- LG a
- LG b
Chú ý rằng vì \[{\left[ {x + a} \right]^2} \ge 0\] với mọi giá trị của \[x\] và \[{\left[ {x + a} \right]^2} = 0\] khi \[x = - a\] nên \[{\left[ {x + a} \right]^2} + b \ge b\] với mọi giá trị của \[x\] và \[{\left[ {x + a} \right]^2} + b = b\] khi \[x = - a\]. Do đó giá trị nhỏ nhất của \[{\left[ {x + a} \right]^2} + b\] bằng \[b\] khi \[x = - a\]. Áp dụng điều này giải các bài tập sau:
LG a
Rút gọn rồi tìm giá trị của \[x\] để biểu thức \[\displaystyle {{{x^2}} \over {x - 2}}.\left[ {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right] + 3\] có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Phương pháp giải:
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc để rút gọn biểu thức.
- Vận dụng kiến thức đã cho ở đầu bài và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle{{{x^2}} \over {x - 2}}.\left[ {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right] + 3\] [điều kiện \[x \ne 2\] và \[x \ne 0\] ]
\[\displaystyle= {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{x^2} + 4 - 4x} \over x} + 3\]
\[\displaystyle= {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}} \over x} + 3\]
\[ = x\left[ {x - 2} \right] + 3\]
\[= {x^2} - 2x +3\]
\[= {x^2} - 2x + 1 + 2\]
\[= {\left[ {x - 1} \right]^2} + 2 \]
Ta có: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} \ge 0\] \[ \Rightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + 2 \ge 2\] với mọi giá trị của \[x\]
Nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng \[2\] khi \[x = 1\].
Mà \[x = 1\] thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng \[2\] tại \[x = 1\].
LG b
Rút gọn rồi tìm giá trị của \[x\] để biểu thức \[\displaystyle{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}} \over x}.\left[ {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right] \]\[-\displaystyle {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\] có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.
Phương pháp giải:
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc để rút gọn biểu thức.
- Vận dụng kiến thức đã cho ở đầu bài và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}} \over x}.\left[ {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right] \]\[-\displaystyle {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\] [điều kiện \[x \ne 0\] và \[x \ne - 2\]]
\[\displaystyle= {{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}} \over x}.{{x + 2 - {x^2}} \over {x + 2}} \]\[-\displaystyle {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\]
\[\displaystyle= {{\left[ {x + 2} \right]\left[ {x + 2 - {x^2}} \right]} \over x} \]\[-\displaystyle {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\]
\[\displaystyle = {{{x^2} + 2x - {x^3} + 2x + 4 - 2{x^2} - {x^2} - 6x - 4} \over x}\]
\[\displaystyle= {{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x} \over x}\]
\[\displaystyle = {{ - x\left[ {{x^2} + 2x + 2} \right]} \over x}\]
\[= - \left[ {{x^2} + 2x + 2} \right]\]
\[= - \left[ {\left[ {{x^2} + 2x + 1} \right] + 1} \right]\]
\[= - \left[ {{{\left[ {x + 1} \right]}^2} + 1} \right]\]
\[= - {\left[ {x + 1} \right]^2} - 1\]
Vì \[{\left[ {x + 1} \right]^2} \ge 0\] \[ \Rightarrow - {\left[ {x + 1} \right]^2} \le 0\] \[ \Rightarrow - {\left[ {x + 1} \right]^2} - 1 \le - 1 \]
Nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng \[ 1\] khi \[x = - 1\].
Mà \[x = - 1\] thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng \[ 1\] tại \[x = - 1 \].