Giải bài 1.8, 1.9, 1.10 trang 8,9 sách bài tập giải tích 12 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Giải tích
Trên đoạn [0; 1] hàm số f(x) nghịch biến nên đồ thị của hàm số f(x) không thể cắt trục hoành tại hai điểm trên đoạn này, tứclà phương trình x3 3x + C = 0 không thể có hai nghiệm thực trên đoạn [0; 1]. Bài 1.8 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12 Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) \(\tan x > \sin x,0 < x < {\pi \over 2}\) b) \(1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} < 1 + {1 \over 2}x\)với \(0 < x < + \infty \) Hướng dẫn làm bài: a) Xét hàm số \(f(x) = \tan x - \sin x\) trên nửa khoảng \({\rm{[}}0;{\pi \over 2})\); \(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - \cos x = {{1 - {{\cos }^3}x} \over {{{\cos }^2}}} \ge 0;x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2})\) Dấu = xảy ra khi x = 0. Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng\({\rm{[}}0;{\pi \over 2})\) Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tan x sin x > 0 hay tan x > sin x với mọi \(x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2})\) b) Xét hàm số \(h(x) = 1 + {1 \over 2}x - \sqrt {1 + x}\)trên$${\rm{[}}0; + \infty )$$ \(\eqalign{ Dấu = xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0; + \infty )\). Vì h(x) = 0 nên \(h(x) = 1 + {1 \over 2}x - \sqrt {1 + x} > 0\) Hay \(1 + {1 \over 2}x > \sqrt {1 + x} \) với \(0 \le x < + \infty \) Xét hàm số trên \(f(x) = \sqrt {1 + x} - 1 - {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8}\) trên \({\rm{[}}0; + \infty )\); \(\eqalign{ Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0; + \infty )\)nên \(g(x) \ge 0\), tức là \(f'(x) \ge 0\)trên khoảng đó và vì dấu = xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng . Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên \(f(x) = \sqrt {1 + x} - 1 - {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8} > 0\) hay \(1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} \) Với mọi \(0 < x < + \infty \). Bài 1.9 trang 9 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12 Chứng minh rằng phương trình \({x^3} - 3x + c = 0\)không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0; 1]. Hướng dẫn làm bài: Đặt \(f(x) = {x^3} - 3x + C\). TXĐ: R \(f'(x) = 3{x^2} - 3 = 3({x^2} - 1)\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ Bảng biến thiên: Trên đoạn [0; 1] hàm số f(x) nghịch biến nên đồ thị của hàm số f(x) không thể cắt trục hoành tại hai điểm trên đoạn này, tứclà phương trình x3 3x + C = 0 không thể có hai nghiệm thực trên đoạn [0; 1]. Bài 1.10 trang 9 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12 Xác định giá trị của b để hàm số f(x) = \(\sin x - bx + c\)nghịch biến trên toàn trục số. Hướng dẫn làm bài: \(f(x) = \sin x - bx + c\)nghịch biến trên R nếu ta có: \(f'(x) = \cos x - b \le 0,\forall x \in R\) . Vì \(|\cos x| \le 1\) nên \(f'(x) \le 0,\forall x \in R < = > b \ge 1.\)
|