Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 205, 206 sgk giải tích 12 nâng cao - Bài trang SGK giải tích nâng cao
|
\(\eqalign{& a)\,\,1 - i\sqrt 3 = 2\left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \cr&= 2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right);\,\,\,\,\, \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= \sqrt 2 \left( {\cos \left( {{\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4}} \right)} \right);\, \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,(1 - i\sqrt 3 )(1 + i) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr& = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right).\cr&\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) \cr& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right)} \right] \cr& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {\pi \over {12}}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over {12}}} \right)} \right];\,\, \cr& {{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}}\cr& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right) + i\sin \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right)} \right]; \cr& b)\,\,2i = 2\left( {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right) \cr& \,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt 3 - i} \right) = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}i} \right)\cr& = 2\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)} \right]; \cr& \,\,\,\,\,\,\,2i\left( {\sqrt 3 - i} \right) \cr&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right)} \right] \cr&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 3}} \right)} \right] \cr& c)\,\,2 + 2i = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\, \cr& \Rightarrow {1 \over {2 + 2i}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr & d)\,z = \,\sin \varphi + i\cos \varphi \cr&= \,\cos \left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right) + i\sin\left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right)(\varphi \in \mathbb R) \cr} \) Bài 27 trang 205 SGK giải tích 12 nâng cao Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, - z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\)trong mỗi trường hợp sau: \(a)\,z = r\left( {\cos \varphi + i\sin\varphi } \right)\,\left( {r > 0} \right);\) \(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i.\) Giải \(\eqalign{ & a)\,\overline z = r\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right) \cr & - z = - r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right) \cr & {1 \over z} = {z \over {\overline z .z}} = {1 \over r}\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr & k.z = kr\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\,\,\text{nếu}\,k > 0 \cr & kz = - kr\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \) \(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\) \(= 2\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\) Áp dụng câu a) ta có: \(\overline z = 2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right)\) \( - z = 2\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right);\) \({1 \over {\overline z }} = {1 \over 2}\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\) \(\eqalign{ & kz = 2k\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k > 0 \cr & kz = - 2k\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right)\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \) Bài 28 trang 205SGK giải tích 12 nâng cao Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: \(\eqalign{ Giải \(\eqalign{ Bài 29 trang 206 SGK Giải tích 12 Nâng cao Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {1 + i} \right)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính \(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\) Giải Theo nhị thức Niu-tơn ta có: \({\left( {1 + i} \right)^{19}} = (C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^2} + ... + C_{19}^{16}{i^2} \) \(+ C_{19}^{18}{i^2}) + (C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + ... + C_{19}^{19})\) Phần thực ở vế phải là: \(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\) Mặt khác: \(\eqalign{ Bài 30 trang 206 SGK giải tích 12 nâng cao Gọi M, M là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i;\,z' = \left( {3 - \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i.\) a) Tính \({{z'} \over z};\) b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right)\). Tính số đo đó. Giải \(a)\,{{z'} \over z} = {{\left[ {3 - \sqrt 3 + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i} \right]\left( {3 - i} \right)} \over {10}} = 1 + \sqrt 3 i\) b) Xét tia Ox thì ta có: \(sđ\left( {OM,OM'} \right) = sđ\left( {Ox,OM'} \right) - sđ\left( {Ox,OM} \right)\) \( = \varphi ' - \varphi = acgumen{{z'} \over z}\)(sai khác \(k2\pi \)) (trong đó \(\varphi \)và \(\varphi '\) theo thứ tự là acgumen của z và z). Từ đó do \({{z'} \over z} = 1 + \sqrt 3 i\)có acgumen là \({\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\), nên góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right)\)có số đo \({\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
|
