Đề bài - bài 1.24 trang 25 sbt đại số và giải tích 11

Đề bài

Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\sin 3x-\cos x=0\) thuộc đoạn\(\left[ { -\frac{{\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)là

A. \(\dfrac{3\pi}{2}\) B. \(\dfrac{4\pi}{3}\)

C. \(\dfrac{5\pi}{4}\) D. \(\pi\).

Lời giải chi tiết

Ta có:\(\sin 3x-\cos x=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 3x=\cos x\)

\(\Leftrightarrow\sin 3x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-(\dfrac{\pi}{2}-x)+k2\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Trong đoạn\(\left[ { -\frac{{\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\), với \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}\) ta có 4 giá trị là \(-\dfrac{3\pi}{8}\),\(\dfrac{\pi}{8}\),\(\dfrac{5\pi}{8}\) và\(\dfrac{9\pi}{8}\) ứng với các giá trị\(k=-1\), \(0\), \(1\) và \(2\) trong đó \(\dfrac{9\pi}{8}\) là giá trị lớn nhất.

Với \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) ta có 2 giá trị là \(\dfrac{\pi}{4}\) và\(\dfrac{5\pi}{4}\) ứng với các giá trị\(k=-1\), \(0\) và \(1\) trong đó \(\dfrac{5\pi}{4}\) là giá trị lớn nhất.

Vì\(\dfrac{5\pi}{4} > \dfrac{9\pi}{8}\) nên\(\dfrac{5\pi}{4}\) là nghiệm lớn nhất của phương trình trong\(\left[ { -\frac{{\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)

Đáp án: C.

Cách trắc nghiệm:

Ta xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.

Với giá trị lớn nhất 4π/3 trong phương án B, ta thấy sin3x = 0 nhưng cosx 0 nên phương án B bị loại.

Với giá trị x = 5π/3 trong phương án C thì sin3x = (-2)/2, cos5π/3 = (-2)/2 nên 5π/4 là nghiệm của phương trình.