Cách giải một bài toán khó

Bất kì một vấn đề toán học nào, dù đơn giản hay thử thách đều xuất phát từ những kiến thức nền tảng đòi hỏi chúng ta phải tư duy và liên kết những định lý và tính chất cơ bản với nhau để hình thành nên giải pháp. Đó được xem là quá trình tư duy giải quyết vấn đề – problem solving. Vậy để chúng ta có thể áp dụng tư duy này để giải quyết các vấn đề toán học như thế nào?

Disclaimer: Dưới đây hoàn toàn là ý kiến chủ quan của tác giả, nếu có bất kì thiếu sót nào, chúng tôi mong được cùng bạn thảo luận trong phần bình luận

Trước khi đi vào vấn đề, chúng ta hãy cùng nhau xem xét bài toán sau, và bài toán này sẽ là vấn đề chúng ta cùng thảo luận trong cả bài viết này:

Bài toán 1. Cho tam giác nhọn ABC có và AB

1. Quan sát, quan sát và quan sát

Trước khi đi vào giải quyết một vấn đề toán học nào chúng ta cần phải có cái nhìn bao quát vấn đề chúng ta cần giải quyết. Với một vấn đề hình học sơ cấp, chúng ta cần quan sát những gì? Có 2 mục tiêu: thứ nhất đó là phân tích đề bài (hay còn gọi là vấn đề được đặt ra – problem) và thứ hai là từ việc dựng hình. Từ đề bài trên, ấn tượng đầu tiên của chúng ta là gì?

1. Chúng ta có yêu cầu chứng minh một tam giác đều và đã có một góc có giá trị 60o. Chúng ta có ấn tượng gì không?
2. Chúng ta có một yêu cầu đặc biệt khi dựng hình đó là AB
3. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, điều này có ấn tượng gì với chúng ta? Có tính chất nào liên quan đến mối quan hệ giữa I và tam giác ABC?

Hình dựng ban đầu từ những dữ kiện đề bài

Thực tế, từ những ấn tượng ban đầu của đề bài, việc cần làm của chúng ta là dựng hình (đồng nghĩa với vẽ hình, do người viết thích sử dụng từ dựng hình, mong các bạn thông cảm). Có một số yêu cầu chúng ta cần tự đặt ra khi dựng hình như sau:

1. Việc dựng hình cần thiết phải có độ chính xác tương đối, dù là nháp trong lúc thoải mái hay trên các bài thi lúc đầy áp lực. Việc chúng ta đặt độ chính xác lên mức ưu tiên cao sẽ giảm thiểu rủi ro rất nhiều. (Không liên quan với nội dung của bài này cho lắm, nhưng khi nhìn vào những tiêu chuẩn sản phẩm cơ khí: động cơ đốt trong, turbin khi, động cơ tên lửa,… của các nước phát triển, việc các chi tiết cấu tạo bên trong có độ chính xác cao vừa khiến hệ thống vận hành trơn tru vừa giảm thiểu những rủi ro đến cho người dùng)
2. Để có thể phát hiện ra những cái nhìn thú vị trong bài toán hãy thử những cách sau khi dựng hình trên nháp: dựng hình với nhiều hơn 1 màu, điều này có thể giúp chúng ta làm nổi bật những yếu tố cần nổi bật: hình cần chứng minh, các góc đặc biệt,…; Việc dựng nhiều hình hoặc nhìn hình với các góc độ khác nhau, cách này có thể sử dụng khi chúng ta không có ý tưởng gì trong việc chứng minh. Nói chung là nhìn hình với nhiều góc nhìn.
3. Và từ hình dựng chúng ta thấy được gì, hãy đánh dấu lại và viết ra (note lại trên nháp), có đường thẳng nào cần dựng nên được vẽ, từ đó có thể từ quan sát của bạn sẽ có tạo ra một khoảnh khắc Eureka (Ơ-rê-ka) chẳng hạn.

Thử xoay hình đi một chút xem nào?

Quảng cáo

Một số bạn học sinh từng nhờ ZeFro review quyển này, hiện thì mình chưa review được, nhưng đã mua và đọc sơ qua, có thể nói quyển sách này mang khá nhiều ưu điểm:

• Các viết dễ hiểu, hệ thống các suy luận bằng sơ đồ
• Bám sát các bài trong sách giáo khoa, tuy không có nâng cao nhiều nhưng nền tảng rất tốt
• Sách được phát triển bởi NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội, được phân phối chính hãng trên Tiki, Shopee, nên chất lượng in ấn khá ổn.

2. Đặt câu hỏi là điều cần thiết!

Việc đặt câu hỏi như thế nào để có thể khai thác được những điều ẩn giấu từ bài toán? Việc này cần đến sự trợ giúp của kỹ năng đặt vấn đề và phản biện. Hãy quay lại với bài toán chúng ta đang xét, chúng ta có thể “lật chảo” bài toán thế nào?

