Có bao nhiêu chuỗi bít có chiều dài là 8 và bắt đầu bằng bít 1 hoặc kết thúc bằng 2 bit 00

sach ĐẠI HỌC QUẢNG NGÃI BỘ ĐỀ TOÁN RỜI RẠC Dùng cho sinh viên khoa Công nghệ thông tin và cho thí sinh luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Biên soạn: BÙI TẤN NGỌC - 10/2011 - Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc [email protected] 1 Bài toán đếm Bài 1. Đếm số n gồm 2 chữ số, nếu: a. n chẵn Gọi AB là số thỏa mãn yêu cầu Vậy A có 9 cách chọn {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (không chọn 0, vì chọn 0 thì số này có 1 chữ số) B có 5 cách chọn {0, 2, 4, 6, 8} Theo nguyên lý nhân, ta có : 9 x 5 = 45 số b. n lẻ gồm 2 chữ số khác nhau Gọi AB là số thỏa mãn yêu cầu Vì là số lẻ, nên B có 5 cách chọn {1, 3, 5, 7, 9} Sau khi ta chọn B, thì A có 8 cách chọn Theo nguyên lý nhân, ta có : 5 x 8 = 40 số c. n chẵn gồm 2 chữ số khác nhau Gọi AB là số thỏa mãn yêu cầu Khi B = {0}. A có 9 cách chọn {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Số cách chọn trong trường hợp này là : 9 cách Khi B = {2, 4, 6, 8}. A có 8 cách chọn Số cách chọn trong trường hợp này là : 4 x 8 = 32 cách Theo nguyên lý cộng, ta có : 9 + 32 = 41 số Cách khác: Theo câu a ta có 45 số n chẵn. Ta có 4 chữ số chẵn gồm 2 chữ số giống nhau: 22, 44, 66, 88. => 45 – 4 = 41 số n chẵn gồm 2 chữ số khác nhau. : {0, 1, 2, 3, 4, 5} a. abc a {1, 2, 3, 4, 5}. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc [email protected] 2 a xong, b a) Sau k a, b c a, b) b. abc c : {0, 2, 4}. + Khi c a b như sau: c =0, a {1, 2, 3, 4, 5}. a, c b + Khi c c a b như sau: c, a c a, c b c a) Bài 3. Có bao nhiêu xâu khác nhau có thể lập được từ các chữ cái trong từ MISSISSIPI, COMPUTER yêu cầu phải dùng tất cả các chữ? Từ MISSISSIPI có chứa : 1 từ M, 4 từ I, 4 từ S và 1 từ P Số xâu khác nhau là : !1!.4!.4!.1 !10 Xâu COMPUTER , nên lập được 8! xâu. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc [email protected] 3 Bài 4. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 8 không chứa 6 số 0 liền? Gọi A là số xâu nhị phân độ dài 8 có chứa 6 số 0 liền nhau. B là số xâu nhị phân độ dài 8. => Số xâu cần đếm là : )()()( ANBNAN N(B) = 2.2.2.2.2.2.2.2 =2 8 = 256. N(A) = 10 (00x, 11x, 1x1, x11, x10 ,1x0, 10x, x01,0x1, 01x : x=000000) Vậy số xâu cần đếm là : 256 – 10 = 246 Bài 5. Đếm số byte a. Bất kỳ Số byte là một dãy số có dạng: xxxxxxxx, x có 2 cách chọn 0 hoặc 1. Theo nguyên lý nhân ta có : 2.2.2.2.2.2.2.2 = 2 8 = 256 b. Có đúng hai bít 0. Có nghĩa là chuỗi luôn có 2 bit 0 và các bit còn lại là 1. Bài toán này tương đương với tính số cách sắp xếp các xâu từ: 00111111 Đây là hoán vị lặp của 8 phần tử với 2 loại: 2 số 0 và 6 số 1.  8!/2!.6! = 7.8/2 = 28 xâu c. Có ít nhất 2 bit 0 = Số xâu bất kỳ (a) – Số xâu không có bit 0 - Số xâu có 1 bit 0 Số xâu không có bit 0 = 1 trường hợp (11111111) Số xâu có 1 bit 0 = 8!/1!7!= 8  256 – 1 – 8 = 247 d. Bắt đầu 00 và kết thúc 00 Xâu này có dạng : 00xxxx00 Theo nguyên lí nhân, ta có : 1. 