Đề bài
Cho đường tròn \[[O],\] hai dây \[AB\] và \[CD\] cắt nhau tại điểm \[M\] nằm bên trong đường tròn. Gọi \[H\] và \[K\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\] Cho biết \[AB >CD,\] chứng minh rằng \[MH > MK.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Trong hai dây của một đường tròn:Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+] Trong một đường tròn: Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
+] Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
Xét [O] có \[HA = HB \;[gt]\]
Suy ra: \[OH AB\] [đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó]
Xét [O] có\[KC = KD\;\; [gt]\]
Suy ra: \[OK CD\] [đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó]
Mà \[AB > CD \;\;[gt]\]
Nên \[OK > OH\] [ dây lớn hơn thì gần tâm hơn]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \[OHM\] ta có:
\[O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}\]
Suy ra: \[H{M^2} = O{M^2} - O{H^2}\] \[ [1]\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \[OKM,\] ta có:
\[O{M^2} = O{K^2} + K{M^2}\]
Suy ra: \[K{M^2} = O{M^2} - O{K^2}\] \[[2]\]
Mà \[OH < OK [cmt] \] \[ [3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra: \[H{M^2} > K{M^2}\] hay \[HM > KM.\]