Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 77, 78 sách bài tập toán đại số 10 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Toán Đại số

Bài 23 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho phương trình

\((m + 1){x^2} + (3m - 1)x + 2m - 2 = 0\)

Xác định m để phương trình có hai nghiệm\(x{}_1,{x_2}\) mà \(x{}_1 + {x_2} = 3\)

Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Gợi ý làm bài

Với$$m \ne - 1$$ ta có:\(\Delta = {(m - 3)^2} \ge 0\), do đóphương trình luôn luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Xét\({x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {{1 - 3m} \over {m + 1}} = 3 \Leftrightarrow m = - {1 \over 3}\)

Lúc đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1 và x = 4.

Bài 24 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các phương trình

a) \(\sqrt {5x + 3} = 3x - 7\)

b)\(\sqrt {3{x^2} - 2x - 1} = 3x + 1\)

c)\({{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2 \)

d)\(\sqrt {2{x^2} + 3x - 4} = \sqrt {7x + 2} \)

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện của phương trình là\(x \ge - {3 \over 5}\). Ta có

\(\sqrt {5x + 3} = 3x - 7 = > 5x + 3 = {(3x - 7)^2}\)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 47x + 46 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm\({x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}},{x_2} = {{47 - \sqrt {553} } \over {18}}\)

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, tuy nhiên khi thay vào phương trình đã cho thì giá trị \({x_2}\) bị loại.

Đáp số:\({x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}}\)

b) Điều kiện của phương trình là\(3{x^2} - 2x - 1 \ge 0\). Ta có:

\(\sqrt {3{x^2} - 2x - 1} = 3x + 1 = > 3{x^2} - 2x - 1 = {(3x + 1)^2}\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} + 8x + 2 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = - {1 \over 3},{x_2} = - 1\)

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, nhưng thử vào phương trình đã cho thì giá trị \({x_2} = - 1\) bị loại.

Đáp số: \(x = - {1 \over 3}\)

c)Điều kiện của phương trình là \(4{x^2} + 7x - 2 \ge 0\) và \(x \ne - 2\). Ta có:

\({{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2 = > 4{x^2} + 7x - 2 = 2{(x + 2)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 10 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm là \({x_1} = {5 \over 2},{x_2} = - 2\)

Chỉ có giá trị\({x_1} = {5 \over 2},{x_2} = - 2\)

Chỉ có giá trị\({x_1} = {5 \over 2}\) thỏa mãn điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.

Đáp số:\(x = {5 \over 2}\)

d)Điều kiện của phương trình là\(2{x^2} + 3x - 4 \ge 0\) và\(7x + 2 \ge 0\). Ta có:

\(\sqrt {2{x^2} + 3x - 4} = \sqrt {7x + 2} = > 2{x^2} + 3x - 4 = 7x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 6 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm\({x_1} = 3,{x_2} = - 1\),nhưng giá trị \({x_2} = - 1\) không thỏa mãn điều kiện của phương tình nên bị loại, giá trị\({x_1} = 3\) nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy nghiệm của phương trình đa cho là x = 3.

---

Bài 25 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.

a)\(|2x - 5m| = 2x - 3m\)

b) \(|3x + 4m| = |4x - 7m|\)

c)$\((m + 1){x^2} + (2m - 3)x + m + 2 = 0\)

d)\({{{x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m\)

Gợi ý làm bài

a) Với\(x \ge {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành

\(2x - 5m = 2x - 3m \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\)

Vậy với m = 0 thì mọi\(x \ge 0\) đều là nghiệm của phương trình.

Với\(x < {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành

\( - 2x + 5m = 2x - 3m\)

\( \Leftrightarrow 4x = 8m \Leftrightarrow x = 2m\)

Vì$\(x < {{5m} \over 2}\) nên\(2m < {{5m} \over 2} \Leftrightarrow m > 0\).

Kết luận:

Với m > 0 phương trình có nghiệm là x = 2m.

Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.

Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& |3x + 4m| = |4x - 7m| \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x + 4m = 4x - 7m \hfill \cr
3x + 4m = - 4x + 7m \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 11m \hfill \cr
x = {{3m} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 11m và$\(x = {{3m} \over 7}\) với mọi giá trị của m.

c) Với m = -1 phương trình đã cho trở thành

\( - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 5}$\)

Với \(m \ne - 1\) phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức\(\Delta = - 24m + 1.\)

Nếu\(m \le {1 \over {24}}\) thì \(\Delta \ge 0\) phương trình có hai nghiệm

\({x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2(m + 1)}}\)

Kết luận:

Với\(x > {1 \over {24}}\) phương trình vô nghiệm.

Với\(x \le {1 \over {24}}\) và\(m \ne - 1\) phương trình có hai nghiệm.

\({x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2(m + 1)}}\)

Với m = -1phương trình có nghiệm là\(x = {1 \over 5}\)

d) Điều kiện của phương trình là:\(x \ne 3.\) Ta có:

\({{{x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m = > {x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4} = (x - 3)(2x + m)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + (2m - 5)x + {{21} \over 4} - 3m = 0\)

Phương trình cuối luôn có nghiệm\({x_1} = {3 \over 2},{x_2} = {{7 - 4m} \over 2}\)

Ta có: \({{7 - 4m} \over 2} \ne 3 \Leftrightarrow m \ne {1 \over 4}\)

Kết luận

Với \(m \ne {1 \over 4}\) phương trình đã cho có hai nghiệm và\(x = {3 \over 2}\) và\(x = {{7 - 4m} \over 2}\)

Với \(m = {1 \over 4}\) phương trình có một nghiệm\(x = {3 \over 2}\)

---

Bài 26 trang 78 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải phương trình

\(\root 3 \of {{1 \over 2} + x} + \sqrt {{1 \over 2} - x} = 1\)

Gợi ý làm bài

Đặt \(u = \root 3 \of {{1 \over 2} + x} ,v = \sqrt {{1 \over 2} - x} \) điều kiện \(v \ge 0\)

Ta được hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
u + v = 1 \hfill \cr
{u^3} + {v^2} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
v = 1 - u(1) \hfill \cr
{u^3} + {v^2} - 2u = 0(2) \hfill \cr} \right.\)

(2) \( \Leftrightarrow u({u^2} + u - 2) = 0\)

Phương trình cuối có 3 nghiệm \({u_1} = 0,{u_2} = 1,{u_3} = 2\)

+Với u = 0 ta có v = 1 => \(x = - {1 \over 2}\)

+Với u =1 ta có v = 0 => \(x = {1 \over 2}\)

+Với u = -2 ta có v = 3 =>\(x = - {{17} \over 2}\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm

\(x = - {1 \over 2}\),\(x = {1 \over 2}\) và\(x = - {{17} \over 2}\)