Cách khai triển phương trình bậc 3
Show
Ví dụ, xét công thức x3 – 4x2 – 7x + 10 = 0.
Hằng số “d” là số không đi kèm với bất cứ biến số nào, trong trường hợp này biến số là “x”.
READ: Lời bài hát Chiếc đèn ông sao | L2r.vn
Tìm một nhân tử có thể khiến đa thức bằng 0.
Ta muốn xác định nhân tử mà khi thế nhân tử này vào biến “x”, đa thức sẽ bằng 0.
Đảo vị trí.
Nếu x = 1, ta có thể sắp xếp lại đẳng thức cho khác đi một chút mà không thay đổi ý nghĩa của nó.
Tách nghiệm ra khỏi phần còn lại của phương trình.
“(x – 1)” chính là nghiệm. Hãy thử tách nghiệm này ra khỏi phương trình xem có được không. Tiến hành với từng đa thức một.
Tiếp tục thế nghiệm của hạng tử tự do.
Xét những số đã tách ra khi rút (x – 1) ra làm nhân tử chung ở bước 5:
Đáp án của phương trình chính là nghiệm đã được tách ra.
Ta có thể kiểm tra xem kết quả thu được có chính xác là nghiệm của phương trình hay không bằng cách thế giá trị tìm được vào các biến của đa thức ban đầu.
Cách tách phương trình bậc 3 thành phương trình tích bằng máy tínhBạn cũng có thể tách phương trình bậc 3 một cách nhanh chóng hơn nhờ vào sử dụng máy tính bỏ túi Casio như sau: Định lí về phân tích nhân tử khi biết tất cả các nghiệm của đa thức:Đa thức P(x)P(x) được viết dưới dạng: P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+aP(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0 trong đó an≠an≠0 là một đa thức bậc nn ký hiệu là degP=ndegP=n. P(x)P(x) có nghiệm x1,x2,...,xnx1,x2,…,xn thì P(x)=an(x−x1)(x−x2)...(x−xn).P(x)=an(x−x1)(x−x2)…(x−xn). Ví dụ 1:Hàm số f(x)=12x3+ax2+bx+cf(x)=12×3+ax2+bx+c có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt bằng −3;−1;2.−3;−1;2. Tìm f(x).f(x). Giải.Vì f(x)f(x) là một đa thức bậc ba có ba nghiệm −3;−1;2−3;−1;2 do đó f(x)=12(x+3)(x+1)(x−2).f(x)=12(x+3)(x+1)(x−2). Ví dụ 2:Đồ thị của hai hàm số f(x)=ax3+bx2+cx+12f(x)=ax3+bx2+cx+12 và g(x)=dx2+ex+34g(x)=dx2+ex+34 cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ −2;1;3.−2;1;3. Tìm h(x)=f(x)−g(x).h(x)=f(x)−g(x). Giải.Vì h(x)=ax3+(b−d)x2+(c−e)x−14h(x)=ax3+(b−d)x2+(c−e)x−14 là một đa thức bậc ba có ba nghiệm −2;1;3−2;1;3 do đó h(x)=a(x+2)(x−1)(x−3).h(x)=a(x+2)(x−1)(x−3). So sánh hệ số tự do của h(x)h(x) ta có −14=a(2)(−1)(−3)⇔a=−124.−14=a(2)(−1)(−3)⇔a=−124. Do đó h(x)=−124(x+2)(x−1)(x−3).h(x)=−124(x+2)(x−1)(x−3). Phân tích nhân tử cho đa thức bậc ba có chứa tham sốĐa thức bậc ba P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d tìm được một nghiệm đẹp x=xx=x0 khi đó P(x)=a(x−x)(x2+rx+s)P(x)=a(x−x0)(x2+rx+s) để tìm nhân tử x2+rx+sx2+rx+s ta thực hiện bằng máy tính bỏ túi như sau: READ: Lời bài hát Anh còn nợ em cực hay | L2r.vn MODE 2 (Vào môi trường số phức) Nhập P(x)a(x−x)−x2P(x)a(x−x0)−x2 và CALC với x=i(ENG)x=i(ENG) và tham số m=1000m=1000 Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức P(x)=x3+(m+1)x2+(m2+2m−1)x−3m3+3m2+m−1.P(x)=x3+(m+1)x2+(m2+2m−1)x−3m3+3m2+m−1. Giải. Nhập phương trình bậc ba x3+(m+1)x2+(m2+2m−1)x−3m3+3m2+m−1=x3+(m+1)x2+(m2+2m−1)x−3m3+3m2+m−1=0 ẩn xx với m=1000m=1000 ta được một nghiệm đẹp x=999=m−1.x=999=m−1. Vậy khi phân tích nhân tử thì P(x)=(x−m+1)(x2+rx+s)P(x)=(x−m+1)(x2+rx+s) ta tìm rx+srx+s như sau: MODE 2 Nhập x3+(m+1)x2+(m2+2m−1)x−3m3+3m2+m−1x−m+1−x2x3+(m+1)x2+(m2+2m−1)x−3m3+3m2+m−1x−m+1−x2 CALC với x=i(ENG);m=1000x=i(ENG);m=1000 ta được kết quả 2000i+2999999=2mx+3m2−1.2000i+2999999=2mx+3m2−1. Vậy rx+s=2mx+3m2−1.rx+s=2mx+3m2−1. Do đó P(x)=(x−m+1)(x2+2mx+3m2−1).P(x)=(x−m+1)(x2+2mx+3m2−1). Phân tích nhân tử cho đa thức bậc bốn có chứa tham sốĐa thức bậc bốn P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+eP(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e có nghiệm kép x=xx=x0 khi đó P(x)=a(x−x)2(x2+rx+s)P(x)=a(x−x0)2(x2+rx+s) để tìm nhân tử x2+rx+sx2+rx+s ta thực hiện như sau: MODE 2(Vào môi trường số phức) Nhập P(x)a(x−x)2−x2P(x)a(x−x0)2−x2 và CALCvới x=i(ENG)x=i(ENG) và tham số m=1000m=1000 Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức P(x)=x4−x3+x2−(4m3−3m2+2m)x+3m4−2m3+m2.P(x)=x4−x3+x2−(4m3−3m2+2m)x+3m4−2m3+m2. Giải. Đa thức P(x)P(x) có nghiệm kép x=mx=m do đó P(x)=(x−m)2(x2+rx+s)P(x)=(x−m)2(x2+rx+s) ta tìm rx+srx+s như sau: MODE 2 Nhập x4−x3+x2−(4m3−3m2+2m)x+3m4−2m3+m2(x−m)2−x2x4−x3+x2−(4m3−3m2+2m)x+3m4−2m3+m2(x−m)2−x2 CALC với x=i(ENG);m=1000x=i(ENG);m=1000 ta được kết quả 1999i+2998001=(2m−1)x+3m2−2m+1.1999i+2998001=(2m−1)x+3m2−2m+1. Vậy rx+s=(2m−1)x+3m2−2m+1.rx+s=(2m−1)x+3m2−2m+1. Vậy P(x)=(x−m)2(x2+(2m−1)x+3m2−2m+1). |