇒= , do đó: ( ) ( ) tan ln cos F x xf x x x x = − − . ( ) ( ) tan ln cos F a af a a a a ⇒ = − − Khi đó ( ) 2 cos a f a a = ( ) 2 1 tan aa = + 10a = và 2 2 1 1 tan cos a a = + 10 = 2 1 cos 10 a ⇔ = 1 cos 10 a ⇔= . Vậy ( ) 2 10 3 Fa a a −+ 22 1 10 3 ln 10 3 10 aa a a = − − − + 1 ln10 2 = . DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của ( ) 1 x e x dx + ∫ là: A. x x I e xe C =++ . B. 1 2 xx I e xe C =++ . C. 1 2 x x I e xe C = ++ . D. 2 x x I e xe C = ++ . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) 1 1 1 x xx x x I I e x dx e dx e xdx e C xe dx = + = + = ++ ∫ ∫∫ ∫   . Xét 1 x I e xdx = ∫ . Đặt x x ux dux dv e dx v e = = ⇒  = =  . https://toanmath.com/ 1 12 1 2 xx x I xe xe dx I xe C ⇒= − ⇒= + ∫ . 1 2 xx I e xe C ⇒= + + . Chọn B Câu 13. Biết ( ) 2 2 2 d , . x x x xe x axe be C a b = ++ ∈ ∫  Tính tích ab . A. 1 4 ab = − . B. 1 4 ab = . C. 1 8 ab = − . D. 1 8 ab = . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2 2 dd 1 d d 2 x x ux ux v e ve x =  =   ⇒  = =    Suy ra: 2 2 2 11 dd 22 x x x xe x xe e x = − ∫∫ 22 11 24 xx xe e C = −+ Vậy: 11 1 ; . 24 8 a b ab = = −⇒ = − Câu 14. Cho biết 2 e d x xx ∫ ( ) 2 1 e 4 x ax b C = ++ , trong đó , ab ∈  và C là hằng số bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là đúng. A. 20 ab += . B. ba > . C. ab . D. 20 ab + =. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt dd ux u x =⇒= , 2 2 e d e d 2 x x v x v = ⇒= . Ta có 2 e d x xx ∫ 22 ee d 22 x x x x = − ∫ 22 ee 24 xx x C = −+ ( ) 2 e 21 4 x x C = − + . Suy ra 2 a = , 1 b = − . Câu 15. Biết ( ) ( ) x F x ax b e = + là nguyên hàm của hàm số ( ) 23 x y xe = + .Khi đó ab + là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2x+3 d ax+b xx ex e = ∫ , nghĩa là: ( ) ( ) ax+b ' 2x+3 xx ee   =   ( ) ( ) . ax = 2x+3 x x x a e e b e ⇔+ + ( ) ( ) ax = 2x+3 xx e ab e ⇔ ++ Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1 Vậy 3 ab + =. Chọn B Câu 16. Biết ( ) ( ) 22 1 3. d 2 x x x e x e x n C m − − + = − ++ ∫ , với , mn ∈  . Tính 22 Sm n = + . A. 10 S = . B. 5 S = . C. 65 S = . D. 41 S = . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt 2 2 dd 3 1 dd 2 x x ux ux ve ve x − − =  = +   ⇒  = − =    https://toanmath.com/ Khi đó ( ) ( ) 22 2 11 3. d 3 d 22 xx x x e x e x e x −− − + = − ++ ∫∫ ( ) 22 11 .3 24 xx e x e C −− = − +− + ( ) ( ) 22 11 . 26 1 27 44 xx e x C ex C −− =− ++ + =− + + 4; 7 mn ⇒= = . 22 65. Sm n = += Câu 17. Tìm nguyên hàm ( ) 21 d x I x ex − = − ∫ . A. ( ) 2 1 x I x e C − = −+ + . B. ( ) 21 x I x e C − = −− + . C. ( ) 23 x I x e C − = −+ + . D. ( ) 23 x I x e C − = −− + . