Giải bài 2.1, 2.3, 2.4 trang 163 sách bài tập đại số và giải tích 11 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích

Bài 2.1 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} {{x + 3} \over {x - 3}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} + 1} \over {{x^2} + 1}}\)

Giải:

a) - 4 ; b) +

---

Bài 2.3 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a) Chứng minh rằng hàm số \(y = \sin x\)không có giới hạn khi \(x \to + \infty \)

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

Giải :

a) Xét hai dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\)với \({a_n} = 2n\pi \)và \(\left( {{b_n}} \right)\)với \(\left( {{b_n}} \right) = {\pi \over 2} + 2n\pi {\rm{ }}\left( {n \in N*} \right)\)

Ta có, \(\lim {a_n} = \lim 2n\pi = + \infty \);

\(\lim {b_n} = \lim \left( {{\pi \over 2} + 2n\pi } \right)\)

\(= \lim n\left( {{\pi \over {2n}} + 2\pi } \right) = + \infty \)

\(\lim \sin {a_n} = \lim \sin 2n\pi = \lim 0 = 0\)

\(\lim \sin {b_n} = \lim \sin \left( {{\pi \over 2} + 2n\pi } \right) = \lim 1 = 1\)

Như vậy, \({a_n} \to + \infty ,{\rm{ }}{b_n} \to + \infty \)nhưng \(\lim \sin {a_n} \ne \lim \sin {b_n}\). Do đó, theo định nghĩa, hàm số \(y = \sin x\)không có giới hạn khi\(x \to + \infty \)

---

Bài 2.4 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\)và \(y = g\left( x \right)\)cùng xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ,a} \right)\).Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = M\)thì\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M\)

Giải :

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \({x_n} < a\) và \({x_n} \to - \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = L\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = M\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } g\left( {{x_n}} \right) = M\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right).g\left( {{x_n}} \right) = L.M\)

Từ định nghĩa suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M\)