Đề bài - bài 19 trang 80 sgk đại số 10 nâng cao

Đề bài

Giải phương trình x2+ (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.

Lời giải chi tiết

Ta có:

Δ = (4m + 1)2 8( m 4)

\(= 16{m^2} + 8m + 1 - 8m + 32\)

= 16m2+ 33 > 0; m

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

x1+ x2= - 4m 1; x1x2= 2(m 4) (x1> x2)

Ta có:

x1 x2= 17 (x1 x2)2= 289

(x1+ x2)2 4x1x2= 289

(4m + 1)2 8(m 4) = 289

16m2+ 33 = 289

m = ± 4

+) Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr
& {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \)

+) Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \)

Cách khác:

Với mọi m,phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 4m - 1 \pm \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2}\)

Hiệu hai nghiệm bằng 17 nên:

\(\begin{array}{l}
\frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} - \frac{{ - 4m - 1 - \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} + 4m + 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \sqrt {16{m^2} + 33} = 17\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 33 = 289\\
\Leftrightarrow 16{m^2} = 256\\
\Leftrightarrow m = \pm 4
\end{array}\)