Câu - bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 trang 64, 65, 66 sbt hình học 12 nâng cao

Câu 1.

Hình chópD.ABCcó \(DA \bot mp(ABC),\) đáyABClà tam giác vuông tạiB. ĐặtAB = c, BC = a,AD = b. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

\(\eqalign{ & (A)\;{1 \over 3}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} ; \cr & (B)\;{1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} ; \cr & (C)\;\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} ; \cr & (D)\;2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} . \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (B).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot DA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow CB \bot \left( {DAB} \right) \Rightarrow CB \bot DB\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Dễ thấy các tam giác \(DAC,DBC,ABC\) vuông có cạnh huyền \(DC\) nên \(ID = IC = IA = IB\)

Do đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}IA = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}\sqrt {D{A^2} + A{C^2}} \\ = \frac{1}{2}\sqrt {D{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} \\ = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array}\)

Câu 2.

Cho điểmAvà đường thẳngdkhông đi quaA.Xét các mặt cầu có tâm thuộcdvà đi qua điểmA. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

(A) Các mặt cầu đó luôn đi qua một điểm cố định;

(B) Các mặt cầu đó luôn đi qua hai điểm cố định;

(C) Các mặt cầu đó luôn đi qua một đường tròn cố định;

(D) Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Lời giải chi tiết:

Chọn (C ).

Câu 3.

Cho bốn điểmA, B, C,Dcùng thuộc một mặt cầu và \(\widehat {ADB} = \widehat {BDC} = \widehat {CDA}\) =900. Một đường kính của mặt cầu đó là

(A) AB;

(B) BC;

(C ) AC;

(D)DD, trong đó \(\overrightarrow {DD'} = 3\overrightarrow {DG} \) vớiGlà trọng tâm tam giácABC.

Lời giải chi tiết:

Chọn (D).

Tứ diện ABCD vuông tại D nên dựng hình hộp chữ nhật như trên ta thấy:

8 điểm A, B, C, D, E, F, D, H cùng thuộc mặt cầu đã cho.

Đường kính mặt cầu này là DD.

Ngoài ra \(\overrightarrow {DD'} = 3\overrightarrow {DG} \) (đã biết từ lớp 11) nên chọn D.

Câu 4.

Cho mặt cầu (S1)bán kínhR1, mặt cầu(S2)có bán kính bằngR2mà \({R_2} = 2{R_1}\). Tỉ số diện tích của mặt cầu(S2)và mặt cầu(S1)bằng

\(\eqalign{ & (A)\;{1 \over 2}; \cr & (B)\;2; \cr & (C)\;3; \cr & (D)\;4. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (D).

\(\frac{{{S_2}}}{{{S_2}}} = \frac{{4\pi R_2^2}}{{4\pi R_1^2}} = {\left( {\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2{R_1}}}{{{R_1}}}} \right)^2} = 4\)

Câu 5.

Cho mặt phẳng(P)và điểmSnằm ngoài(P).GọiAlà điểm cố định thuộc(P)sao choSAkhông vuông góc với(P).Một đường thẳngdthay đổi, nằm trong(P)và luôn đi quaA. Tập hợp các hình chiếu của điểmStrên đường thẳngdlà

(A) Một mặt cầu;

(B) Một mặt trụ;

(C) Một mặt nón;

(D) Một đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Chọn (D).

Câu 6.

Cho điểmAcố định thuộc mặt cầu(S). Ba đường thẳng thay đổi đi quaA, đôi một vuông góc và cắt mặt cầu(S)tạiB, C, D. Xét hình hộp chữ nhật dựng trên ba cạnhAB, AC, AD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

(A)Hình hộp đó có một đường chéo cố định;

(B) Hình hộp đó có hai đường chéo cố định;

(C ) Hình hộp đó có ba đường chéo cố định;

(D) Hình hộp đó có không đường chéo cố định.

Lời giải chi tiết:

Chọn (A).

Câu 7.

Cho tam giác đềuABCcạnha. Gọi(P)là mặt phẳng quaBCvà vuông góc vớimp(ABC).Trongmp(P),xét đường tròn (C ) đường kínhBC. Bán kính của mặt cầu(S)đi qua (C ) và điểmAbằng

\(\eqalign{ & (A)\;a\sqrt 3 ; \cr & (B)\;{{a\sqrt 3 } \over 2}; \cr & (C)\;{{a\sqrt 3 } \over 3}; \cr & (D)\;{{a\sqrt 3 } \over 4}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (C ).

Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Bán kính mặt cầu \(AO = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Câu 8.

Gọi \({O_1},{O_2},{O_3}\) lần lượt là tâm các mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, tiếp xúc với các cạnh của một hình lập phương. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

(A) O1trùng với O2;

(B) O2trùng với O3;

(C ) O3trùng với O1;

(D) O1, O2, O3trùng nhau.

Lời giải chi tiết:

Chọn (D).

Câu 9.

Kí hiệuR1, R2, R3lần lượt là bán kính của các mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, tiếp xúc với các cạnh của một hình lập phương. Khi ấy :

\(\eqalign{ & (A)\;{R_1} > {R_2} > {R_3}; \cr & (B)\;{R_2} > {R_3} > {R_1}; \cr & (C)\;{R_1} > {R_3} > {R_2}; \cr & (D)\;{R_3} > {R_1} > {R_2}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (C ).

Câu 10.

Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó các cạnh cùng bằnga. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó là

\(\eqalign{ & (A)\;a\sqrt 2 ; \cr & (B)\;{{a\sqrt 2 } \over 2}; \cr & (C)\;a\sqrt 3 ; \cr & (D)\;{{a\sqrt 3 } \over 2}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (B ).

Mặt cầu cần tìm tâm \(O\) (hình vẽ)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta SOK \sim \Delta SDE \Rightarrow \frac{{SO}}{{SD}} = \frac{{SK}}{{SE}}\\ \Rightarrow SO = \frac{{SD.SK}}{{SE}} = \frac{{SD.SK}}{{\sqrt {S{D^2} - D{E^2}} }}\\ = \frac{{a.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Câu 11.

Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó các cạnh cùng bằnga. Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó là

\(\eqalign{ & (A)\;{{a\sqrt 2 } \over {2(1 + \sqrt 3 )}}; \cr & (B)\;{{a\sqrt 2 } \over {4(1 + \sqrt 3 )}}; \cr & (C)\;{{a\sqrt 3 } \over {2(1 + \sqrt 3 )}}; \cr & (D)\;{{a\sqrt 3 } \over {4(1 + \sqrt 3 )}}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (A ).

Gọi I và \(r\) là tâm, bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp, ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{S.ABCD}}\\ = {V_{I.SAB}} + {V_{I.SBC}} + {V_{I.SCD}}\\\,\,\,\, + {V_{I.SDA}} + {V_{I.ABCD}}\\ = \frac{1}{3}r.{S_{SAB}} + \frac{1}{3}r.{S_{SBC}} + \frac{1}{3}r.{S_{SCD}}\\\,\,\,\, + \frac{1}{3}r.{S_{SDA}} + \frac{1}{3}r.{S_{ABCD}}\\ = \frac{1}{3}r{S_{tp}}\\ \Rightarrow r = \frac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{tp}}}}\end{array}\)

Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có:

\(\begin{array}{l}SO = \sqrt {S{D^2} - D{O^2}} \\ = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) \( = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 4{S_{ABC}} + {S_{ABCD}}\\\,\,\,\,\,\,\, = 4.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + {a^2}\\\,\,\,\,\,\,\, = {a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Vậy \(r = \frac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{tp}}}}\) \( = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}}}{{{a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}\)

Câu 12.

Cho hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh cùng bằnga. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là

\(\eqalign{ & (A)\;7\pi {a^2}; \cr & (B)\;{{7\pi {a^2}} \over 2}; \cr & (C)\;{{7\pi {a^2}} \over 3}; \cr & (D)\;{{7\pi {a^2}} \over 6}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (C ).

Gọi O, O lần lượt là tâm hai tam giác đáy \(ABC\) và \(A'B'C'\).

Khi đó trung điểm \(I\) của \(OO'\) là tâm mặt cầu cần tìm.

Bán kính

\(\begin{array}{l}AI = \sqrt {A{O^2} + O{I^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\end{array}\)

Diện tích mặt cầu:

\(S = 4\pi A{I^2}\) \( = 4\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} = \frac{{7\pi {a^2}}}{3}\)

Câu 13.

Cho tam giác đềuABCcạnha. Gọi(P)là mặt phẳng quaBCvà vuông góc vớimp(ABC). Trong(P),xét đường tròn (C ) đường kínhBC. Diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón có đáy là (C ), đỉnh là A bằng

\(\eqalign{ & (A)\;{{\pi {a^2}} \over 2}; \cr & (B)\;{{\pi {a^2}} \over 3}; \cr & (C)\;\pi {a^2}; \cr & (D)\;2\pi {a^2}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Chọn (B).

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là:

\(IH = \frac{1}{3}AH\) \( = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Diện tích mặt cầu:

\(S = 4\pi I{H^2}\) \( = 4\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{3}\)

Câu 14.

Cho hai điểmA, Bcố định.Mlà điểm di động trong không gian sao cho \(\widehat {MAB}\) = 300. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

(A) M thuộc mặt cầu cố định;

(B) M thuộc mặt trụ cố định;

(C) M thuộc mặt phẳng cố định;

(D) M thuộc mặt nón cố định;

Lời giải chi tiết:

Chọn (D).

Câu 15.

Cho hai đường thẳng song songavàb. Gọi (P) và(Q)là các mặt phẳng thay đổi lần lượt đi quaa,bvà vuông góc với nhau. Gọiclà giao tuyến của(P)và(Q). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

(A) c thuộc mặt phẳng cố định;

(B) c thuộc mặt trụ cố định;

(C) c thuộc mặt nón cố định;

(D) Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Lời giải chi tiết:

Chọn (B).