Đề bài - bài 5 trang 17 sgk hình học 10

Đề bài

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng:

\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \)

Lời giải chi tiết

\(N\) là trung điểm của \(CD\) nên ta có:

\( \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD}=2\overrightarrow {MN} \)

hay \(2\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD}\) (1)

Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

\(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} \) (2)

\(\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \)

\(= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \) \(= \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\) \( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \)

(Do M là trung điểm AB nên \({\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} }=\overrightarrow {0}\))

Chứng minh tương tự, ta có:

\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\
= \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} } \right)\\
= \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} \\
= \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\
= \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}
\end{array}\)