Đề bài - bài 40 trang 109 sgk hình học 10 nâng cao
|
Ta có: \(d\left( {M,{d_1}} \right).d\left( {M,{d_2}} \right) = {{|b{x_0} - a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \) Đề bài Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi. Phương pháp giải - Xem chi tiết Các đường tiệm cận của Hypebol \(y = \pm \frac{b}{a}x\) Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) là: \(\frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\) Lời giải chi tiết Giả sử (H) có phương trình chính tắc là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) Phương trình tiệm cận của (H) là: \({d_1}:y = {b \over a}x \Leftrightarrow bx - ay = 0\) \({d_2}:y = - {b \over a}x \Leftrightarrow bx + ay = 0\) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (H)\)ta có: \({{x_0^2} \over {{a^2}}} - {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2}\) Ta có: \(d\left( {M,{d_1}} \right).d\left( {M,{d_2}} \right) = {{|b{x_0} - a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \) \(= {{|{b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2|} \over {{a^2} + {b^2}}}\) \( = {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\)không đổi
|
