Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 170, 171 sách bài tập đại số và giải tích 11 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích
\(\eqalign{ & 2,131131131... = 2 + {{131} \over {1000}} + {{131} \over {{{1000}^2}}} + ... + {{131} \over {{{1000}^n}}} + ... \cr & {\rm{ }} = 2 + {{{{131} \over {1000}}} \over {1 - {1 \over {1000}}}} = 2 + {{131} \over {999}} = {{2129} \over {999}}. \cr} \) Bài 1 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Tính các giới hạn sau a) \(\lim {{{{\left( { - 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}} \over {1 - {5^n}}}\); b) \(\lim {{1 + 2 + 3 + ... + n} \over {{n^2} + n + 1}}\); c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1} - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right)\) Giải: a) - 2 ; b) \({1 \over 2}\) ; c)\({1 \over 2}\) Bài 2 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với a) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}\); b) \({u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\) Giải: a) Ta có, \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\). Đặt \({v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\) (1) Ta có \(\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\) Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Từ (1) suy ra, \(\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\) Vậy, \(\left| {{u_n}} \right|\)cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\) b) Hướng dẫn : \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}\) Bài 3 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn2,131131131 (chu kì 131) dưới dạng phân số. Giải: \(\eqalign{ (Vì \({{131} \over {1000}},{{131} \over {{{1000}^2}}},...,{{131} \over {{{1000}^n}}},...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = {1 \over {1000}}\)). Bài 4 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)xác định bởi \(\left\{ \matrix{ a) Chứng minh rằng \({u_n} > 0\)với mọi n. b) Biết \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạnđó. Giải: a) Chứng minh bằng quy nạp: \({u_n} > 0\) với mọin. (1) - Với n = 1 ta có \({u_1} = 1 > 0\) - Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\)nghĩa là \({u_k} > 0\)ta cần chứng minh (1) đúng vớin = k + 1 Ta có \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\).Vì \({u_k} > 0\)nên \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\) - Kết luận: \({u_n} > 0\)với mọin. b) Đặt \(\eqalign{ Vì \({u_n} > 0\)với mọin, nên \(\lim {u_n} = a \ge 0\). Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \)
|