Giải bài 2.43, 2.44, 2.45, 2.46 trang 132, 133 sách bài tập giải tích 12 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Giải tích

Bài 2.43 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {x^{\sqrt 3 }}\)

b) \(y = {x^{\frac{1}{\pi }}}\)

c) \(y = {x^{ - e}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số\(y = {x^{\sqrt 3 }}\)

Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

\(y' = \sqrt 3 {x^{\sqrt 3 - 1}}\)

\(y' > 0,\forall x \in D\)nên hàm số luôn đồng biến.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)

Đồ thị không có tiệm cận

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^{\frac{1}{\pi }}}\)

Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

\(y' = \frac{1}{\pi }{x^{\frac{1}{\pi } - 1}}\)

\(y' > 0,\forall x \in D\)nên hàm số luôn đồng biến.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)

Đồ thị không có tiệm cận.

Bảng biến thiên:

Đồ thị

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^{ - e}}\)

Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

\(y' = - e{x^{ - e - 1}}\)

\(y' < 0,\forall x \in D\)nên hàm số luôn nghịch biến

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\)

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

---

Bài 2.44 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} - 2} }}\)

b) \(y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 - x}}\)

c) \(y = \sqrt {\log x + \log (x + 2)} $\)

d) \(y = \sqrt {\log (x - 1) + \log (x + 1)} \)

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số xác định khi:

\({4^x} - 2 > 0\Leftrightarrow{2^{2x}} > 2\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)

Vậy tập xác định là \(D = (\frac{1}{2}; + \infty )\)

b) \(D = ( - \frac{2}{3};1)\)

c)

\(\eqalign{& \log x + \log (x + 2) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\log [x(x + 2){\rm{]}} \ge \log 1} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x - 1 \ge 0} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le - 1 - \sqrt 2 } \cr {x \ge - 1 + \sqrt 2 } \cr} } \right.} \cr {x > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \ge - 1 + \sqrt 2 \cr}\)

Vậy tập xác định là \(D = {\rm{[}} - 1 + \sqrt 2 ; + \infty )\)

d) Tương tự câu c, \(D = {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )\).

---

Bài 2.45 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hai hàm số:

\(f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2},g(x) = \frac{{{a^x} - {a^{ - x}}}}{2}\)

a) Chứng minh rằng f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

b) Tìm giá trị bé nhất của f(x) trên tập xác định.

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có tập xác định của cả hai hàm số f(x), g(x) đều là R. Mặt khác:

\(f( - x) = \frac{{{a^{ - x}} + {a^x}}}{2} = f(x),g( - x) = \frac{{{a^{ - x}} - {a^x}}}{2} = - g(x)\)

Vậy f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

b) Ta có: \(f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2} \ge \sqrt {{a^x}{a^{ - x}}} = 1,\forall x \in R\) và \(f(0) = \frac{{{a^0} + {a^0}}}{2} = 1\)

Vậy min f(x) = f(0) = 1.

---

Bài 2.46 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho a + b = c với a > 0, b > 0.

a) Chứng minh rằng \({a^m} + {b^m} < {c^m}\) , nếu m > 1.

b) Chứng minh rằng\({a^m} + {b^m} < {c^m}\) , nếu 0 < m < 1

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: \({a^m} + {b^m} < {c^m} \Leftrightarrow{(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < 1\) (1)

Theo đề bài a + b = c, a > 0, b > 0 nên \(0 < \frac{a}{c} < 1,0 < \frac{b}{c} < 1\).

Suy ra với m > 1 thì \({(\frac{a}{c})^m} < {(\frac{a}{c})^1};{(\frac{b}{c})^m} < {(\frac{b}{c})^1}\)

Từ đó ta có: \({(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1\)

Vậy (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tương tự.