Đề bài
Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.
a. Tính khoảng cách từ I đến AB
b. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Vận dụng tính chất của tam giác cân và tính chất về giao điểm hai đường chéo của hình vuông.
- Xác định khoảng cách giữa I với đoạn thẳng AB.
Lời giải chi tiết
a. Kẻ CE AB, IH AB, DF AB
CE // DF // IH [cùng vuông với AB]
Suy ra DCEF là hình thang.
Xét hình thang DCEF có:
CE // DF // IH và IC = ID [vì I là trung điểm của CD]
Nên H là trung điểm cạnh EF
Suy ra IH là đường trung bình của hình thang DCEF
\[ \Rightarrow IH = \displaystyle{{DF + CE} \over 2}\] [1]
Vì C là tâm hình vuông AMNP nên \[CA=CM\] [tính chất] và \[\widehat{ACM}=90^0\]
CAM là tam giác vuông cân tại C
Lại có CE AM hay CE là đường cao của tam giác cân CAM
CE cũng là đường trung tuyến [tính chất tam giác cân]
CE = \[\displaystyle {1 \over 2}\]AM [đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền]
Vì D là tâm hình vuông BMLKnên \[DB=DM\] [tính chất] và \[\widehat{MDB}=90^0\]
DBM vuông cân tại D
Có DF BM nên DF là đường cao của tam giác cân DBM
DF cũng là đường trung tuyến [tính chất tam giác cân]
DF = \[\displaystyle{1 \over 2}\]BM[đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền]
Vậy CE + DF = \[\displaystyle{1 \over 2}\]AM + \[\displaystyle{1 \over 2}\]BM
= \[\displaystyle{1 \over 2}\] [AM + BM] = \[\displaystyle{1 \over 2}\]AB = \[\displaystyle{a \over 2}\]
Từ [1] ta suy ra:
\[ \Rightarrow IH = \displaystyle{{DF + CE} \over 2}\]\[=\displaystyle{{\displaystyle{a \over 2}} \over 2} = {a \over 4}\]
b. Gọi Q là giao điểm của BL và AN
Ta có: AN MP [2] [tính chất hình vuông APNM]
BL MK [3] [tính chất hình vuông BMLK]
Lại có:\[\widehat {PMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMN} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\] [do APNM là hình vuông nên MP là phân giác góc AMN]
\[\widehat {KMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {BML} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\][do BMLK là hình vuông nên MK là phân giác góc BML]
\[ \Rightarrow \widehat {PMK} = \widehat {PMN} + \widehat {NMK} \]\[= {45^0} + {45^0} = {90^0}\]
Suy ra MP MK [4]
Từ [2], [3] và [4] suy ra BL AN
Lại có\[\widehat {QAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {MAP} \]\[= \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\] [do APNM là hình vuông]
QAB vuông cân tại Q cố định.
Khi M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng \[\displaystyle{a \over 4}\] nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng \[\displaystyle{a \over 4}\]
Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ
Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ
Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng \[\displaystyle{a \over 4}\] .