2.2.2.2 = 2 4 = 16 e. Bắt đầu 11 và kết thúc không phải 11 Tốn rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc [email protected] 4 Gọi A là số xâu bắt đầu 11, có dạng 11xxxxxx Theo ngun lý nhân, ta có : A= 1.1.2.2.2.2.2.2 = 2 6 = 64 Gọi B là số xâu bắt đầu là 11 và kết thúc là 11, có dạng 11xxxx11 Theo ngun lý nhân, ta có : B= 1.1.2.2.2.2.1.1 = 2 4 = 16 Gọi C là số xâu bắt đầu 11 và kết thúc khơng phải 11 => C = A – B = 64 – 16 = 48 Bài 6. a. Mật khẩu máy tính gồm 1 chữ cái và 3 hoặc 4 chữ số. Tính số mật khẩu tối đa có thể. Dãy gồm 1 chữ cái và 3 chữ số có dạng: LNNN, NLNN, NNLN, NNNL Trong đó L là chữ cái có 26 cách chọn và mỗi N là chữ số có 10 cách chọn. Vì vậy theo ngun lý nhân, ta có : 4 × 26 × 10 × 10 × 10 = 104000. Tương tự dãy có 1 chữ cái và 4 chữ số : 5 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1300000. Theo ngun lý cộng, ta có: 104000+ 1300000 = 1404000 (mật khẩu). b. Như trên nhưng khơng lặp chữ số Số mật khẩu gồm 1 chữ cái và 3 chữ số = 4 × 26 × 10 × 9 × 8 = 74880 Số mật khẩu gồm 1 chữ cái và 4 chữ số = 5 × 26 × 10 × 9 × 8 × 7 = 655200 Theo ngun lý cộng, ta có: 74880 + 655200 = 730080 (mật khẩu). Bài 7. Đội bóng đá ACB có 20 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ, phân vào 11 vò trí trên sân để thi đấu chính thức. Hỏi có mấy cách chọn nếu : a. Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vò trí nào ? Chọn ra 11 cầu thủ trong 20 cầu thủ , xếp vào 11 vò trí trên sân. Số cách chọn bằng chỉnh hợp không lặp chập 11 của 20 phần tử : 0006704425728 !9 !20 )!1120( !20 )!( ! kn n A k n cách. b. Chỉ có một cầu thủ được chỉ đònh làm thủ môn, các cầu thủ khác chơi ở vò trí nào cũng được ? Tốn rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc [email protected] 5 Một cầu thủ đã chỉ đònh làm thủ môn, vậy ta cần chọn ra 10 cầu thủ trong 19 cầu thủ còn lại xếp vào 10 vò trí. Số cách chọn bằng chỉnh hợp không lặp chập 10 của 19 phần tử : 003352212864 !9 !19 )!1019( !19 )!( ! kn n A k n cách. c. Có 3 cầu thủ chỉ có thể làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vò trí nào cũng được ? Có 3 cách chọn 1 cầu thủ để làm thủ môn từ 3 cầu thủ. Sau khi ta chọn thủ môn xong, kế đến chọn 10 cầu thủ trong 17 cầu thủ còn lại để xếp vào 10 vò trí, có: 07057290240 !7 !17 )!1017( !17 )!( ! kn n A k n cách Theo nguyên lý nhân, ta có: 3 07057290240 = 211718707200 cách. Bài 8. Có 8 người đi vào 1 thang máy của một tòa nhà 13 tầng. Hỏi có bao nhiêu cách để : a. Mỗi người đi vào 1 tầng khác nhau. Số cách đi vào 8 tầng khác nhau của 8 người này là số cách chọn 8 trong số 13 tầng khác nhau (mỗi tầng được đánh số từ 1 đến 13). Đó là số chỉnh hợp không lặp chập 8 của 13 phần tử: 51891840 !5 !13 )!813( !13 )!( ! kn n A k n b. 8 người này, mỗi người đi vào 1 tầng bất kì nào đó. Mỗi người có 13 cách lựa chọn từ tầng 1 đến 13. Mà có 8 người. Vậy số cách chọn là 8 13 . Bài 9. Có bao nhiêu xâu có độ dài 10 được tạo từ tập {a, b, c} thỏa mãn ít nhất 1 trong 2 điều kiện: - Chứa đúng 3 chữ a & chúng phải đứng cạnh nhau - Chứa đúng 4 chữ b & chúng phải đứng cạnh nhau Gọi A là số xâu có độ dài 10 có chứa đúng 3 chữ a đứng cạnh nhau. B là số xâu có độ dài 10 có chứa đúng 4 chữ b đứng cạnh nhau. Như vậy: A B là số xâu mà ta phải tìm. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc [email protected] 6 Theo nguyên lý bù trừ, ta có: N(AUB) = N(A) + N(B) - N(A∩B) Ta tính N(A) như sau: Xét trường hợp aaa ở đầu: aaaX 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7. - X i (i=1 7) chỉ có 2 giá trị là b, c, vậy số trường hợp đối với 7 ký tự này giống như xâu nhị phân có độ dài 7, hay bằng 2 7 trường hợp. - Xâu aaa, có thể được xếp vào 8 vị trí (aaaX 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7, X 1 aaaX 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 , X 1 X 2 aaaX 3 X 4 X 5 X 6 X 7 , X 1 X 2 X 3 aaaX 4 X 5 X 6 X 7 , X 1 X 2 X 3 X 4 aaaX 5 X 6 X 7 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 aaaX 6 X 7 , X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 aaaX 7 , X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 aaa). Vì vậy: N(A) = 8.2 7 + Tương tự, số lượng xâu có 4 chữ b đứng cạnh nhau, N(B) = 7.2 6 + N(A∩B) được tính bằng cách gộp aaa = X, bbbb = Y, còn lại là 3 chữ c. Ta tính số xâu từ dãy: XcccY có: 5!/1!3!1! = 4.5 = 20 trường hợp. Vậy số xâu cần tính là: 8.2 7 + 7.2 6 - 20 = 2476. Bài 10. (Đề thi cao học ĐH CNTT TP HCM-2010) Xét biển số xe: A 1 A 2 A 3 N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 A i (i=1 3): A->Z; N j (j=1 6): 0->9 a. Hỏi có bao nhiêu biển số khác nhau? b. Hỏi có bao nhiêu biển số thỏa điều kiện: ba mẫu tự khác nhau đôi một và trong biển số có đúng 1 chữ số 3 và 1 chữ số 5? c. Hỏi có bao nhiêu biển số thỏa điều kiện: trong biển số có ít nhất 1 chữ số 3 và 1 chữ số 5? a. A i (i=1 3) có 26 cách chọn từ 26 chữ cái tiếng Anh từ A Z N j (j=1 6) có 10 cách chọn từ 10 chữ số từ 0 9 Theo nguyên lý nhân ta có: 26.26.26.10.10.10.10.10.10 = 26 3 .10 6 biển số. b. Số cách chọn 3 mẫu tự A 1 A 2 A 3 khác nhau: A1 có 26, A2 có 25, A3 có 24 cách. Số cách chọn 4 chữ số N 1 N 2 N 3 N 4 không có số 3 và số 5: 8.8.8.8 = 8 4 cách. Số cách đặt số 3 vào dãy 4 chữ số N 1 N 2 N 3 N 4 là 5 cách, đó là: 3N 1 N 2 N 3 N 4 , N 1 3N 2 N 3 N 4 , N 1 N 2 3N 3 N 4 , N 1 N 2 N 3 3N 4 , N 1 N 2 N 3 N 4 3. Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc [email protected] 7 Tương tự số cách đặt số 5 vào 5 dãy có 5 chữ số đã liệt kê ở trên là : 5.6=30 Theo nguyên lý nhân, ta có : 24. 