Giải bài 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 trang 67 sách bài tập đại số và giải tích 11 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích
\(\eqalign{ & C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr & C_n^{k + 1} = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} \cr & ... \cr & C_{k + 2}^{k + 1} = C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr} \) Bài 2.13 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ? Giải: Số tập con của tập hợp gồm 4 điểm là \(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 16.\) Bài 2.14 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu a) Ghế sắp thành hàng ngang ? b) Ghế sắp quanh một bàn tròn ? Giải: a) Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau. Có 6! cách. Giữa các bạn nam có 5 khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ. Bây giờ chọn 4 trong 7 vị trí để đặt ghế. Có \(C_7^4\)cách. Xếp nữ vào 4 ghế đó. Có 4! cách. Vậy có \(6!.C_7^4.4! = 120.7!\)cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau. b) Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi. Có 5! cách. Giữa hai nam có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó. Có \(A_6^4\)cách. Theo quy tắc nhân, có \(5!.A_6^4 = 43200\)cách. Bài 2.15 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Chứng minh rằng với \(1 \le k \le n,\) \(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\) Giải: \(\eqalign{ Từ đó \(\eqalign{ Bài 2.16 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Sử dụng đồng nhất thức \({k^2} = C_k^1 + 2C_k^2\)để chứng minh rằng \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}}\) Giải: Ta có: \(A = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2.} \) Kết hợp với \(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\),ta được \(A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + {{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)} \over 3}\) \(= {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
|