Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 109 sgk đại số 10 nâng cao - Câu trang SGK Đại số nâng cao

Câu 1 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng, nếu \(a > b\) và \(ab > 0\); \({1 \over a} < {1 \over b}\)

Giải

Ta có:

\({1 \over a} < {1 \over b} \Leftrightarrow {1 \over b} - {1 \over a} > 0 \Leftrightarrow {{a - b} \over {ab}} > 0\)( đúng vì \(a b > 0\) và \(ab > 0\))

Vậy\({1 \over a} < {1 \over b}\)

---

Câu 2 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.

Đáp án

Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác

Nửa chu vi của tam giác đó là \(p = {{a + b + c} \over 2}\)

Ta có:

\(p - a = {{a + b + c - 2a} \over 2} = {{b + c - a} \over 2}\)

Vì \(b + c > a\) nên \(p > a\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(p > b\) và \(p > c\)

---

Câu 3 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng a2+ b2+ c2 ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Giải

Ta có:

a2+ b2+ c2 ab + bc + ca

a2 + b2 + c2 ab bc ca 0

2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab - 2bc - 2ca 0

(a - b)2+ (b - c)2+ (c - a)2 0 (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b = b c = c a = 0, tức là a = b = c

---

Câu 4 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Hãy so sánh các kết quả sau đây:

a) \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \)và \(\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \)(không dùng bảng số hoặc máy tính)

b) \(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \)và \(\sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,(a \ge 0)\)

Đáp án

a) Giả sử: \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \, < \sqrt {2002} + \sqrt {2003} \,\,\,\,\,(1)\)

Ta có:

\(\eqalign{
& (1) \Leftrightarrow \,{(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} )^2}\, < {(\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \,)^2} \cr
& \Leftrightarrow 4005 + 2\sqrt {2000.2005} < 4005 + 2\sqrt {2002.2003} \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003 \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < (2000 + 2)(2005 - 2) \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6 \cr} \)

Ta thấy kết quả suy ra luôn đúng.

Do đó:\(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} < \sqrt {2002} + \sqrt {2003} \)

b) Giả sử:

\(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,(a \ge 0)\) (2)

Ta có:

\(\eqalign{
& (2) \Leftrightarrow {(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} )^2} \le {(\sqrt a + \sqrt {a + 6} )^2} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 6 + 2\sqrt {(a + 2)(a + 4)} \le 2a \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ 6 + 2\sqrt {a(a + 6)} \cr
& \Leftrightarrow (a + 2)(a + 4) \le a(a + 6) \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 \le {a^2} + 6a \cr
& \Leftrightarrow 8 \le 0 \cr} \)

Ta thấy : \(8 0\) là vô lý

Vậy \(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} > \sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,(a \ge 0)\)