Giải bài 17, 18, 19, 20 trang 112 sgk đại số 10 nâng cao - Câu trang SGK Đại số nâng cao

Câu 17 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A = \sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} \)

Đáp án

Điều kiện: \(1 x 4\)

Với \(1 x 4\), ta có:

\({A^2} = {(\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} )^2} \)

\( = 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)} \le 3 + x - 1 + 4 - x = 6\)

(Theo bất đẳng thức Cô-si)

Suy ra: \(A \le \sqrt 6 \)

Dấu = xảuy ra khi \(x 1= 4 x \Rightarrow x = {5 \over 2}\) (thỏa mãn điều kiện : \(1 x 4\))

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\sqrt 6 \)

\({A^2} = 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)} \ge 3\)

vì \(\sqrt {(x - 1)(4 - x)} \ge 0\)

Vậy \(A \ge \sqrt 3 \)

---

Câu 18 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

(a + b + c)2 3(a2+ b2+ c2)

Đáp án

Ta có:

(a + b + c)2 3(a2+ b2+ c2)

a2 + b2 + c2 +2ab + 2bc + 2ca 3a2 + 3b2 + 3c2

2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca 0

(a b)2 + (b c)2 + (c a)2 0 (luôn đúng)

Vậy (a + b + c)2 3(a2+ b2+ c2)

---

Câu 19 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:

\({\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4} \ge abcd\)

Đáp án

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\eqalign{
&{{{a + b + c + d} \over 4}}\cr&= {1 \over 2}({{a + b} \over 2} + {{c + d} \over 2}) \ge {1 \over 2}(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} )\cr& \ge \sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } = \root 4 \of {abcd} \cr} \)

Bất đẳng thức cô si

\( {\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4}\ge abcd\)

---

Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Nếu x2 + y2 = 1 thì \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Nếu 4x 3y = 15 thì x2+ y2 9

Giải

a) Ta có:

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy x2 + y2 + x2 + y2 = 2

\(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Vì 4x 3y = 15 \(\Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x - 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr
& ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 = {({5 \over 3}x - 4)^2} + 9 \ge 9 \cr} \)

Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {15^2} = {(4x - 3y)^2} \le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) \cr
& \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge {{225} \over {25}} = 9 \cr} \)