Đề bài - bài 4 trang 12 sgk hình học 10

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \(ABIJ, BCPQ, CARS\). Chứng minh rằng\(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}= \overrightarrow{0}.\)

Lời giải chi tiết

Ta xét tổng:

\((\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ} +\overrightarrow{PS})+ (\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}) \)

\(=\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}\)

\(\begin{array}{l}
= \left( {\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {JI} } \right) + \left( {\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {QP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PS} + \overrightarrow {SR} } \right)\\
= \overrightarrow {RI} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PR} \\
= \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {PR}
\end{array}\)

\(= \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\)(1)

Mặt khác, ta có \(ABIJ, BCPQ\) và \(CARS\) là các hình bình hành nên:

\(\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}\)\(= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

\(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}\)\(= \overrightarrow{0}.\) (đpcm)

Cách khác:

Ta có:

AJIB là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AJ} = \overrightarrow {BI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \)

Tương tự như vậy:

BCPQ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \)

CARS là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CS} + \overrightarrow {RA} = \overrightarrow 0 \)

Do đó: