Giải bài 2.33, 2.34, 2.35, 2.36 trang 102 sách bài tập toán hình học 10 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Toán Hình học
b) \(\left\{ \matrix{ m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} \hfill \cr m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4} \hfill \cr m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m_a^2 = 2({b^2} + {c^2}) - {a^2} \hfill \cr m_b^2 = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2} \hfill \cr m_c^2 = 2({a^2} + {b^2}) - {c^2} \hfill \cr} \right.\) Bài 2.33 trang 102 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10 Gọi \({m_a},{m_b},{m_c}\) là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC. a) Tính \({m_a}\),biết rằng a = 26, b = 18, c = 16 b) Chứng minh rằng: \(4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\) Gợi ý làm bài a)\(m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{{18}^2} + {{16}^2}} \over 2} - {{{{26}^2}} \over 4}\) \(\eqalign{ b) \(\left\{ \matrix{ Ta suy ra:\(4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\) Bài 2.34 trang 102 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10 Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng: a) 2sinA = sinB + sinC b) \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\) Gợi ý làm bài a) Theo định lý sin ta có: \({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}\) Ta suy ra: \({a \over {\sin A}} = {{b + c} \over {\sin B + \sin C}} = {{2a} \over {\sin B + \sin C}}\) \( = > 2sinA = sinB + \sin C\) b) Đối với tam giác ABC ta có:\(S = {1 \over 2}ab\sin C = {1 \over 2}{h_C}.c = {{abc} \over {4R}}\) Ta suy ra\({h_c} = {{ab} \over {2R}}\).Tương tự ta có\({h_b} = {{ac} \over {2R}},{h_a} = {{bc} \over {2R}}\). Do đó: \({1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = 2R\left( {{1 \over {ac}} + {1 \over {ab}}} \right) = 2R{{b + c} \over {abc}}\) mà b + c = 2a Nên \({1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = {{2R.2a} \over {abc}} = {{2R.2} \over {bc}} = {2 \over {{h_a}}}\) Vậy \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\) Bài 2.35 trang 102 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức: a)\(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\) b) \({h_a} = 2R\sin B\sin C\) Gợi ý làm bài a) Theo định lý sin ta có:\({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}\) Do đó:\(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\) Thay các giá trị này vào biểu thức:\(a = b\cos C + c\cos B\), ta có: \(2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\) \( = > \sin A = \sin B\cos C + {\mathop{\rm sinCcosB}\nolimits} .\) Bài 2.36 trang 102 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10 Tam giác ABC có \(bc = {a^2}\).Chứng minh rằng : a) \({\sin ^2}A = \sin B.\sin C\) b)\({h_b}.{h_c} = h_a^2\) Gợi ý làm bài a) Theo giả thiết ta có:\({a^2} = bc\) Thay\(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\) vào hệ thức trên ta có: \(4{R^2}{\sin ^2}A = 2R\sin B.2R{\mathop{\rm sinC}\nolimits} \) \( = > {\sin ^2}A = \sin B.\sin C\) b) Ta có\(2S = a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}\) Do đó: \({a^2}h_a^2 = b.c.{h_b}.{h_c}\) Theo giả thiết:\({a^2} = bc\) nên ta suy ra\(h_a^2 = {h_b}.{h_c}\)
|