Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu nội tiếp
|
- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện. Show
- Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu nó tiếp xúc với mọi mặt của đa diện. - Trục đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. + Mọi điểm nằm trên trục đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đáy và ngược lại. - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn + Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại. - Hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp, hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.
 - Hình chóp nội tiếp được mặt cầu nếu và chỉ nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp được đường tròn. + Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông.
- Hình chóp đều:
Bán kính: \(R = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\) với \(b\) là độ dài cạnh bên, \(h\) là chiều cao hình chóp. - Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:
Bán kính \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r\) là bán kính đường tròn đáy, \(h\) là chiều cao hình chóp.
Đặc biệt: tứ diện vuông: \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} \) với \(a,b,c\) là ba cạnh bên xuất phát từ đỉnh các góc vuông. - Lăng trụ nội tiếp được mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn.
Bán kính \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r\) là bán kính đường tròn đáy, \(h\) là chiều cao lăng trụ đứng. 3. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầuCho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\), khi đó: - Công thức tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\) - Công thức tính thể tích khối cầu: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)
- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện. - Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu nó tiếp xúc với mọi mặt của đa diện. - Trục đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. + Mọi điểm nằm trên trục đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đáy và ngược lại. - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn + Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại. - Hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp, hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp. - Hình chóp nội tiếp được mặt cầu nếu và chỉ nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp được đường tròn. + Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông. - Hình chóp đều: Bán kính: \(R = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\) với \(b\) là độ dài cạnh bên, \(h\) là chiều cao hình chóp. - Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy: Bán kính \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r\) là bán kính đường tròn đáy, \(h\) là chiều cao hình chóp.
Đặc biệt: tứ diện vuông: \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} \) với \(a,b,c\) là ba cạnh bên xuất phát từ đỉnh các góc vuông. - Lăng trụ nội tiếp được mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn. Bán kính \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r\) là bán kính đường tròn đáy, \(h\) là chiều cao lăng trụ đứng. 3. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầuCho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\), khi đó: - Công thức tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\) - Công thức tính thể tích khối cầu: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\) Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáyTrong đóRdlà bán kính ngoại tiếp đáy;hlà độ dài cạnh bên vuông góc với đáy. Ví dụ 1. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật vớiAB=3a,BC=4a,SA=12avàSAvuông góc với đáy. Tính bán kínhRcủa mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD. Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122 Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)Trong đóRdlà bán kính ngoại tiếp đáy;hlà độ dài cạnh bên. Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kínhRngoại tiếp một hình lập phương cạnha.Mệnh đề nào dưới đây đúng ?Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124 Ví dụ 2:Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A′B′C′có các cạnh đều bằnga. Tính diện tíchS của mặt cầu đi qua6đỉnh của hình lăng trụ đó. Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng |
