Đề bài - bài 8 trang 55 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho hình chópS.ABCcó \(SA \bot mp(ABC),AB = c,AC = b\) , \(\widehat {BAC} = \alpha \). GọiB1, C1lần lượt là hình chiếu vuông góc củaAtrênSB,SC. Chứng mình rằng các điểmA, B, C, B1,C1cùng thuộc một mặt cầu và tính bán kính của mặt cầu đó theob, c,\(\alpha \).

Lời giải chi tiết

GọiADlà đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, khi đó \(CD \bot AC,\) mặt khác \(CD \bot SA\), từ đó \(CD \bot mp(SAC)\), vậy \(CD \bot A{C_1}\).

Theo giả thiết \(A{C_1} \bot SC\) nên \(A{C_1} \bot {C_1}D.\)

Tương tự như trên, ta cũng có \(\widehat {ABD} = {90^0},\widehat {A{B_1}D} = {90^0}.\)

Vậy AD là đường kính của mặt cầu đi qua các điểmA, B, C, B1, C1.

Bán kínhRcủa mặt cầu đó cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, do đó \({{BC} \over {\sin A}} = 2R,\) mặt khác

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} \) hay \(BC = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc.cos\alpha } ,\)

Vậy \(R = {{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc.cos\alpha } ,} \over {2\sin \alpha }}\)

Chú ý. Có thể chứng minh các điểmA, B, C, B1, C1cùng thuộc một mặt cầu như sau :

Xét các tam giác vuôngSAB, SAC, ta có \(S{A^2} = SB.S{B_1},S{A^2} = SC.S{C_1},\)từ đó \(SB.S{B_1} = SC.S{C_1},\) suyra B, C, B1, C1cùng thuộc một đường tròn.

Như vậy, hình chópA.BCC1B1có đáyBCC1B1có đường tròn ngoại tiếp nên hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp, tức là các điểmA, B, C, B1, C1cùng thuộc một mặt cầu.