Cách chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng

Giới thiệu bài học

Bài giảng Chứng minhmặt phẳng song song với mặt phẳng giúp các em nắm vững các định nghĩa và tính chất của hai mặt phẳng song song.

Nội dung bài học

I/ Định nghĩa

Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung.

Kí hiệu: (\[\alpha \]) // (\[\beta \]) hay (\[\beta \]) //\[(\alpha )\]

II/ Tính chất

Định lý 1: Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau trong mặt phẳng \[(\alpha )\] và 2 đường a và b cùng song song với mặt phẳng $(\beta )$ thì ta nói $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)$

Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD, gọi \[{{G}_{1;}}{{G}_{2}};{{G}_{3}}\] lần lượt là trọng tâmcủa các tam giác ABC; ACD; ABD. Chứng tỏ rằng (\[{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}\] )// với mặt phẳng (BCD).

Đinh lí 2: Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta chỉ vẽ được duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

III/ Hình lăng trụ và hình hộp.

Cho \[\left( \alpha \right)\] // (\[\alpha \] ) .Trên (α) cho đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}\] .Qua các đỉnh \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{n}}\] ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (α) lần lượt tại \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{n}}{{}_{.}}\]

Hình gồm 2 đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}{{A'}_{1}}{{A'}_{2}}\ldots {{A'}_{n}}\] và các hình bình hành\[{{A}_{1}}{{A'}_{1}}{{A}_{2}}{{A'}_{2}},{{A}_{2}}{{A'}_{2}}{{A}_{3}}{{A'}_{3}},\ldots ,AnA'n{{A}_{1}}{{A'}_{1}}\] được gọi là hình lăng trụ.

Kí hiệu: A1A2An.A1A'2....An

+ 2 mặt đáy của HLT:2 đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}\] và \[{{A'}_{1}}{{A'}_{2}}\ldots {{A'}_{n}}.\]

+ Cạnh bên: \[{{A}_{1}}{{A'}_{1}},{{A}_{2}}{{A'}_{2}},\ldots ,AnA'n.\]

+Mặt bên:hình bình hành

\[{{A}_{1}}{{A'}_{1}}{{A}_{2}}{{A'}_{2}},{{A}_{2}}{{A'}_{2}}{{A}_{3}}{{A'}_{3}},\ldots ,AnA'n{{A}_{1}}{{A'}_{1}}\]

+ Đỉnh HLT: đỉnh của 2 đa giác đáy.

Một số khối hình trong không gian

Hình lăng trụ tam giác

Hình lăng trụ tứ giác.

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Ví dụ.

Cho hai hình vuông \[ABCD\] và \[ABEF\] ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo \[AC\] và \[BF\] lần lượt lấy các điểm \[M,N\] sao cho \[AM=BN\]. Các đường thẳng song song với \[AB\] vẽ từ \[M,N\] lần lượt cắt \[AD\] và \[AF\] tại \[M'\] và \[N'\]. Chứng minh:

a) \[\left( ADF \right)\parallel \left( BCE \right)\].

b) \[\left( DEF \right)\parallel \left( MM'N'N \right)\].

Giải

a) Ta có\[\left\{ \begin{array}{l}
AD\parallel BC\\
BC \subset \left( {BCE} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AD\parallel \left( {BCE} \right)\]

Tương tự\[\left\{ \begin{array}{l}
AF\parallel BE\\
BE \subset \left( {BCE} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AF\parallel \left( {BCE} \right)\]

Mà\[\left\{ \begin{array}{l}
AD \subset \left( {ADF} \right)\\
AF \subset \left( {ADF} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ADF} \right)\parallel \,\left( {BCE} \right)\]

1. b) Vì \[ABCD\] và \[\left( ABEF \right)\] là các hìnhvuông nên \[AC=BF\text{ }\left( 1 \right)\].

Ta có \[MM'\parallel CD\Rightarrow \frac{AM'}{AD}=\frac{AM}{AC}\text{ }\left( 2 \right)\]

\[NN'\parallel AB\Rightarrow \frac{AN'}{AF}=\frac{BN}{BF}\text{ }\left( 3 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\],\[\left( 2 \right)\] và \[\left( 3 \right)\]ta được \[\frac{AM'}{AD}=\frac{AN'}{AF}\Rightarrow M'N'\parallel DF\]

\[\Rightarrow DF\parallel \left( MM'N'N \right)\].

Lại có \[NN'\parallel AB\Rightarrow NN'\parallel EF\Rightarrow EF\parallel \left( MM'N'N \right)\].

Vậy\[\left\{ \begin{array}{l}
DF\parallel \left( {MM'N'N} \right)\\
EF\parallel \left( {MM'N'N} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {DEF} \right)\parallel \left( {MM'N'N} \right)\]