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 1 d 2d d x x ux u x dv e x v e − − =−=  ⇒  = = −  . Ta có ( ) ( ) ( ) 21 2. d 21 2 2 1 x x x x x I x e e x x e e C x e C − − − − − = −− + = −− − + = −+ + ∫ . Câu 18. Cho () Fx là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 5 1e x f x x = + và ( ) 03 F = . Tính ( ) 1 F . A. ( ) 1 11e 3 F = − . B. ( ) 1 e 3 F = + . C. ( ) 1 e7 F = + . D. ( ) 1 e2 F = + . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( ) ( ) 5 1 ed x F x x x = + ∫ . Đặt 51 d ed x u x vx = +   =  d 5d e x ux v =  ⇒  =  . ( ) ( ) 5 1 e 5e d xx F x x x = +− ∫ ( ) 5 1 e 5e x x xC = + −+ ( ) 5 4e x xC = −+ . Mặt khác ( ) 03 F = 4 3 C ⇔− + = 7 C ⇔= . ( ) ( ) 5 4e 7 x F x x ⇒ = −+ . Vậy ( ) 1 e7 F = + . Câu 19. Cho hàm số ( ) ( ) 23 x f x x e = − . Nếu ( ) ( ) x F x mx n e = + ( ) , mn ∈  là một nguyên hàm của ( ) f x thì hiệu mn − bằng A. 7. B. 3. C. 1. D. 5. Hướng dẫn giải: Chọn A Tính ( ) 2 3d x x ex − ∫ . Đặt 2 3 d 2d ; d d xx u x u x ve x ve = −⇒ = = ⇒ = . Suy ra: ( ) ( ) 23 d 23 2 d x xx x ex x e ex C − = − − + ∫∫ ( ) 23 2 x x x e eC = − −+ ( ) 25 x x eC = −+ Suy ra: 2 m = ; 5 n = − Vậy 7 mn −=. Câu 20. 1 7 TCho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 e x f x = và ( ) 02 F = . Hãy tính ( ) 1 F − . A. 15 6 e − . B. 10 4 e − . C. 15 4 e − . D. 10 e . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( ) 3 d e d x I f x x x = = ∫∫ . https://toanmath.com/ Đặt 3 3 x t x t = ⇒= 2 d 3d x tt ⇒= khi đó 3 2 e d 3e d xt I x tt = = ∫∫ . Đặt 2 2d d e ed d t t tt u tu v tv =  =   ⇒  = =    ( ) 2 3e 2 e d t t I t tt ⇒= − ∫ 2 3e 6 e d t t t tt = − ∫ . Tính ed t tt ∫ . Đặt dd ed d e tt t u t u tv v = = ⇒  = =  e de e de e t t t t t t t t t t ⇒ =−=− ∫∫ . Vậy ( ) 2 3e 6 e e t tt It t C ⇒= − − + ( ) ( ) 3 33 3 2 3 3e 6 e e x xx F x x x C ⇒ = − − + . Theo giả thiết ta có ( ) 02 4 FC =⇒= − ( ) ( ) 3 33 3 2 3 3e 6 e e 4 x xx F x x x ⇒ = − − − ( ) 15 14 e F ⇒ − = − . DẠNG 3. Câu 21. Kết quả của ln xdx ∫ là: A. ln x x xC ++ B. Đáp án khác C. ln x xC + D. ln x x xC −+ Hướng dẫn giải Ta có: ln I xdx = ∫ Đặt: ln dx ux du x dv dx vx  = =   ⇒  =   =  Khi đó: ln ln I uv vdu x x dx x x x C = − = − = −+ ∫∫ Chọn D Câu 22. Nguyên hàm của ln I x xdx = ∫ bằng với: A. 2 ln 2 x x xdx C −+ ∫ . B. 2 1 ln 22 x x xdx C − + ∫ . C. 2 1 ln 2 x x xdx C − + ∫ . D. 2 ln x x xdx C −+ ∫ . Hướng dẫn giải Ta đặt: 2 1 ln 2 du dx ux x dv xdx x v  =  =   ⇒  =   =   . 2 1 ln ln 22 x I x xdx x xdx ⇒= = − ∫∫ . Chọn B Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) ln 2 f x x x = + . A. ( ) ( ) 22 4 d ln 2 24 x x x f x x x C + = + − + ∫ . B. ( ) ( ) 22 44 d ln 2 24 x xx f x x x C −− = + − + ∫ . https://toanmath.com/ C. ( ) ( ) 22 4 d ln 2 22 x x x f x x x C + = + − + ∫ . D. ( ) ( ) 22 44 d ln 2 2 2 x x x f x x x C −+ = + − + ∫ . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt ( ) 2 d d ln 2 2 dd 2 x u ux x x v x x v  =  = +   + ⇒  =    =   suy ra ( ) ( ) ( ) 22 1 d ln 2 d ln 2 d 2 22 xx f x x x x x x x x = + = + − + ∫∫ ∫ ( ) ( ) 2 22 14 4 4 ln 2 2 d ln 2 2 2 22 2 x x xx xx x x C x −−   = + − − + = + − +   +   ∫ . Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của ( ) ( ) 2 ln 1 x gx x = + ? A. ln 2 ln 2 ln 1999 11 xx x xx −− + + ++ . B. ln ln 1998 1 1 xx x x − −+ + + . C. ln ln 2016 11 x x x x −+ + + . D. ln ln 2017 11 xx xx + + ++ . Hướng dẫn giải Đặt ( ) 2 1 ln 1 1 1 1 ux du dx x dv dx v x x  =  =   ⇒  = −  = +   +  ( ) ( ) ln 1 ln 1 1 lnx 1 1 11 1 1 1 ln ln ln ln 1 ln 1 11 x x dx S dx dx dx x x x x x x x x x x x x S x x C C x xx −− −  ⇒ = + = + − = + + −  + ++ + + +  −− ⇔= + − + + = + + + ++ ∫ ∫ ∫∫ . Chọn A Câu 25. Họ nguyên hàm của ( ) 2 ln cos sin x I dx x = ∫ là: A. ( ) cot .ln cos x x xC ++ . B. ( ) cot .ln cos x x xC − −+ . C. ( ) cot .ln cos x x xC −+ . D. ( ) cot .ln cos x x xC − ++ . Hướng dẫn giải Ta đặt: ( ) 2 ln cos tan cot sin ux du xdx dx vx dv x =  = −   ⇒  = − =    . ( ) ( ) cot .ln cos cot .ln cos I xx dx xx x C ⇒= −−= −−+ ∫ . Chọn B Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln f x x x = . https://toanmath.com/ A. ( ) ( ) 3 2 1 d 3ln 2 9 f x x x x C = −+ ∫ . B. ( ) ( ) 3 2 2 d 3ln 2 3 f x x x x C = −+ ∫ . C. ( ) ( ) 3 2 2 d 3ln 1 9 f x x x x C = − + ∫ . D. ( ) ( ) 3 2 2 d 3ln 2 9 f x x x x C = −+ ∫ . Hướng dẫn giải Chọn A ( ) d ln .d I f x x x xx = = ∫∫ . Đặt: 1 d d 2d d 2 t x t x tt x x = ⇒= ⇒ = . 22 2 2 ln .d 4 ln .d I tt t tt t ⇒= = ∫ ∫ . Đặt: 2 3 1 dd ln dd 3 ut u t t v tt t v  =  =   ⇒  =   =   . ( ) 3 2 33 3 11 1 1 2 2 ln d 2 ln 3ln 1 33 39 9 I t t t t t t t C t t C     ⇒= − = − + = − +         ∫ ( ) 3 2 2 3ln 1 9 x xC = −+ ( ) 3 2 1 3ln 2 9 xx C = −+ . Câu 27. Giả sử ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) ( ) 2 ln 3 x f x x + = sao cho ( ) ( ) 2 10 FF −+ = . Giá trị của ( ) ( ) 12 FF −+ bằng A. 10 5 ln 2 ln 5 36 − . B. 0 . C. 7 ln 2 3 . D. 23 ln 2 ln 5 36 + . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Ta có hàm số ( ) f x liên tục trên các khoảng ( ) 3;0 − và ( ) 0; +∞ . Tính ( ) 2 ln 3 d x x x + ∫ . Đặt ( ) 2 1 ln 3 dd 3 d 11 3 d 33 ux ux x x x v v x xx  = +  =   + ⇒  + =  = −− = −    (Chọn 1 3 C = − ) Suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 ln 3 31 d ln 3 d 33 x x F x x x x xx x + + = = − ++ ∫∫ ( ) 31 ln 3 ln 33 x x x C x + = − ++ + . •Xét trên khoảng ( ) 3;0 − , ta có: ( ) 1 1 2 ln 2 3 FC − = + ; ( ) 1 2 1 ln 2 3 FC − = + •Xét trên khoảng ( ) 0; +∞ , ta có: ( ) 22 48 1 ln 4 ln 2 33 F CC = − += − + ; ( ) 2 51 2 ln 5 ln 2 63 FC = − + + Suy ra: ( ) ( ) 2 10 FF −+ = 12 18 ln 2 ln 2 0 33 C C    ⇔ + +− + =       12 7 ln 2 3 C C ⇔+ = . https://toanmath.com/ Do đó: ( ) ( ) 