Giải bài 1.32, 1.33, 1.34, 1.35 trang 34 sách bài tập toán hình học 10 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Toán Hình học

Bài 1.32 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IJ} \)

Gợi ý làm bài

(h.1.52)

\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ}\)

\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DJ} \)

Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được

\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {IJ} = (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} ) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + (\overrightarrow {BJ} + \overrightarrow {DJ} ) \cr
& = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \cr} \)

---

Bài 1.33 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

(h.1.53)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP.

Khi đó$\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ} \)

\( = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} ) + \overrightarrow {AC} + (\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} )\)

\(\overrightarrow { = AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \)

(Vì\(\overrightarrow {NM} = {1 \over 2}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CA}\) nên\(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {CA} \))

Vậy \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow 0 \)

Suy ra G là trọng tâm của tam giác CMQ.

---

Bài 1.34 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC.

a)Tìm điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \)

b)Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.54)

a)\(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \)

K là trọng tâm của tam giác ABC.

b) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow M C = \overrightarrow 0 \) (I là trung điểm của AB)

Hay\(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \) M là trung điểm của IC.

---

Bài 1.35 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Chứng minh:\(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} \);

\(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \);

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \).

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh\(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)

Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.55)

a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên\(BD \bot AB,DC \bot AC\)

Ta có\(CH \bot AB,BH \bot AC\) nên suy ra CH // BD và BH // DC.

Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Vì O là trung điểm của AD nên\(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} (1)\)

Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \).

Vậy từ (1) suy ra:

\(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} (2)\)

Theo quy tắc ba điểm, từ (2) suy ra

\(\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \)

Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} (3)\)

c) G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \)

Từ (3) suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.