Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130, 131 sgk toán 8 tập 2 - Bài trang sgk toán tập
VP: \(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right){{{b^2}\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right) + {a^2}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \over {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\left( 1 \right)\) Bài 1 trang 130 sgk toán 8 tập 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)\({a^2} - {b^2} - 4a + 4;\) b) \({x^2} + 2x - 3\) c) \(4{x^2}{y^2} - {\left( {{x^2}{y^2}} \right)^2}\) d) \(2{a^3} - 54{b^3}\). Hướng dẫn làm bài: a) \({a^2} - {b^2} - 4a + 4 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 - {b^2}\) = \({\left( {a - 2} \right)^2} - {b^2} = \left( {a - 2 + b} \right)\left( {a - 2 - b} \right)\) = \(\left( {a + b - 2} \right)\left( {a - b - 2} \right)\) b) \({x^2} + 2x - 3 = {x^2} + 2x + 1 - 4\) =\({\left( {x + 1} \right)^2} - {2^2} = \left( {x + 1 + 2} \right)\left( {x + 1 - 2} \right)\) =\(\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)\) c) \(4{x^2}{y^2} - {\left( {{x^2}{y^2}} \right)^2} = {\left( {2xy} \right)^2} - {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}\) = \(\left( {2xy - {x^2} - {y^2}} \right)\left( {2xy + {x^2} + {y^2}} \right)\) =\(- \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\) =\(- {\left( {x - y} \right)^2}{\left( {x + y} \right)^2}\) d) \(2{a^3} - 54{b^3} = 2\left( {{a^3} - 27{b^3}} \right)\) =\(2\left[ {{a^3} - {{\left( {3b} \right)}^3}} \right] = 2\left( {a - 3b} \right)\left( {{a^2} + 3ab + 9{b^2}} \right)\). Bài 2 trang 130 sgk toán 8 tập 2 a)Thực hiện phép chia: (2x4 4x3 + 5x2 + 2x 3) : (2x2 1). b) Chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của x. Hướng dẫn làm bài: Vậy \(2\left[ {{a^3} - {{\left( {3b} \right)}^3}} \right] = 2\left( {a - 3b} \right)\left( {2{x^4} - 4{x^4} + 5{x^2} + 2x - 3} \right):\left( {2{x^2} - 1} \right) = {x^2} - 2x + 3\left( {{a^2} + 3ab + 9{b^2}} \right)\) Vậy \(x \in \left\{ { - 2;1;2;5} \right\}\) b) Thương tìm được có thể viết: \({x^2} - 2x + 3 = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2\) = \({\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0\)với mọi x Vậy thương tìm được luôn luôn dương với mọi giá trị của x. Bài 3 trang 130 sgk toán 8 tập 2 Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8. Hướng dẫn làm bài: Gọi hai số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 (a, b Z) Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng : \({\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} = \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b{\rm{ }} + 1} \right)\) \( = \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4a\left( {a{\rm{ }} + 1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}4b\left( {b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\) Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên a(a+1) và b(b+1) chia hết cho 2. Do đó 4a(a + 1) và 4b(b + 1) chia hết cho 8 4a(a + 1) 4b(b + 1) chia hết cho 8. Vậy \({\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\)chia hết cho 8. Bài 4 trang 130 sgk toán 8 tập 2 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại \(x = - {1 \over 3}\): \(\left[ {{{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]\left[ {1:\left( {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right)} \right]\) Hướng dẫn làm bài: +Ngoặc vuông thứ nhất: \(\left[ {{{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]{{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) \(= {{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\left[ {1:\left( {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right)} \right]\) \(={{{{\left( {x + 3} \right)}^2} + 6\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - {{\left( {x - 3} \right)}^2}} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) \(={{{x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 + 6{x^2} - 54 - \left( {{x^3} - 9{x^2} + 27x - 27} \right)} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) \(={{24{x^2}} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) \(={{24{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}\) +Ngoặc vuông thứ hai: \(1:\left( {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right) = 1:\left[ {{{24{x^2}} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right]\) \(=1:\left( {{{24{x^2} - 12\left( {{x^2} - 9} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}}} \right)\) \(=1:{{12{x^2} + 108} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}}\) \(=1.{{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)} \over {12{x^2} + 108}}\) \(={{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)} \over {12{x^2} + 108}}\) \(={{\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)} \over {12\left( {{x^2} + 9} \right)}}\) \(={{{x^2} - 9} \over {12}}\) Nên \(=\left[ {{{x + 3} \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + {6 \over {{x^2} - 9}} - {{x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]{{24{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}.{{{x^2} - 9} \over {12}}\) \(= {{2{x^2}} \over {{x^2} - 9}}\left[ {1:\left( {{{24{x^2}} \over {{x^4} - 81}} - {{12} \over {{x^2} + 9}}} \right)} \right]\) Tại \(x = - {1 \over 3}\)giá trị của biểu thức là: \({{2{{\left( { - {1 \over 3}} \right)}^2}} \over {{{\left( { - {1 \over 3}} \right)}^2} - 9}} = {{2.{1 \over 9}} \over {{1 \over 9} - 9}} = {{{2 \over 9}} \over { - {{80} \over 9}}} = - {1 \over {40}}\) Bài 5 trang 131 sgk toán 8 tập 2 Chứng minh rằng: \({{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} = {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\) Hướng dẫn làm bài: Cách 1: Thực hiện phép cộng riêng từng vế: VT: \(={{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}}{{{a^2}\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + {b^2}\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \over {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} + {{{c^2}} \over {c + a}}\) \(={{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\) Tử bằng: \(={a^2}\left( {bc + ab + {c^2} + ac} \right) + {b^2}\left( {ac + {a^2} + bc + ab} \right) + {a^2}\left( {ab + ac + {b^2} + bc} \right)\) \(={a^2}bc + {a^3}b + {a^2}{c^2} + {a^3}c + a{b^2}c + {a^2}{b^2} + {b^3}c + a{b^3} + ab{c^3} + a{c^3} + {b^2}{c^2} + b{c^3}\) \(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right) + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\left( 1 \right)\) (1) VP: \(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right){{{b^2}\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right) + {a^2}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \over {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\left( 1 \right)\) \(={b^2}\left( {bc + ab + {c^2} + ac} \right) + {c^2}\left( {ac + {a^2} + bc + ab} \right) + {a^2}\left( {ab + ac + {b^2} + bc} \right)\) \(={b^3}c + a{b^3} + {b^2}{c^2} + a{b^2}c + a{c^3} + {a^2}{c^2} + b{c^3} + ab{c^2} + {a^3}b + {a^3}c + {a^2}{b^2} + {a^2}bc\) \(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right) + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\)(2) So sánh (1) và (2) ta suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Xét hiệu hai vế \({a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right) + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right){{{a^2}} \over {a + b}} - {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} - {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} - {{{a^2}} \over {c + a}}\) \(={{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)} \over {a + b}} - {{\left( {b + c} \right)\left( {b - c} \right)} \over {b + c}} + {{\left( {c + a} \right)\left( {c - a} \right)} \over {c + a}}\) \(=a - b + b - c + c - a = 0\) Vậy \({{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} = {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\) Nhận xét: Cách 2 nhanh gọn hơn cách 1.
|