12 2 51 1 2 ln 2 ln 5 ln 2 3 63 FF C C    − + = + +− + +       2 5 1 7 10 5 ln 2 ln 5 ln 2 ln 2 ln 2 ln 5 3 6 3 3 3 6 = −+ + = − . Cách 2: (Tận dụng máy tính) •Xét trên khoảng ( ) 3;0 − , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 ln 3 1 2 d d 0, 231 x F F f x x x A x − − − − + −− − = = ≈ → ∫∫ (lưu vào A ) ( ) 1 •Xét trên khoảng ( ) 0; +∞ , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 11 ln 3 2 1 d d 0,738 x F F f x x x B x + −= = ≈ → ∫∫ (lưu vào A ) ( ) 2 •Lấy ( ) 1 cộng ( ) 2 theo vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 0,969 F F F F AB F F AB −+ − − − = + ⇔ −+ = + ≈ . So các phương án ta Chọn A Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 2 4 ln 4 x f x x x  − =  +  ? A. 2 42 2 4 ln 2 4 x xx x  − −  +  . B. 42 2 2 16 4 ln 2 4 4 xx x x     −− −     +     . C. 2 42 2 4 ln 2 4 x x x x  − +  +  . D. 42 2 2 16 4 ln 2 4 4 xx x x     −− +     +     . Hướng dẫn giải Đặt: 2 4 2 4 4 3 16 4 ln 16 4 16 4 44 x x du u x x x x v dv x dx    − =  =    − + ⇒   −  = − = =    2 42 42 4 2 22 2 4 16 4 16 4 ln ln 4 ln 2 4 4 4 4 4 x xx xx x dx xdx x C xx x      − −− −− ⇒ = − = −+      ++ +      ∫∫ Chọn B Câu 29. Tìm ( ) 2 2 sin cos x dx H xx x = + ∫ ? A. ( ) tan cos sin cos x H xC x x x x = + + + . B. ( ) tan cos sin cos x H xC x x x x = −+ + . C. ( ) tan cos sin cos x H xC x x x x − = + + + . D. ( ) tan cos sin cos x H xC x x x x − = −+ + . Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 2 22 cos . cos sin cos sin cos x xx x H dx dx x xx x xx x = = ++ ∫∫ https://toanmath.com/ Đặt ( ) ( ) ( ) 2 22 sin cos cos cos sin cos cos 1 sin cos sin cos sin cos x xx x u du dx x x dx x x xx dv dx v xx x xx x xx x  +  = =    ⇒  +  = = = −   + + +   ( ) 2 11 . tan cos x sin cos cos cos sin cos xx H dx x C x x x x x x x x − ⇒= − + = + + ++ ∫ Chọn C Câu 30. ( ) 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng ( ) 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + , trong đó , ab là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3. B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm ( ) 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: ( ) 22 2 1 ln 2 1 ln x x x x dx x x dx x x dx ++ = + + ∫ ∫∫ . Để tìm ( ) 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ ta đặt 2 1 21 I x x dx = + ∫ và 2 ln I x x dx = ∫ và tìm 1 2 , I I . * 2 1 21 I x x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 2 1, 1 tx t = + ≥ ta được 22 1, t x xdx tdt =+=. Suy ra: ( ) 3 2 23 2 1 11 22 2 12 1 33 I x x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. * 2 ln I x x dx = ∫ . Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. Đặt 2 1 ln 1 2 du dx ux x dv xdx vx  =  =   ⇒  =   =   , ta được: 2 2 2 2 22 2 ln 1 1 1 11 11 ln ln ln 2 2 22 24 I x x dx udv uv vdu xx x dx xx xdx xx x C x = = = − = − ⋅ = − = −+ ∫∫ ∫ ∫∫ . ( ) ( ) ( ) 3 2 2 22 12 1 2 3 2 22 2 11 2 1 ln 1 ln 3 24 2 11 1 ln 3 24 x x x x dx I I x C x x x C x x x xC ++ = + = + + + − + = + + − + ∫ . Suy ra để ( ) 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng ( ) 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + thì 2 , 3. ab =∈ =∈   Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. https://toanmath.com/ Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào ( ) 3 2 22 1 1 ln 3 24 ab x x x xC + + − + . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm của ( ) 3 2 22 1 1 ln 3 24 ab x x x xC + + − + . Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn. Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * 2 1 21 I x x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 2 1, 1 tx t = + ≥ ta được 22 1, 2 t x tdt xdx =+= . Suy ra: ( ) 3 2 23 2 1 11 11 21 1 33 I x x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. Học sinh tìm đúng 22 22 11 ln 24 I x x xC = −+ theo phân tích ở trên. ( ) ( ) ( ) 3 2 2 22 12 1 2 3 2 22 1 11 2 1 ln 1 ln 3 24 1 11 1 ln 3 24 x x x x dx I I x C x x x C x x x xC ++ = + = + + + − + = + + − + ∫ . Suy ra để ( ) 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng ( ) 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + thì 1, 3 ab = = . Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * 2 1 21 I x x dx = + ∫ . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt 2 1, 1 tx t = + ≥ ta được 22 1, 2 t x tdt xdx =+= . Suy ra: ( ) 3 2 23 2 1 11 11 21 1 33 I x x dx t dt t C x C = + = = += + + ∫∫ , trong đó 1 C là 1 hằng số. Học sinh tìm đúng 22 22 11 ln 24 I x x xC = −+ theo phân tích ở trên. ( ) ( ) ( ) 3 2 2 22 12 1 2 3 2 22 1 11 2 1 ln 1 ln 3 24 1 11 1 ln 3 24 x x x x dx I I x C x x x C x x x xC ++ = + = + + + − + = + + − + ∫ . Suy ra để ( ) 2 2 1 ln x x x x dx ++ ∫ có dạng ( ) 3 2 22 1 1 ln 3 64 ab x x x xC + + − + thì 1 1, 3 ab =∈ =∉  . Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của b . https://toanmath.com/ Câu 31. Cho 2 1 () 2 Fx x = là một nguyên hàm của hàm số () fx x . Tính e 1 ( )ln d f x xx ′ ∫ bằng: A. 2 2 e 3 2e I − = . B. 2 2 2e e I − = . C. 2 2 e2 e I − = . D. 2 2 3e 2e I − = . Hướng dẫn giải Chọn A Do 2 1 () 2 Fx x = là một nguyên hàm của hàm số () fx x nên 2 () 1 2 fx xx ′  =   ( ) 2 1 f x x ⇔= − . Tính e 1 ( )ln d I f x xx ′ = ∫ . Đặt ( ) ( ) 1 ln dd dd x u xu x fx x v f x v  = =   ⇒  ′ =    =  . Khi đó ( ) ( ) ( ) e e 1 1 .ln d fx I f x x x x ′ = − ∫ ( ) ee 22 11 11 .ln 2 x xx = −− 2 2 e 3 2e − = . Câu 32. Cho ( ) ( ) ln a F x x b x = + là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 ln x f x x + = , trong đó a , b ∈  . Tính S ab = + . A. 2 S = − . B. 1 S = . C. 2 S = . D. 0 S = . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) 2 1 ln dd x I f x x x x +  = =   ∫∫ . Đặt 2 1 ln 1 dd x u xv x +=    =   1 dd 1 xu x v x  =   ⇒   −=   khi đó ( ) 2 11 1 ln d I xx xx = −+ + ∫ ( ) 11 1 ln xC xx = − + −+ ( ) 1 ln 2 xC x = − + + 1; 2 ab ⇒= − = . Vậy 1 S ab = + = . Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số ( ) ( ) 3 e 1 x a f x bx x = + + với mọi x khác 1 − . Biết ( ) 0 22 f ′ = − và ( ) 1 0 d 5 f x x = ∫ . Tính ab + ? A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ( ) ( ) 4 3 ee 1 xx a f x b bx x − ′ = ++ + nên ( ) 0 3 22 f ab ′ =− + =− ( ) 1 . ( ) ( ) 11 3 00 d e d 1 x a f x x bx x x  = +  +   ∫∫ ( ) 11 3 00 d ed 1 x x a b x x aI bJ x = +=+ + ∫∫ . Tính ( ) 1 3 0 d 1 x I x = + ∫ ( ) 2 1 13 0 8 21 x = −= + . Tính 1 0 ed x J xx = ∫ . Đặt dd d ed e x x ux u x v xv = = ⇒  = =  . https://toanmath.com/ Khi đó ( ) 1 0 11 e ed e e 1 00 x x x x Jx x = − =− = ∫ . Suy ra 3 5 8 ab + = ( ) 2 . Từ ( ) 1 và ( ) 2 ta có 3 22 3 5 8 ab a b − + =−    + =   8 2 a b =  ⇔  =  . Vậy 10 ab + = . Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 1 e ln x f x ax x   = +     thỏa mãn 1 0 F a   =     và ( ) 2018 2018 e F = . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 ;1 2018 a  ∈   . B. 1 0; 2018 a  ∈    . C. [ ) 1;2018 a ∈ . D. [ ) 2018; a ∈ +∞ . Hướng dẫn giải Chọn A ( ) ( ) 1e e ln d e ln d d x x x I ax x ax x x xx   = += +     ∫ ∫ ∫ (1)  Tính ( ) e ln d x ax x ∫ : Đặt ( ) 1 ln dd d ed e x x u ax ux x vx v  = =  ⇒  =    =  ( ) ( ) e e ln d e ln d x x x ax x ax x x ⇒=− ∫∫  Thay vào (1), ta được: ( ) ( ) e ln x F x ax C = + . Với ( ) 2018 1 0 2018 e F a F    =        =  ( ) 1 2018 2018 e .ln1 0 e ln .2018 e a C aC   +=   +=   ( ) 0 ln .2018 1 C a =    =    e 2018 a =  .  Vậy 1 ;1 2018 a  ∈   . DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − ∫∫ . B. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − + ∫∫ . C. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = + ∫∫ . D. e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x = − − ∫∫ Hướng dẫn giải Chọn B Đặt e d sin d x u v x x  =  =  d cos x du e x vx  = ⇒  = −  e sin d e cos e cos d . x xx x x x x x ⇒ = − + ∫∫ . Câu 36. Tìm .sinx x J e dx = ∫ ? A. ( ) cos sin 2 x e J x xC = −+ . B. ( ) sin cos 2 x e J x xC = ++ . C. ( ) sin cos 2 x e J x xC = −+ . D. ( ) sin cos 1 2 x e J x x C = + ++ . Hướng dẫn giải https://toanmath.com/ Đặt: 1 1 11 . sin .dx cos x x u e du e dx dv x v x  = = ⇒  = = −  ( ) cos cos cos .cos xx x x J ex exdx ex T T e xdx ⇒= − + = − + = ∫∫ Tính .cos x T e xdx = ∫ : ( ) ( ) sin sin sin cos sin 2 sin cos sin cos 2 x x x x xx x T ex exdx ex J e J e x e x J J e xx J xx C ⇒ = − = − ⇒ = − + − ⇔ = − ⇔ = − + ∫ Chọn C