Đề bài
Chứng minh rằng nếu tam giác \[ABC\] có chu vi \[2p,\] bán kính đường tròn nội tiếp bằng \[r\] thì diện tích \[S\] của tam giác có công thức: \[S = p.r\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \[I\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[\Delta ABC\].
Để tính diện tích tam giác\[\Delta ABC\] ta tính diện tích các tam giác\[\Delta IAB,\]\[\Delta IBC,\]\[\Delta ICA.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[I\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\]
Nối \[IA, IB, IC.\]
Khoảng cách từ tâm \[I\] đến các tiếp điểm là đường cao của các tam giác \[IAB, IAC, IBC.\]
Ta có: \[{S_{ABC}} = {S_{IAB}} + {S_{IAC}} + {S_{IBC}}\]
\[=\displaystyle {1 \over 2}.AB.r + {1 \over 2}.AC.r + {1 \over 2}.BC.r\]
\[= \displaystyle{1 \over 2}[AB + AC + BC].r\]
Mà \[AB + AC + BC = 2p\]
Nên \[{S_{ABC}} = \displaystyle{1 \over 2}.2p.r = p.r\]