Công thức nghiệm của phương trình cos x = cos alpha là

1. Phương trình $\sin x = a$ (1)

* $\left| a \right| > 1$: phương trình (1) vô nghiệm.

* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\sin \alpha  = a$. Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là:

$x = \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Và $x = \pi  - \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} \le \alpha  \le \frac{\pi }{2}$ và $\sin \alpha  = a$ thì ta viết $\alpha  = \arcsin \alpha $.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

$x = \arcsin \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Và $x = \pi  - \arcsin \alpha  + k2\pi ,k \in Z$.

Phương trình $\sin x = \sin {\beta ^o}$ có các nghiệm là:

$x = {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$

Và $x = {180^o} - {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$.

2. Phương trình $\cos x = a$ (2)

* $\left| a \right| > 1$:  phương trình (2) vô nghiệm.

* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\cos \alpha  = a$. Khi đó phương trình (2) có nghiệm là:

$x =  \pm \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 \le \alpha  \le \pi $ và $\cos \alpha  = a$ thì ta viết $\alpha  = \arccos \alpha $.

Khi đó nghiệm của phương trình (2) là:

$x =  \pm \arcsin \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Phương trình $\cos x = \cos {\beta ^o}$ có nghiệm là:

$x =  \pm {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$

3. Phương trình $\tan x = a$ (3)

Điều kiện của phương trình (3): $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z$

Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{\pi }{2}$ và $\tan \alpha  = a$ thì ta viết $\alpha  = \arctan \alpha $.

Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là:

$x = \arctan \alpha  + k\pi ,k \in Z$

Phương trình $\tan x = \tan {\beta ^o}$ có nghiệm là:

$x = {\beta ^o} + k{180^o},k \in Z$

4. Phương trình $\cot x = a$ (4)

Điều kiện của phương trình (4): $x \ne k\pi ,k \in Z$

Nếu  $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 < \alpha  < \pi $ và $\cot \alpha  = a$ thì ta viết $\alpha  = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \alpha $.

Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:

$x = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \alpha  + k\pi ,k \in Z$

Phương trình $\cot x = \cot {\beta ^o}$ có nghiệm là:

$x = {\beta ^o} + k{180^o},k \in Z$

---

Page 2

SureLRN

Cùng tìm hiểu phương trình lượng giác qua bài viết cùng bài giảng dưới đây nhé!.

Các dạng phương trình lượng giác

Phương trình sinx = m

Nếu \(\left | m \right |\)>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu \(\left | m \right |\) \(\leq\) 1 thì chọn 1 góc \(\alpha\) sao cho \(\sin \alpha = m\).

Khi đó nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = \pi – \alpha +k2\pi & \end{matrix}\right.\) với \(k \epsilon \mathbb{Z}\)

Phương trình cosx = m

Nếu \(\left | m \right |\)>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu \(\left | m \right |\) \(\leq\) 1 thì chọn 1 góc \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha = m\) .

Khi đó nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = – \alpha + k2\pi & \end{matrix}\right.\) với \(k \epsilon \mathbb{Z}\)

Phương trình tanx = m

Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\tan \alpha = m\).

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

\(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \epsilon \mathbb{Z})\)

Hoặc \(\tan x = m \Leftrightarrow m – \arctan m + k\pi\) (m bất kỳ)

Chú ý: \(\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\), \(\tan x\) không xác định khi \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi\)

Phương trình cot(x) = m

Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\csc \alpha = m\).

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

\(\csc x = \csc \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k\epsilon \mathbb{Z})\) Hoặc \(\cot x = m \Leftrightarrow m = \textrm{arccsc}m + k\pi\) (m bất kỳ)

Chú ý: \(\csc x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\),

\(\csc x\) không xác định khi \(x = k\pi\)

Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:

Phương trình lượng giác chứa tham số

Phương trình lượng giác chứa tham số dạng \(a\sin x + b \cos x = c\) có nghiệm khi và chỉ khi \(a^{2} + b^{2} \geq c^{2}\)

Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:

• Thứ nhất đưa về PT lượng giác cơ bản
• Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm

Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản

• Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
• Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

Ví dụ: Xác định m để phương trình \((m^{2} – 3m + 2)\cos ^{2}x = m(m-1)\) (1) có nghiệm.

Cách giải

\((1)\Leftrightarrow (m-1)(m-2)\cos ^{2}x = m (m-1)\) (1’)

Khi m = 1: (1) luôn đúng với mọi \(x\epsilon \mathbb{R}\)

Khi m = 2: (1) vô nghiệm

Khi \(m\neq 1; m\neq 2\) thì:

(1’) \(\Leftrightarrow (m-2)\cos ^{2}x = m \Leftrightarrow \cos ^{2}x = \frac{m}{m-2}\)  (2)

Khi đó (2) có nghiệm \(\Leftrightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0\)

Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, \(m\leq 0\)

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát

Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g(x,m) = 0 (1). Xác định m để phương trình (1) có nghiệm \(x\epsilon D\)

Phương pháp:

• Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)
• Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
• Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0
• Tính f’(m, t) và lập bảng biến thiên trên miền D1
• Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của DINHNGHIA.VN. Nếu có góp ý hay băn khoăn thắc mắc gì các bạn bình luận bên dưới nha.Cảm ơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé ^^

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:

(Nguồn: www.youtube.com)

Please follow and like us: