Giải bài 2.22, 2.23, 2.24, 2.25 trang 79, 80 sách bài tập hình học 11 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Hình học

Bài 2.22 trang 79 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác . Chứng minh rằng .

Giải:

Gọi I, J và Klần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CDvà BD. Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

\({{A{G_1}} \over {AI}} = {{A{G_2}} \over {AJ}} = {{A{G_3}} \over {AK}} = {2 \over 3}\)

\(\Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel IJ\)

\(IJ \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel \left( {BCD} \right)\)

Tương tự ta có \({G_2}{G_3}\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)

\({G_1}{G_2},{G_2}{G_3} \subset \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\)

\(\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\).

---

Bài 2.23 trang 79 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCDvẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Czvà Dtsao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A, B, Cvà D.

a) Chứng minh rằng \(\left( {Ax,By} \right)\parallel \left( {Cz,Dt} \right)\)và \(\left( {Ax,Dt} \right)\parallel \left( {By,Cz} \right)\)

b) Tứ giác ABCDlà hình gì?

c) Chứng minh \(AA' + CC' = BB' + DD'\).

Giải:

a) Ta có :

\(\left\{ \matrix{
Ax\parallel Dt \hfill \cr
Dt \subset \left( {Cz,Dt} \right) \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow Ax\parallel \left( {Cz,Dt} \right)\)

\(\left. \matrix{
AB\parallel CD \hfill \cr
CD \subset \left( {Cz,Dt} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left( {Cz,Dt} \right)\)

Từ \(Ax,AB \subset \left( {Ax,By} \right)\)suy ra \(\left( {Ax,By} \right)\parallel \left( {Cz,Dt} \right)\)

Tương tự ta có \(\left( {Ax,Dt} \right)\parallel \left( {By,Cz} \right)\)

b)

\(\left\{ \matrix{
\left( \alpha \right) \cap \left( {Ax,By} \right) = A'B` \hfill \cr
\left( \alpha \right) \cap \left( {Cz,Dt} \right) = C'D' \Rightarrow A'B'\parallel C'D'\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
\left( {Ax,By} \right)\parallel \left( {Cz,Dt} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
\left( \alpha \right) \cap \left( {Ax,Dt} \right) = A'D` \hfill \cr
\left( \alpha \right) \cap \left( {By,Cz} \right) = B'C' \Rightarrow A'D'\parallel B'C'\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr
\left( {Ax,Dt} \right)\parallel \left( {By,Cz} \right) \hfill \cr} \right.\)

Từ (1)và (2) suy ra tứ giác ABCDlà hình bình hành.

c) Gọi O, Olần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, ABCD. Dễ thấy OOlà đường trung bình của hình thang AA, suy ra \(OO' = {{AA' + CC'} \over 2}\)

Tương tự ta có:

\(OO' = {{BB' + DD'} \over 2} \Rightarrow AA' + CC' = BB' + DD'\).

---

Bài 2.24 trang 80 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hai hình vuông ABCDvà ABEFở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo ACvà BFlần lượt lấy các điểm M và Nsao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và Nlần lượt cắt AD và AFtại M và N. Chứng minh

a) \(\left( {A{\rm{D}}F} \right)\parallel \left( {BCE} \right)\).

b) \(M'N'\parallel DF\).

c) \(\left( {DEF} \right)\parallel \left( {MM'N'N} \right)\)và \(MN\parallel \left( {DEF} \right)\).

Giải:

a)

\(\left\{ \matrix{
AD\parallel BC \hfill \cr
BC \subset \left( {BCE} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow AD\parallel \left( {BCE} \right)\)

\(\left\{ \matrix{
AF\parallel BE \hfill \cr
BE \subset \left( {BCE} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow AF\parallel \left( {BCE} \right)\)

Mà \(AD,AF \subset \left( {ADF} \right)\)

Nên \(\left( {ADF} \right)\parallel \left( {BCE} \right)\)

b) Vì ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC = BF. Ta có:

\(MM'\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow {{AM'} \over {A{\rm{D}}}} = {{AM} \over {AC}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(NN'\parallel AB \Rightarrow {{AN'} \over {AF}} = {{BN} \over {BF}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

So sánh (1)và (2)ta được \({{AM'} \over {A{\rm{D}}}} = {{AN'} \over {AF}} \Rightarrow M'N'\parallel DF\)

c) Từ chứng minh trên suy ra \(DF\parallel \left( {MM'N'N} \right)\)

\(\left. \matrix{
NN'\parallel AB \Rightarrow NN'\parallel EF \hfill \cr
NN' \subset \left( {MM'N'N} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {MM'N'N} \right)\)

Mà \(DF,EF \subset \left( {DEF} \right)\)nên \(\left( {DEF} \right)\parallel \left( {MM'N'N} \right)\)

Vì \(MN \subset \left( {MM'N'N} \right)\)và \(\left( {MM'N'N} \right)\parallel \left( {DEF} \right)\)nên \(MN\parallel \left( {DEF} \right)\).

---

Bài 2.25 trang 80 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hình lăng trụ tam giác ABCABCcó các cạnh bên là AA, BB, CC. Gọi Ivà Itương ứng là trung điểm của hai cạnh BCvà BC.

a) Chứng minh rằng \(AI\parallel A'I'\).

b) Tìm giao điểm của IAvới mặt phẳng (ABC).

c) Tìm giao tuyến của (ABC)và (ABC).

Giải:

a) Ta có \(II'\parallel BB'\)và II = BB

Mặt khác \(AA'\parallel BB'\)và AA = BBnên :

\(AA'\parallel II'\)và AA = II

AAIIlà hình bình hành.

\( \Rightarrow AI\parallel A'I'\)

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
A \in \left( {AB'C'} \right) \hfill \cr
A \in \left( {AA'I'I} \right) \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow A \in \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {AA'I'I} \right)\)

Tương tự :

\(\left\{ \matrix{
I' \in B'C` \hfill \cr
I' \in \left( {AA'I'I} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow I' \in \left( {AB'C'} \right)\)

\(I' \in \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {AA'I'I} \right) \Rightarrow \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {AA'I'I} \right) = AI'\)

Đặt \(AI' \cap A'I = E\). Ta có:

\(\left\{ \matrix{E \in IA` \hfill \cr E \in AI` \hfill \cr} \right. \Rightarrow E \in \left( {AB'C'} \right)\)

Vậy Elà giao điểm của AIvà mặt phẳng (ABC)

c) Ta có:

\(A'B \cap AB' = M \Rightarrow \left\{ \matrix{
M \in \left( {AB'C'} \right) \hfill \cr
M \in \left( {A'BC} \right) \hfill \cr} \right.\)

Tương tự:

\(AC' \cap A'C = N \Rightarrow \left\{ \matrix{
N \in \left( {AB'C'} \right) \hfill \cr
N \in \left( {A'BC} \right) \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = MN\).