8 4 .30 cách. c. Gọi A là số biển số không có chứa chữ số 3 và chữ số 5. N A = 26 3 .8 6 biển số Gọi B là số là số biển số có chứa chữ số 3 và không có chứa chữ số 5. N B = 26 3 .9 6 biển số Gọi C là số là số biển số có không chứa chữ số 3 và có chứa chữ số 5. N C = 26 3 .9 6 biển số Gọi D số biển số có ít nhất 1 chữ số 3 và 1 chữ số 5 N D = N – N A – N B - N C Theo câu a: N= 26 3 .10 6 = 26 3 .10 6 - 26 3 .9 6 - 26 3 .9 6 - 26 3 .8 6 = 26 3 (10 6 – 2.9 6 - 8 6 ). Bài 11. a. Có bao nhiêu số có n chữ số mà có m chữ số đầu và m chữ số cuối tương ứng giống nhau. (n>2m>2, n,m N). Gọi A dãy số cần tìm, A có dạng: Số cách chọn m chữ số đầu tiên và m chữ số cuối tương ứng giống nhau bằng chỉnh hợp lặp chập m của 10 phần tử (0 9): 9.10 m-1 (Chữ số đầu có 9 cách chọn, vì bỏ số 0 đứng đầu). Số cách chọn dãy số ở giữa: Dãy này gồm có n-2m chữ số. Số cách chọn là: 10 n-2m . Theo nguyên lý nhân, ta có: 9. 10 m-1 .10 n-2m chữ số. b. Ứng dụng tính số chữ số có 10 chữ số mà 3 chữ số đầu và 3 chữ số cuối tương ứng giống nhau. Số chữ số thỏa mãn đề bài bằng: 9.10 2 .10 10-6 = 9.10 2 .10 4 = 9000000. xx…xbb…bxx…x n m Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc [email protected] 8 Bài 12. (Đề thi cao học Đà Nẵng - 8/2008) a. Trong một lớp học có 30 người. Cho biết có bao nhiêu cách cử một ban đại diện gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ. Có 30 cách chọn 1 lớp trưởng. Sau khi chọn 1 lớp trưởng xong, có 29 cách chọn 1 lớp phó. Sau khi chọn 1 lớp trưởng, 1 lớp phó xong, có 28 cách chọn 1thủ quĩ. Theo nguyên lý nhân, ta có : 30.29.28 = 24360 cách chọn. Cách khác: Số cách chọn chính bằng số chỉnh hợp không lặp chập 3 của 30 phần tử : A(30,3) = 30!/(30-3)!= 24360. b. Cho biết có thể nhận bao nhiêu xâu ký tự khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ cái của từ SUCCESS. Từ SUCCESS có: 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U và 1 chữ E. Vậy có : 4207.6.5.2 2 7.6.5.4 !1!.2!.1!.3 !7 xâu khác nhau. Bài 13. (Đề thi cao học Đà Nẵng - 2/2009) a. Giả sử chúng ta có 5 viên bi giống nhau và 3 chiếc túi khác màu là xanh, vàng và đỏ. Cho biết có bao nhiêu cách bỏ bi vào các túi? Ví dụ: cách 1 -> túi xanh 5 viên, túi vàng và túi đỏ không có bi; cách 2 -> túi xanh 3 viên, túi vàng và túi đỏ mỗi túi 1 viên, … Số cách bỏ bi tương ứng chính bằng số tổ hợp lặp chập 5 từ tập có 3 phần tử là: 21 2 7.6 !2)!.27( !7 2 7 13 153 1 1 CCC n kn b. Giả sử chúng ta có 5 viên bi (2 bi sắt, 2 bi chai và 1 bi đất) và 3 chiếc túi màu xanh, vàng và đỏ. Cho biết có bao nhiêu cách bỏ bi vào các túi? Ví dụ: Cách 1 túi xanh chứa 2 bi sắt, túi vàng 2 bi chai và túi đỏ 1 bi đất; cách 2 -> túi xanh 1 bi sắt, túi vàng 2 bi chai + 1 bi sắt và túi đỏ 1 bi đất, … Ta bỏ lần lượt từng loại vào 3 cái túi: + Bỏ 2 viên bi sắt vào 3 cái túi, có 6 2 4.3 !2)!.2( !4 2 4 13 123 1 1 CCC n kn cách bỏ Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính ấn Ngọc [email protected] 9 + Bỏ 2 viên bi chai vào 3 cái túi, có 6 2 4.3 !2)!.2( !4 2 4 13 123 1 1 CCC n kn cách bỏ bi + Bỏ 1 viên bi chai vào 3 cái túi, có 3 !2!.1 !3 2 3 13 113 1 1 CCC n kn cách bỏ bi Theo nguyên lý nhân, ta có: 6.6.3 = 108 cách bỏ bi. c. Giả sử chúng ta có 5 viên bi (2 bi sắt, 2 bi chai và 1 bi đất. Cho biết có bao nhiêu cách sắp chúng thành hàng? Ví dụ: sắt sắt chai chai đất, sắt chai sắt chai đất,… Cách sắp các viên bi thành hàng chính bằng hoán vị lặp của 5 phần tử, trong đó 2 bi sắt, 2 bi chai và 1 bi đất, vậy có: 30 2 5.4.3 !1!.2!.2 !5 cách sắp bi. 14. (Đề thi cao học ĐH CNTT TPHCM -5/2001) a. Tìm số các chuỗi 8 bits thỏa mãn điều kiện: bit đầu tiên là 1 hay 2 bit cuối là 0 Gọi A là số chuỗi 8bits có bit đầu tiên là 1 B là số chuỗi 8bits có 2 bit cuối là 0. Theo nguyên lý bù trừ, ta có N(A B) = N(A) + N(B) – N(A B) Tính N(A): Gọi S=s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 là chuỗi 8bits có bit đầu tiên là 1. Vậy s 1 có 1 trường hợp, s i (i=2 8) có 2 trường hợp 0 và 1. Theo nguyên lý nhân, ta có: N(A) = 1.2.2.2.2.2.2.2 = 2 7 Tương tự: N(B) = 2 6 . N(A B) = 2 5 Vậy: N(A B) = 2 7 + 2 6 – 2 5 = 160 b. Mỗi người sử dụng một hệ thống máy tính của một công ty X phải sử dụng một password dài từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký tự là một chữ cái hoặc là một chữ s Mỗi password phải có ít nhất một chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu password khác nhau? n . 123doc.vn

Xem thêm: 5440, 5440, , n lẻ gồm 2 chữ số khác nhau n chẵn gồm 2 chữ số khác nhau c b a c c b Bất kỳ Số byte là một dãy số có dạng: xxxxxxxx, x có 2 cách chọn 0 hoặc 1., Có đúng hai bít 0. Có nghĩa là chuỗi ln có 2 bit 0 và các bit còn lại là 1. Có ít nhất 2 bit 0 Bắt đầu 00 và kết thúc 00 Xâu này có dạng : 00xxxx00 Bắt đầu 11 và kết thúc khơng phải 11, Hãy sắp xếp chúng theo thứ tự tăng đối với thứ tự từ điển. Cho biết giữa s1 và s3 có bao nhiêu chuỗi ký tự có chiều dài 6. Phương trình Bất phương trình x, Phương trình x54., Có bao nhiêu cách chia kẹo sao cho em nào cũng có ít nhất 1 viên Gọi x, Mỗi ngăn được đánh số phân biệt b. Các ngăn như nhau, Hãy cho biết các cách mơ tả, hay biểu diễn một tập hợp? Cho ví dụ., Hãy giải thích cơng thức đệ quy trên: Giải hệ thức truy hồi trên. Viết hàm An để tính a, Tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu a = 8, a Biết giá trị đầu a Tìm hệ thức truy hồi cho số các xâu nhị phân chứa xâu 00, Lập hệ thức truy hồi tính D Dân số Việt Nam năm 2020 là bao nhiêu?, Cho biết biểu thức nào trong số các biểu thức sau đây là đồng nhất đúng, Tối thiểu hàm Boole Tối thiểu hóa hàm Boole bằng bảng Karnaugh : Dạng chuẩn tắc tối thiểu, Tìm dạng tuyển chuẩn tắc hồn tồn đầy đủ của f. Tìm dạng tuyển chuẩn tắc thu gọn của f bằng bảng Karnaugh. , ,, Biểu diễn đồ thị trên bằng ma trận kề Bậc vào của đỉnh X3 Đỉnh X3 có 2 cung đi vào, nên bậc của nó là: deg Tìm ổn định ngồi G Ta có tập đỉnh V={x1, x2, x3, x4, x5, x6} Biểu diễn đồ thị trên bằng ma trận kề Tìm số ổn định trong của đồ thị Tập các ổn định, Tìm nhân của đồ thị Các tập : {x1, x5, x7} Biểu diễn đồ thị trên bằng ma trận kề Tìm số ổn định ngồi của đồ thị Số ổn định trong A1={x1, x3, x4} Vơ hướng Có hướng, Tìm đường đi ngắn nhất từ x1 đến x14 Tìm đường đi ngắn nhất từ x1 đến x14 có chứa đỉnh X7 Tìm đường đi ngắn nhất từ V1 đến các đỉnh của đồ thị., Tìm cây phủ nhỏ nhất của G. Đồ thị có hướng Vẽ đồ thị, Đề thi cao học 32011 – ĐH Đà Nẵng