• Trong bài toán có 1 dữ kiện bắt buộc là AB(lật ngược vấn đề của đề bài), vậy điểm khác biệt giữa hình bên và hình ban đầu được dựng ở phần 1 đó là gì? Đó là vị trí G và F so với 2 điểm D và E trên đường thẳng DE, vậy điều này có ý nghĩa gì không?

• Và để chứng minh một tam giác là tam giác đều chúng ta có bao nhiêu cách tiếp cận? Đâu là cách tiếp cận chúng ta có thể sử dụng trong trường hợp này? Đâu là những dữ kiện có thể xâu chuỗi với nhau: tam giác nào đồng dạng hay bằng nhau, góc nào bằng nhau số đo là bao nhiêu, cạnh nào tỉ lệ hay có tính chất đặc biệt chúng ta đã biết hay không?

Hãy đặt câu hỏi, nếu chưa có hướng đi để giải quyết bài toán thì chúng ta hãy đặt nhiều câu hỏi, lật ngược lật xuôi vấn đề, vẽ một đống đường phụ, tìm kiếm từng tiểu tiết nhỏ nhất, để sau đó trong bước kế tiếp ta có thể hệ thống lại và giải quyết vấn đề.

Hãy làm nháp thật nhiều, giấy chúng ta có thể tái chế, nhưng kiến thức và tư duy sẽ là thứ còn lại với chúng ta.

Phụ lục: Khảo sát về bài viết

Rất mong được các bạn thực hiện khảo sát sau, (chúng tôi sẽ không chia sẻ bất kì thông tin nào của bạn cho bất kì tổ chức cá nhân nào)

Nếu bạn cảm thấy các bài viết về toán học của ZeFro có ích cho bạn và mong muốn hỗ trợ cho trang ZeFro, hãy mua cho các thành viên ZeFro 1 ly café tại đây:

3. Dòng chảy của lập luận

“Beauty in mathematics is seeing the truth without effort.”

“Vẻ đẹp của toán học là việc nhìn ra sự thật mà chẳng tốn mấy công.”

George Pólya – Nhà toán học người Hungarian

Hình thành lập luận đó là cách sắp xếp các dữ kiện theo một trình tự hợp lý và cho những người xem xét quan sát – đánh giá việc chứng minh của chúng ta. Vì thế chỉ có một lưu ý ở đây là: Hãy chứng minh như đang viết văn, không phải viết văn kiểm tra đâu, mà viết truyện như Nam Cao, Vũ Trọng Phụng,… Sắp xếp dữ liệu một cách hợp lý với dòng chảy suy luận. Thực ra nếu có sự phân cách hãy đánh số để khoa học. Một ví dụ từ bài toán chúng ta đang xem xét lúc đầu:

1. Xét tam giác ABC có 1 góc → (1).
2. Chứng minh cái gì đó bla…bla…bla…
3. Ta có là góc ngoài tam giác ∆BIC → (2)
4. Chứng minh cái gì đó bla…bla…bla…
5. Từ (1) và (2) suy ra cái gì đó bla…bla…bla…

Trình bày có thứ tự và hợp lý sẽ tiết kiệm thời gian kiểm tra và giảm thiểu rủi ro sai sót trong quá trình chứng minh.

4. Hình thành kinh nghiệm

Cuối cùng trước khi kết thúc bài này, chúng ta hãy trở lại bài toán ban đầu và xem xét lại con đường chúng ta đã qua để đến với kết quả cuối cùng và xem có điều gì thay đổi trên con đường đó không? Có kinh nghiệm nào rút ra được hay không? Và những kinh nghiệm đó có áp dụng thế nào vào đời sống thực tế hay không?

Và cuối cùng chúng ta hãy cùng thảo luận một điều rằng: Toán học là một ngành khoa học không có ứng dụng trong thực tế, liệu nó có đúng hay không?

Quảng cáo:

Nếu bạn muốn củng cố lại các kiến thức một cách vững chắc, hãy sử dụng dịch vụ của Học mãi.

Trong các bài viết của ZeFro chỉ tập trung vào việc hiểu rõ các khải niệm cơ bản nhất. Và mặc định các bạn đã hiểu rõ các kiến thức căn bản trong sách giáo khoa

5. Bài học rút ra

• Gặp một vấn đề khó khăn, đừng bỏ cuộc
• Hãy nhìn với các góc nhìn khác, như thế nào? Hãy đặt các câu hỏi để lật lại vấn đề, thay đổi cách dựng hình, thay đổi trình tự dựng hình, đặt các câu hỏi để khai thác các kiến thức đã học.
• Giải quyết vấn đề bắt đầu từ đặt câu hỏi, hãy cố gắng đặt các câu hỏi thông minh để tìm ra cốt lõi vấn đề

Ý tưởng và trình bày: Thanh Ho