Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 126, 127 sách bài tập đại số và giải tích 11 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích

Bài 1 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng

a) \({n^5} - n\)chia hết cho 5 với mọi \(n \in N*\);

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ;

c) \({n^3} - n\)chia hết cho 6 với mọi \(n \in N*\);

Giải:

a) HD: Xem ví dụ 1, .

b) HD: Đặt \({A_n} = {n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3}\)dễ thấy \({A_1} \vdots 9\)

Giả sử đã có \({A_1} \vdots 9\)với \(k \ge 1\).Ta phải chứng minh \({A_{k + 1}} \vdots 9\)

Tính \({A_{k + 1}} = {A_k} + 9{k^2} + 27k + 27\)

c) Làm tương tự như 1.a).

---

Bài 2 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau với n N*

a) \({A_n} = {1 \over {1.2.3}} + {1 \over {2.3.4}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = {{n\left( {n + 3} \right)} \over {4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\);

b) \({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 6}\);

c) \({S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = {{\sin {{nx} \over 2}.\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)

Giải:

a) HD: Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn

\({A_{k + 1}} = {A_k} + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\)

b) HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã cho \({B_k} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\)

Ta cần chứng minh

\({B_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)} \over 2}\)bằng cách tính \({B_{k + 1}} = {B_k} + {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\)

c) HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã có \({S_k} = {{\sin {{kx} \over 2}.\sin {{\left( {k + 1} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\)

Viết \({S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left( {k + 1} \right)x\)sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có

\({S_{k + 1}} = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}.\sin {{\left( {k + 2} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\left( {đpcm} \right)\)

---

Bài 3 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) \({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\)với \(n \ge 4\);

b) \({2^{n - 3}} > 3n - 1\)với \(n \ge 8\)

Giải:

a) Với n = 4 thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24\)

Giả sử đã có

\({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\)với \(k \ge 4\) (1)

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

\(\eqalign{
& {3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right) \cr
& {\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right] + 2{k^2} + 2k - 3 \cr} \)

Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\)nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\)chứng tỏ bất đẳng thức đúng vớin = k + 1

b) Giải tương tự câu a).

---

Bài 4 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) \) :

\({\rm{ }}\left\{ \matrix{
{u_1} = 1,{u_2} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm\,\,{ với\,\, n}} \ge {\rm{2}} \hfill \cr} \right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \)với \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\).Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \)là cấp số cộng ;

c) Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right) \)theo n.

Giải:

a) Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11

b) Từ công thức xác định dãy số ta có

\({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\)hay \({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1\) (1)

Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)nên từ (1), ta có

\({v_n} = {v_{n - 1}} + 1\)với \(n \ge 2\) (2)

Vậy \(\left( {{v_n}} \right) \)là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1\)công sai d = 1

c) Để tính \(\left( {{u_n}} \right) \)ta viết

\(\eqalign{
& {v_1} = 1 \cr
& {v_2} = {u_3} - {u_2} \cr
& {v_3} = {u_4} - {u_3} \cr
& ... \cr
& {v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} \cr
& {v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}} \cr}\)

Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được

\({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}\)suy ra

\({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}\)