Giải bài 1, 2, 3 trang 9, 10 sgk giải tích 12 - Bài trang sách sgk giải tích

Bài 1 trang 9 sách sgk giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) \(y = 4 + 3x - x^2\); b) \(y ={1 \over 3}x^3\)+ \(3x^2-7x - 2\) ;

c) \(y = x^4\)- \(2x^2\)+\( 3\) ; d) \(y = -x^3\)+ \(x^2\)- \(5\).

Giải:

1. a) Tập xác định : \(D =\mathbb R\);

\(y' = 3 - 2x=> y' = 0 x =\) \({3 \over 2}\).

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;{3 \over 2}} \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( { {3 \over 2}};+\infty \right)\)

b) Tập xác định \(D=\mathbb R\);
\(y'= x^2\)+\(6x - 7 \Rightarrow y' = 0 x = 1, x = -7\).

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((- ; -7), (1 ; +)\) ; nghịch biến trên các khoảng \((-7 ; 1)\).

c) Tập xác định : \(D=\mathbb R\).

\(y' = 4x^3\)-\(4x = 4x(x^2-1)\) \(\Rightarrow y' = 0 x = -1, x = 0, x = 1\).

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1 ; 0), (1 ; +)\) ; nghịch biến trên các khoảng \((- ; -1), (0 ; 1)\).

d) Tập xác định :\( D=\mathbb R\).

\(y' = -3x^2\)+\( 2x \Rightarrow y' = 0 x = 0, x =\) \({2 \over 3}\).

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( 0 ; {2 \over 3} )\) ; nghịch biến trên các khoảng \((- ; 0)\), \(({2 \over 3}; +)\).

Bài 2 trang 10 sách sgk giải tích 12

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) \(y=\frac{3x+1}{1-x}\); b) \(y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}\);

c) \(y=\sqrt{x^{2}-x-20}\); d) \(y=\frac{2x}{x^{2}-9}\).

Giải

a) Tập xác định : \(D =\mathbb R\setminus\){ 1 }.

\(y'=\frac{4}{(1-x)^{2}}\)> 0, \(x \neq 1\).

Hàm số đồng biến trên các khoảng : \((- ; 1), (1 ; +)\).

b) Tập xác định : \(D =\mathbb R\setminus\){ 1 }.

\(y'=\frac{-x^{2}+2x-2}{(1-x)^{2}}< 0\), \(x \neq 1\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: \( (- ; 1), (1 ; +)\).

c) Tập xác định :\( D = (- ; -4] [5 ; +)\).

\(y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x-20}}\) \(x (- ; -4] [5 ; +)\).

Với \(x (- ; -4)\) thì \(y < 0\); với \(x (5 ; +)\) thì \(y > 0\). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((- ; -4)\) và đồng biến trên khoảng \((5 ; +)\).

d) Tập xác định : \(D =\mathbb R\setminus\){ -3 ; 3 }.

\(y'=\frac{-2(x^{2}+9)}{\left (x^{2}-9 \right )^{2}} < 0, x \neq ±3\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng : \((- ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +)\).

Bài 3 trang 10 sách sgk giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số \(y={{1 - {x^2}} \over {{{({x^2} + 1)}^2}}}\)đồng biến trên khoảng \((-1 ; 1)\) và nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\)và \((1 ; +)\).

Giải:

Tập xác định : \(D=\mathbb R\).

\(y' ={{1 - {x^2}} \over {{{({x^2} + 1)}^2}}}\)\(\Rightarrow y' = 0x=-1\) hoặc \(x=1\).

Bảng biến thiên :

Vậy hàm sốđồng biến trên khoảng \((-1 ; 1)\); nghịch biến trên các khoảng \((-; -1), (1 ; +)\).