Giải bài 15, 16, 17 trang 89, 90 sgk hình học 10 nâng cao - Bài trang SGK Hình học Nâng cao

Bài 15 trang 89 SGK Hình học 10 Nâng cao

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

b) Nếu hai đường thẳng \(\Delta \)và \(\Delta' \)lần lượt có phương trình \(px + y + m = 0\) và \(x + py + n = 0\)thì:

\(cos(\Delta ,\Delta ') = {{2|p|} \over {{p^2} + 1}}.\)

c) Trong tam giác ABC ta có

\(\cos A = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right).\)

d) Nếu \(\varphi \)là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì

\(cos\varphi = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}}.\)

e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng

Giải

Các mệnh đề đúng là: b), c), e).

Các mệnh đề sai là: a), d).

---

Bài 16 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho ba điểm \(A(4; - 1),B( - 3;2),C(1;6)\) . Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC .

Giải

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { - 7;3} \right);\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 3;7} \right) \cr
& \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{\left( { - 7} \right).\left( { - 3} \right) + 3.7} \over {\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {7^2}} }}\cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= {{42} \over {58}} = {{21} \over {29}}. \cr
& \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {43^0}36'. \cr} \)

Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \({43^0}36'\)(Vì góc BAC nhọn)

---

Bài 17 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng \(ax + by + c = 0\)một khoảng bằng h cho trước.

Giải

Gọi \(\Delta :ax + by + c = 0\)

Đường thẳng \(\Delta '\)song song với đường thẳng \(\Delta \)đã cho có dạng:

\(\Delta ':ax + by + c' = 0.\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \Delta \)ta có:

\(a{x_0} + b{y_0} + c = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = - c\)

Khoảng cách từ M đến \(\Delta '\)bằng h nên ta có:

\(\eqalign{
& h = {{|a{x_0} + b{y_0} + c'|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = {{|c' - c|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr&\Rightarrow c' - c = \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr
& \Rightarrow c' = c \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

\(ax + by + c + h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0;\)

\(ax + by + c - h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0.\)