Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng phẳng trong không gian
Nhờ việc sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt trong không gian hoặc đồng quy, hoặc đôi một so sánh nên trong không gian để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta có thể làm như sau:
Xem thêm Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Chứng minh rằng MP, NQ và BD đồng quy tại I. Lời giải Ta có: (ABD) ∩ (BCD) = BD Lại có I ∈ MP ⊂ (ABD) và I ∈ NQ ⊂ (BCD) nên I là điểm chung của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD). Nói cách khác, I thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD). Do đó, I ∈ BD hay ba đường thẳng MP, NQ và BD đồng quy tại I. Bài 1. Cho tứ diện ABCD mặt phẳng(P) không chứa AB và CD cắt các cạnh AC, BC, AD lần lượt tại M, N, R, S.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm BC, BD. Các điểm P và S lần lượt thuộc AD, AC sao cho AR= AD:3 ; AS= AC:3. CMR ba đường thẳng AB, MS, NR đồng qui. Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN và BM. Gọi O là giao điểm của AC và BD. CMR : SO, AM, BN đồng qui.
Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng mình bằng một trong các cách:
Bài tập chứng minh các đẳng thức vecto, chứng minh 3 vecto đồng phẳng có đáp án chi tiết
Lời giải chi tiết a) Ta có: $\overrightarrow{IJ}=\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} \right)$, mặt khác $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{AI}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right)$(tính chất trung điểm) Do đó $\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ b) Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB} \\ {} \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC} \\ {} \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD} \\ \end{array} \right.$ cộng vế theo vế ta được: $3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$ Mặt khác $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ (do G là trọng tâm tam giác BCD). Do vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}$
Lời giải chi tiết a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\left( 1 \right)$ Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\left( 2 \right)$ Lấy $\left( 2 \right)+3.\left( 1 \right)$ ta được $4\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{DC}$ Do đó $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$ b) Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QN} \\ {} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC}$ Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC} \right)$$\Rightarrow $ba vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng. c) Theo tính chất trung điểm ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GP} \\ {} \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GQ} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\left( \overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ} \right)$ Mặt khác $\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow $ G là trọng tâm tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết a) Ta có: $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{B'B}$ (theo quy tắc hình bình hành) Suy ra $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ Lại có: $\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\left( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$ Mặtkhác: $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'J}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'C'}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{c}{2}$ b) Ta có: $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{B'K}\left( 1 \right)$ $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JC'}+\overrightarrow{C'K}\left( 2 \right)$ Lấy $2.\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$ ta được: $3\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+2\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{JC'}+\underbrace{2\overrightarrow{B'K}+\overrightarrow{C'K}}_{0}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{A'J}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AJ}$ Vậy $\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} \right)$.
Lời giải chi tiết Giả sử: $\overrightarrow{MC}=n\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{C'N}=m\overrightarrow{C'D}$ Ta có: $\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'N}=n\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{C'D}$ $=n.\left( \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} \right)+\overrightarrow{b}+m\left( \overrightarrow{C'C}+\overline{CD} \right)$ $=n.\left( \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \right)+\overrightarrow{b}+m\left( -\overrightarrow{b}+\overline{a} \right)=\left( m-n \right)\overrightarrow{a}+\left( 1-m \right)\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$ Khi đó $MN//BD'\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{BD'}$ $\frac{m-n}{1}=\frac{1-m}{1}=\frac{n}{1}=k\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m=\frac{2}{3} \\ {} n=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{MN}{B'D'}=k=\frac{1}{3}$
Lời giải chi tiết Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{C'B}+\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)$ $=-\overrightarrow{C'B'}+\overrightarrow{B'C'}-2\overrightarrow{IK}$ (vì $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IK}$) Suy ra $\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{C'B'}-2\overrightarrow{IK}$ Do đó ba vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{C'B'}$ đồng phẳng.
Lời giải chi tiết Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow \left( x+y+z \right)\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$ $\Leftrightarrow x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ Nếu $x=0\Rightarrow \Leftrightarrow y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow $ M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng Nếu $x\ne 0\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{-y}{x}\overrightarrow{MB}-\frac{z}{x}\overrightarrow{MC}$$\Rightarrow $ A, B, C, M đồng phẳng.
Lời giải chi tiết Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right)=\frac{1}{2}\left[ \left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP} \right)+\left( \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BP} \right) \right]$ $=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\left( \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP} \right) \right]=\frac{1}{2}\frac{\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}}{k}$ Lại có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM} \\ {} \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PN} \\ \end{array} \right.$ nên $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left( \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right)$ (Do $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$) Do đó $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left( \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right)$$\Rightarrow $ M, N, P, Q đồng phẳng |