Giải bài 1.29, 1.30, 1.31 trang 22,23 sách bài tập (sbt) giải tích 12 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Giải tích
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{3 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} + \sqrt {3 + {2 \over {{x^2}}}} }} = {4 \over {\sqrt 3 }} = {{4\sqrt 3 } \over 3} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3 - \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} - \sqrt {3 + {2 \over {{x^2}}}} }} = - {2 \over {\sqrt 3 }} = - {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \) Bài 1.29 trang 22 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12 Tìm các tiệm cận đường và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) \(y = {{2x - 1} \over {x + 2}}\); b) \(y = {{3 - 2x} \over {3x + 1}}\) c) \(y = {5 \over {2 - 3x}}\) d) \(y = {{ - 4} \over {x + 1}}\) Hướng dẫn làm bài: a)\(y = {{2x - 1} \over {x + 2}}\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} {{2x - 1} \over {x + 2}} = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} {{2x - 1} \over {x + 2}} = + \infty \) nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x - 1} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2 - {1 \over x}} \over {1 + {2 \over x}}} = 2\) nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b) Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - {1 \over 3})}^ + }} {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - {1 \over 3})}^ - }} {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = - \infty \) , ta có \(x = - {1 \over 3}\)là tiệm cận đứng Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{3 \over x} - 2} \over {3 + {1 \over x}}} = - {2 \over 3}\)nên đường thẳng \(y = - {2 \over 3}\)là tiệm cận ngang. c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{({2 \over 3})}^ + }} {5 \over {2 - 3x}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{({2 \over 3})}^ - }} {5 \over {2 - 3x}} = + \infty \)nên \(x = {2 \over 3}\) là tiệm cận đứng, Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {5 \over {2 - 3x}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang. d) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} {{ - 4} \over {x + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {{ - 4} \over {x + 1}} = + \infty \)nên x = -1 là tiệm cận đứng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 4} \over {x + 1}} = 0\)nên y = 0 là tiệm cận ngang. Bài 1.30 trang 22 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12 Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) \(y = {{{x^2} - 12x + 27} \over {{x^2} - 4x + 5}}\) b) \(y = {{{x^2} - x - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}}\) c) \(y = {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}}\) d) \(y = {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}}\) e) \(y = {{3x + \sqrt {{x^2} + 1} } \over {2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\) f) \(y = {{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \over {x - 4}}\) Hướng dẫn làm bài: a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 12x + 27} \over {{x^2} - 4x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 - {{12} \over x} + {{27} \over {{x^2}}}} \over {1 - {4 \over x} + {5 \over {{x^2}}}}} = 1\)nên y = 1 là tiệm cận ngang. b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{{x^2} - x - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} = - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng. Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - x - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \over {{{(1 - {1 \over x})}^2}}} = 1\)suy ra y = 1 là tiệm cận ngang. c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {(x - 2)(x + 2)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} + 3x} \over {(x - 2)(x + 2)}} = - \infty \) nên x = 2 là một tiệm cận đứng. Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = + \infty \)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} {{{x^2} + 3x} \over {(x - 2)(x + 2)}} = - \infty \)nên x = -2 là tiệm cận đứng thứ hai. Ta lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {3 \over x}} \over {1 - {4 \over {{x^2}}}}} = 1\)nên y = 1 là tiệm cận ngang. d) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{2 - x} \over {(x - 1)(x - 3)}} = \mp \infty\)nên x = 1 là tiệm cận đứng. Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ \pm }} {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = \mp \infty \)nên x = 3 cũng là tiệm cận đứng Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = 0\)nên y = 0 là tiệm cận ngang. e) TXĐ: R Từ \(\eqalign{ Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang: \(y = {{4\sqrt 3 } \over 3}\) khi \(x \to + \infty \) \(y = - {{2\sqrt 3 } \over 3}\)khi \(x \to - \infty \) Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. f) TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 2 ) \cup (\sqrt 2 ;4) \cup (4; + \infty )\) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{5 - {1 \over x} - \sqrt {1 - {2 \over {{x^2}}}} } \over {1 - {4 \over x}}} = 4\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{5 - {1 \over x} + \sqrt {1 - {2 \over {{x^2}}}} } \over {1 - {4 \over x}}} = 6\) Cho nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = 4 khi \(x \to + \infty \) y = 6 khi\(x \to - \infty \) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} {{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \over {x - 4}} = \pm \infty \) Cho nên đường thẳng x = 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Bài 1.31 trang 23 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12 a) Cho hàm số \(y = {{3 - x} \over {x + 1}}\)có đồ thị (H) Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H) có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2. b) Lấy đối xứng (H) qua gốc (O), ta được hình (H). Viết phương trình của (H). Hướng dẫn làm bài: a) Từ đồ thị hàm số (H), để có hình (H) nhận y = 2 là tiệm cận ngang và x = 2 là tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị (H) song song với trục Oy lên trên 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục Ox về bên phải 3 đơn vị, ta được các hàm số tương ứng sau: \(\eqalign{ b) Lấy đối xứng hình (H) qua gốc O, ta được hình (H) có phương trình là: \(y = h(x) = - {{2( - x)} \over {( - x) - 2}} = - {{ - 2x} \over { - 2 - x}} = - {{2x} \over {x + 2}}\).
|