Đề bài
Cho hình bình hành \[ABCD\] và đường thẳng \[xy\] không có điểm chung với hình bình hành. Gọi \[AA, BB, CC,\] \[DD\] là đường vuông góc kẻ từ \[A, B, C, D\] đến đường thẳng \[xy.\] Tìm mối liên hệ độ dài giữa \[AA, BB, CC, DD.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+] Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Lời giải chi tiết
Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]
Vì ABCD là hình bình hành nên \[OA=OC, OB=OD\] [tính chất hình bình hành]
Kẻ \[OO xy\]
\[AA xy\;\; [gt]\]
\[ CC xy [gt] \]
Suy ra: \[AA// OO // CC\]
Tứ giác \[ACC'A\] là hình thang có: \[OA = OC\] [chứng minh trên]
\[OO // AA\] nên \[O'\] là trung điểm của \[A'C'\]
Suy ra \[OO\] là đường trung bình của hình thang \[ACCA.\]
\[OO = \displaystyle {{{\rm{AA'}} + CC'} \over 2}\] [tính chất đường trung bình của hình thang] \[[1]\]
\[BB xy \;\;[gt]\]
\[DD xy\;\; [gt]\]
\[OO xy\] [theo cách vẽ]
Suy ra: \[BB // OO // DD\]
Tứ giác \[BDDB\] là hình thang có: \[ OB = OD\] [chứng minh trên]
\[OO // BB \] nên \[O'\] là trung điểm của \[B'D'\]
Suy ra \[OO\] là đường trung bình của hình thang BDDB
\[OO = \displaystyle {{BB' + {\rm{DD}}'} \over 2}\] [tính chất đường trung bình của hình thang] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[AA + CC = BB + DD\]