Giải bài 23, 24, 25 trang 224 sgk đại số 10 nâng cao - Bài trang SGK Đại số Nâng cao
\(\eqalign{ & \tan ({\pi \over 3} - \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) \cr & = {{\sqrt 3 - \tan \alpha } \over {1 + \sqrt 3 \tan \alpha }}\tan \alpha {{\sqrt 3 + \tan \alpha } \over {1 - \sqrt 3 \tan \alpha }} \cr & = {{3 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr & \tan 3\alpha = {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 - \tan 2\alpha .\tan \alpha }} = {{{{2\tan \alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }} + \tan \alpha } \over {1 - {{2\tan \alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha }}\,\, \cr & = {{3 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}.\tan\alpha\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \) Bài 23 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) \({\sin ^2}({\pi \over 8} + \alpha ) - {\sin ^2}({\pi \over 8} - \alpha ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha\) b) \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}(\alpha - {\pi \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} - \alpha ) = {3 \over 2}\) c) \(\tan ({\pi \over 3} - \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) = \tan 3\alpha \)(khi các biểu thức có ý nghĩa) Ứng dụng: Tính tan100 tan500 tan1100 Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ b) Chú ý rằng: \(\left\{ \matrix{ Ta có: \(\eqalign{ c) Ta có: \(\eqalign{ Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Áp dụng: \(\eqalign{ Bài 24 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao Chứng minh rằng: a) \(\sin (\alpha + \beta )\sin (\alpha - \beta ) = si{n^2}\alpha - {\sin ^2}\beta =\) \({\cos ^2}\beta - {\cos ^2}\alpha \) b) \({{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha - tan\beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha - \beta )}}\)(Khi các biểu thức có nghĩa) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ Chú ý: Có thể áp dụng công thức biến tích thành tổng b) Ta có: \(\eqalign{ Tương tự: \(\tan \alpha - \tan \beta = {{\sin (\alpha - \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }}\) Do đó: \({{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha - tan\beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha - \beta )}}\) Bài 25 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao Tìm các số c và β sao cho: \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi α Đáp án Nếu có c và β để cho sinα + cosα =c.sin(α + β) với mọi α thì khi α = 0, ta được: 1 = Csinβ Khi \(\alpha = {\pi \over 2} \Rightarrow 1 = C\cos \beta \) Từ đó: C 0; \(\sin \beta = \cos \beta = {1 \over C}\) Vậy: \(\left\{ \matrix{ hoặc \(\left\{ \matrix{ Thử lại với cả hai trường hợp trên thì \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi \(α\) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có: \(\eqalign{
|