Cho hai số thực dương x,y thỏa x+2y 3 tìm giá trị lớn nhất của p xy
|
Trang chủ Show Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023 Câu hỏi: Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\ln \frac{{x\left( {1 + y} \right)}}{{4\left( {2 – y} \right)}} = 2\left( {8 – x – 4y – xy} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x + 3y\). A. \(4\). B. \(5\). C. \(6\). D. \(7\). LỜI GIẢI CHI TIẾTĐiều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x\left( {1 + y} \right)}}{{4\left( {2 – y} \right)}} > 0\\x > 0\,;y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < y < 2\\x > 0\end{array} \right.\). Ta có: \(\ln \frac{{x\left( {1 + y} \right)}}{{4\left( {2 – y} \right)}} = 2\left( {8 – x – 4y – xy} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {x + xy} \right) – \ln \left( {8 – 4y} \right) = 2\left( {8 – 4y} \right) – 2\left( {x + xy} \right)\) \( \Leftrightarrow \ln \left( {x + xy} \right) + 2\left( {x + xy} \right) = \ln \left( {8 – 4y} \right) + 2\left( {8 – 4y} \right)\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = \ln t + 2t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Ta có\(f’\left( t \right) = \frac{1}{t} + 2 > 0,\forall t > 0\), suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó \(f\left( {x + xy} \right) = f\left( {8 – 4y} \right) \Leftrightarrow \)\(x + xy = 8 – 4y \Leftrightarrow x = \frac{{8 – 4y}}{{1 + y}}\). Khi đó: \(P = x + 3y = \frac{{8 – 4y}}{{1 + y}} + 3y\). Xét hàm số \(g\left( y \right) = \frac{{8 – 4y}}{{1 + y}} + 3y\) trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). Ta có: \(g’\left( y \right) = \frac{{ – 12}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + 3 = \frac{{3\left( {{y^2} + 2y – 3} \right)}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\); \(g’\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{3\left( {{y^2} + 2y – 3} \right)}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =- 3\,\,(L)\\y = 1\end{array} \right.\). Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\min P = 5\) khi \(x = 2,y = 1\). ======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Câu hỏi: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) bằng A. \(\sqrt 2 \). B. \(\sqrt 3 \). C. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\). D. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Với \(x,y\) là các số dương, ta có \({\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3(y – \sqrt {1 + x} ) – {y^2} + x \Leftrightarrow {\log _2}y + {y^2} – 3y = {\log _2}\sqrt {1 + x}+ (1 + x) – 3\sqrt {1 + x} \). Xét hàm \(f(t) = {\log _2}t + {t^2} – 3t\) trên \((0; + \infty )\). Ta có \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2t – 3 \ge 2\sqrt {\frac{2}{{\ln 2}}}- 3 > 0,{\rm{ }}\forall t > 0\) suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) Do đó\( \Leftrightarrow f(y) = f(\sqrt {1 + x} ) \Leftrightarrow y = \sqrt {1 + x}\Leftrightarrow {y^2} = 1 + x\). Khi đó \(P = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), ta có \(2({x^2} + 1) \ge {(x + 1)^2} \Rightarrow \sqrt 2\ge \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), dấu bằng xảy ra khi \(x = 1\). Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(x = 1,y = \sqrt 2 \). ======= Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì Suy luận nào sau đây đúng? Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Cho \(a > b > 0.\) Mệnh đề nào dưới đây sai?
Mã câu hỏi: 219452 Loại bài: Bài tập Chủ đề : Môn học: Toán Học Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài CÂU HỎI KHÁC
cho x,y là hai số thực dương thỏa x+y=3. Tìm giá trị lớn nhất của P=x2y Các câu hỏi tương tự cho x,y là 2 số thực thỏa mãn x+2y=1 tìm giá trị nhỏ nhất của P=xy Cho hai số dương x; y thỏa mãn: x + 2y = 3. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:. Tính M + m.
A.
B.
C.
D.
Đáp án và lời giải
Đáp án:B Lời giải: Theo đề:  Đáp án đúng là B.
Chia sẻ
Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
|
